周震霆，賀 星，劉永葆

(海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院,武漢 430033)

在燃氣輪機中，葉片作為承擔能量轉(zhuǎn)換的核心部件，決定著燃氣輪機能否高效、可靠運行，然而其惡劣的工作環(huán)境，使得葉片故障成為燃氣輪機部件典型故障之一。裂紋是機械損傷中最常見的形式之一，葉片上的裂紋會影響葉片的動態(tài)特性和運行穩(wěn)定。在旋轉(zhuǎn)葉片的研究中，通常將葉片簡化為懸臂梁模型[1-2],如常用的Euler-Bernoulli梁模型[3]和Timoshenko梁模型[4]。工程實踐中，人們常將裂紋分為張開式裂紋和呼吸式裂紋。長期以來，人們在研究裂紋時，通常假定裂紋處于張開狀態(tài)[5],而在實際過程中，裂紋會出現(xiàn)閉合狀態(tài)。人們對此總結(jié)分析，Chondros等[6]、Cheng 等[7]、楊海燕等[8]、劉文光等[9]提出了多種呼吸式裂紋模型，更加客觀地反映了裂紋的振動過程。壓氣機葉片在工作過程中，會受到氣流激振力和氣動阻尼的影響，從而發(fā)生振動，當葉片中出現(xiàn)裂紋，結(jié)構(gòu)的振動特性會發(fā)生改變。本文采用含裂紋懸臂梁模型模擬帶有裂紋的壓氣機葉片，建立呼吸式裂紋模型，引入余弦力模擬氣流激振力，通過改變阻尼大小，探索壓氣機葉片振動特性隨氣動阻尼的變化情況。

1 含裂紋梁的剛度模型

1.1 張開式裂紋模型

假設(shè)在振動期間，彈性梁表面裂紋始終處于張開狀態(tài)，忽略裂紋的閉合效應(yīng)和梁在橫向載荷作用下產(chǎn)生的剪切效應(yīng)，張開式裂紋的剛度可近似表示為[10]：

(1)

式中：ko為裂紋完全張開時梁的剛度，N/m；kc為裂紋完全閉合時梁的剛度，即無損梁的剛度，N/m；kT為裂紋截面處等效彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度，N/m。

(2)

φ=0.629r2-1.047r3+4.602r4-9.975r5+20.285r6-32.993r7+47.041r8-40.693r9+19.6r10

(3)

式中：L為懸臂梁的長度，m；η=l/L為裂紋的相對位置，其中l(wèi)為裂紋距固定端的距離，m；ν為泊松比；E為彈性模量，GPa；b為梁的寬度，m；h為梁的高度，m；r=a/h為相對裂紋深度，其中a為裂紋深度，m。

1.2 呼吸式裂紋模型

裂紋在實際振動過程中，大多數(shù)處于一種呼吸模式，即裂紋在全開與全閉之間必然存在部分開啟的狀態(tài)。為了較為真實地描述裂紋的“呼吸”過程，楊海燕等[8]采用了余弦呼吸函數(shù)：

(4)

余弦呼吸函數(shù)可以形象地描述出裂紋在全開和全閉之間的過渡狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，可以利用張開式裂紋和閉合式裂紋梁的剛度，得到呼吸式裂紋梁的剛度表達式為：

(5)

式中：ω為裂紋所受外部激勵力的頻率；t為激勵時間，s。當ωt=2nπ(n=1,2,…)時,裂紋完全閉合，此時呼吸梁模型等效為閉合梁模型，即kbr=kc；當ωt=(2n-1)π(n=1,2,…)時，裂紋完全張開，此時呼吸梁模型等效為張開梁模型，即kbr=ko。

2 含裂紋葉片單自由度的振動建模

取一個均勻、各項同性的含裂紋懸臂梁模擬裂紋葉片，如圖1所示。懸臂梁長為L，寬度為b，高度為h,距離固定端l處有一條深度為a的裂紋，距離固定端lp處受到余弦激振力F。

圖1 含裂紋懸臂梁模型

忽略裂紋對懸臂梁振動的影響，橫向激勵力下梁的受迫彎曲振動方程為[9]：

(6)

式中：I為梁的截面慣性矩，m4；c為阻尼系數(shù)；ρ為梁的密度，kg/m3；A為梁的截面面積，m2；p為橫向激勵力的幅值，N；lp為激勵力離固定端的距離，m；ω為激勵力的角頻率，rad/s；δ為Dirac函數(shù)，u(x,t)為z方向上振動位移，m；x是與固定端的距離，m；t為激勵時間，s。

通過Galerkin法把懸臂梁考慮成單自由度系統(tǒng)，僅考慮一階模態(tài)，假設(shè)該裂紋梁的橫向固有振動形式為：

u(x,t)=U(x)T(t)

(7)

式中：U(x)為梁橫截面中性軸在x處的橫向振動幅值函數(shù)；T(t)是描述運動規(guī)律的函數(shù)。

根據(jù)懸臂梁的邊界條件，得到懸臂梁的一階振型函數(shù)為[11]：

U(x)=[(sinβx-sinhβx)+αn(cosβx-coshβx)]

(8)

將式(7)帶入到式(6)中，左右兩端同時乘以U(x)，并在0至L上積分可得：

(9)

其中：

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：m*為廣義質(zhì)量，kg；c*為廣義阻尼；k*為無裂紋梁的廣義剛度，與kc相等，N/m；F*為廣義力，N。其中k*可分別用ko或kbr代替，從而得到張開式裂紋梁或呼吸式裂紋梁的振動方程。由于本文采用單自由度系統(tǒng)，可通過公式(14)表示不同形式梁的模態(tài)頻率。

(14)

式中：ωo為張開式裂紋梁的一階模態(tài)頻率，rad/s；ωbr為呼吸式裂紋梁的一階模態(tài)頻率，rad/s；ωc為閉合式裂紋梁的一階模態(tài)頻率，rad/s。

3 氣動阻尼的影響分析

為了較為真實地反映出含裂紋葉片在氣流激振力下的振動特性，本文選用呼吸式裂紋梁模型對裂紋葉片進行模擬。所選懸臂梁基本參數(shù)如表1所示。

表1 懸臂梁基本參數(shù)

3.1 不考慮氣動阻尼的影響

假設(shè)氣流激振力幅值p=100 N，頻率ω=5 600 Hz，如圖2所示。呼吸式裂紋梁剛度由圖3可以看出，梁的剛度在1.290 5×106～2.064 9×106N/m內(nèi)波動,即梁在完全閉合時的剛度2.064 9×106N/m，在完全張開時的剛度為1.290 5×106N/m。在計算過程中，取阻尼比ξ=0.05，一階阻尼系數(shù)c可根據(jù)ξ=c/2mf計算,其中m為葉片質(zhì)量，f為葉片固有頻率。將得到的廣義質(zhì)量m*、廣義阻尼c*、呼吸式裂紋剛度kbr、廣義力F*帶入公式(9)計算，利用方程的解，通過四階Runge-Kutta法和快速傅里葉變換等方法計算，得到含呼吸式裂紋梁在外激勵下的位移響應(yīng)圖、頻譜圖以及相圖，分別如圖4中的(a)、(b)、(c)、(d)所示。

圖2 激勵力響應(yīng)

懸臂梁的初始位移為零，采樣時間為10-2s，由圖4(a)中可以看出，在不考慮氣動阻尼的影響下，梁自身的結(jié)構(gòu)阻尼對振動的影響很小，導(dǎo)致梁在外激勵作用下的響應(yīng)經(jīng)過較長時間達到穩(wěn)定。同時可以看出，懸臂梁在振動初期振幅并不穩(wěn)定，即使達到穩(wěn)態(tài)之后，懸臂梁在正向位移響應(yīng)的大小與負向并不相等，這是由于呼吸式裂紋剛度隨時間變化引起的。圖4(b)中頻譜圖出現(xiàn)了很多高頻成分，這在前人[12-13]相關(guān)研究中出現(xiàn)過，體現(xiàn)出了呼吸式裂紋的非線性特性。從圖4(c)和4(d)的相圖中可以更加清晰地看到梁在振動初期的不穩(wěn)定性，也可以更直觀地看到梁在呼吸式裂紋作用下所反映出來的穩(wěn)定階段正負位移大小不相等的現(xiàn)象。

3.2 考慮氣動阻尼的影響

任何結(jié)構(gòu)在實際振動過程中，如果沒有持續(xù)外力的作用，一段時間后振動都將衰減為零，最后趨于靜止。這說明振動結(jié)構(gòu)在自由振動過程中存在著能量的耗散，而引起能量耗散、使結(jié)構(gòu)振幅逐漸減小的特性稱為阻尼。結(jié)構(gòu)振動過程中阻尼的來源很多，有材料阻尼、摩擦阻尼、氣動阻尼等。材料阻尼為固體材料變形時產(chǎn)生內(nèi)摩擦或材料快速應(yīng)變產(chǎn)生的熱耗散；摩擦阻尼為結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦損耗；氣動阻尼為結(jié)構(gòu)外部空氣引起的能量耗散。

由于燃氣輪機在不同工況下，流過壓氣機氣流的質(zhì)量流量、流速等條件不同，從而葉片所受氣動阻尼不同，導(dǎo)致含裂紋葉片在氣流激振力作用下的振動特性發(fā)生改變。假設(shè)懸臂梁所受激振力不變，考慮氣動阻尼對懸臂梁的影響，此時公式(11)變?yōu)椋?/p>

(15)

式中：Δc表示氣動阻尼。

本文僅考慮氣動阻尼抑制振動的情況。通過閱讀文獻[14-15]，本文選取氣動阻尼分別為結(jié)構(gòu)阻尼的0.01倍、1倍及10倍進行研究，將公式(15)帶入到公式(9)中進行計算，得到氣動阻尼影響下含呼吸式裂紋梁在外激勵下的位移響應(yīng)圖、頻譜圖以及相圖，分別如圖(5)、圖(6)、圖(7)所示。

(a) 位移響應(yīng)圖

(a) 位移響應(yīng)圖

(a) 位移響應(yīng)圖

(a) 位移響應(yīng)圖

圖(5)、圖(6)、圖(7)分別為氣動阻尼為結(jié)構(gòu)阻尼0.01倍、1倍、10倍時梁的振動特性圖。通過對圖(4)、圖(5)、圖(6)、圖(7)的比較，從位移響應(yīng)圖中可以看出，隨著氣動阻尼的增大，梁的振動位移趨于穩(wěn)定的速度越快；頻譜圖反映出了氣動阻尼與幅頻特性的關(guān)系，隨著氣動阻尼的增大，幅值減小，高頻峰值減少，梁的振動非線性效果減弱；在相圖中，隨著氣動阻尼的增大，梁的振動位移相對更加集中，側(cè)面反應(yīng)出梁的振動位移趨于穩(wěn)定的速度加快，同時也能看出，氣動阻尼并不影響呼吸式裂紋的特性。

圖8為無氣動阻尼和不同氣動阻尼作用下位移響應(yīng)的對比圖。從圖8中可以看出，雖然在運動過程中只是受到了單個余弦激振力的作用，但是梁在振動過程中的響應(yīng)并不是一個完整的余弦周期，中間出現(xiàn)了一些其他的倍頻幅值，導(dǎo)致梁的振動幅值存在相應(yīng)的起伏波動。當氣動阻尼為結(jié)構(gòu)阻尼的0.01倍、1倍及10倍時，梁的振幅響應(yīng)整體上呈現(xiàn)出減弱的特點，這說明氣動阻尼對梁的振動具有抑制作用，氣動阻尼越大，梁的振動幅值越小，同時也可以看出阻尼增大帶來的響應(yīng)滯后現(xiàn)象。

(a) 整體圖

4 結(jié)論

本文將含裂紋壓氣機葉片模擬成含呼吸式裂紋懸臂梁，通過在梁端引入余弦激勵力和改變阻尼系數(shù)大小，模擬研究氣流激振力和氣動阻尼對含裂紋壓氣機葉片的振動特性的影響，得出以下結(jié)論：

1) 即使是在單個激振力作用下，懸臂梁的振動仍具有很強的非線性，隨著氣動阻尼的增加，振動的非線性減弱。

2) 氣動阻尼的存在影響了梁在穩(wěn)定階段的響應(yīng)幅值，阻尼越大，幅值越小。

本文選取的懸臂梁模型為等截面矩形梁，與實際葉片仍有偏差，之后應(yīng)在此基礎(chǔ)上進行模型的改進，使它更加符合真實葉片。對于氣動阻尼的設(shè)定，筆者是通過閱讀文獻進行的定性研究，在實際過程中，可通過有限元仿真或?qū)嶒灥仁侄芜M行獲取。