陳嵩

（福建省廈門(mén)市群惠小學(xué) 福建廈門(mén) 361003）

學(xué)生在六年級(jí)學(xué)習(xí)圓周長(zhǎng)和面積時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)求“周長(zhǎng)”變成求“面積”。筆者在六年級(jí)上冊(cè)教完圓的周長(zhǎng)后，馬上測(cè)試求一個(gè)半圓形的周長(zhǎng)。

題目：把一張半徑是5厘米的圓形紙片對(duì)折，得到一個(gè)半圓，這個(gè)半圓的周長(zhǎng)是多少？

這道題目的測(cè)試結(jié)果相當(dāng)驚人，整個(gè)年段正確率不足30%，幾乎都錯(cuò)在沒(méi)有加一條直徑這個(gè)典型錯(cuò)例上。很多學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)僅僅停留在描述性概念這一表面上。到底什么是“圖形一周的長(zhǎng)度”，甚至什么是“圖形的一周”，學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題的認(rèn)知是缺失的。

周長(zhǎng)的概念首次出現(xiàn)在三年級(jí)。下面筆者就以三年級(jí)“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”一課為例，談?wù)勅绾位趯W(xué)情，單元整體備課，上下勾連，深化知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，以多維活動(dòng)為載體，呈現(xiàn)問(wèn)題鏈化解學(xué)生的困惑點(diǎn)、易混點(diǎn)，讓學(xué)生在體驗(yàn)中去辨析、梳理、評(píng)價(jià)，發(fā)展其高階思維能力。

一、精準(zhǔn)前測(cè)，暴露困惑點(diǎn)和易混點(diǎn)

三年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生，處在直觀動(dòng)作思維向抽象邏輯思維發(fā)展的過(guò)渡階段，也是從認(rèn)知一維圖形（線段、直線等）過(guò)渡到認(rèn)識(shí)二維圖形的階段，這需要大量感性表象和實(shí)際操作的支撐才能理解抽象的概念。認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了四邊形、三角形等圖形，并在二年級(jí)學(xué)會(huì)了測(cè)量長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，充分利用這些基礎(chǔ)知識(shí)，才能讓學(xué)生理解周長(zhǎng)的概念和測(cè)量各種圖形的周長(zhǎng)。

那么，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)知水平如何？是否有意識(shí)地利用工具來(lái)測(cè)量周長(zhǎng)？筆者設(shè)計(jì)了如下調(diào)研問(wèn)題：

1.你聽(tīng)說(shuō)過(guò)周長(zhǎng)嗎？請(qǐng)結(jié)合生活用圖畫(huà)與文字來(lái)表示你對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)。

2.下面的圖形或物體有一周嗎？有的請(qǐng)打鉤并把它的一周描出來(lái)。

3.在下面點(diǎn)子圖中，1號(hào)圖形和2號(hào)圖形的周長(zhǎng)相比誰(shuí)大誰(shuí)小。

調(diào)研結(jié)果顯示，班級(jí)52人只有8人能?chē)@“周”或“長(zhǎng)”描述。這種題目是一個(gè)很常規(guī)的問(wèn)題，可見(jiàn)，高年級(jí)學(xué)生雖然會(huì)描述相關(guān)概念，但是對(duì)本質(zhì)的理解是欠缺的[1]。

調(diào)查應(yīng)反映學(xué)生認(rèn)知的知識(shí)本質(zhì)的盲點(diǎn)。基于這樣的思考，上述調(diào)研題目也無(wú)法判斷學(xué)生是否有利用工具來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度的意識(shí)。筆者進(jìn)行了第二次調(diào)研，題目如下。

（1）下面的圖形或物體有一周嗎？有的請(qǐng)?jiān)冢ǎ┐蜚^，并把它的一周描出來(lái)。

（2）下圖有一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形，你能用什么辦法知道哪個(gè)圖形一周的長(zhǎng)度更長(zhǎng)？

（3）下面的點(diǎn)子圖中，1號(hào)圖形和2號(hào)圖形周長(zhǎng)相比（）（一樣長(zhǎng)或誰(shuí)更長(zhǎng)？）

結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)一周的概念不理解，容易受面的干擾；超過(guò)半數(shù)學(xué)生懂得借助工具測(cè)量，但大部分學(xué)生只測(cè)量出圖形部分邊線長(zhǎng)度。由此可見(jiàn)，周長(zhǎng)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，會(huì)受到二維平面的影響。如何消除這種影響讓周長(zhǎng)可視？部分學(xué)生不理解 “一周”，如何幫助理解含義，并在活動(dòng)中滲透度量思想？

學(xué)生在前測(cè)暴露的困惑點(diǎn)和易混點(diǎn)，有助于教師聚焦問(wèn)題的核心。在教學(xué)中，教師應(yīng)著重幫學(xué)生突破“一周”認(rèn)知的困難，引入“邊線”，借邊線感受一周，將一周從二維平面上剝離出來(lái)，讓其可視，排除了面的干擾后，再聚焦下一個(gè)難點(diǎn)——周長(zhǎng)的度量。在學(xué)生測(cè)量一周的長(zhǎng)度時(shí)，將借助格子圖點(diǎn)子圖的單位度量，去溝通計(jì)算方法。

二、整合教材，上下勾連抓本質(zhì)

筆者梳理了小學(xué)階段十二冊(cè)內(nèi)容中圖形測(cè)量部分的知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圖形的測(cè)量包括初步感知、一維測(cè)量、二維測(cè)量、三維測(cè)量。學(xué)生在這之前學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度單元，并體驗(yàn)了統(tǒng)一長(zhǎng)度單位的重要性。單元整體備課有助于對(duì)圖形測(cè)量部分的縱向梳理。由此明確：周長(zhǎng)是小學(xué)周長(zhǎng)學(xué)習(xí)的第一課時(shí)，也是小學(xué)階段第一次利用長(zhǎng)度單位直接度量，是勾連一維度量和二維度量的通道，學(xué)生一維度量的意識(shí)又會(huì)影響到二維和三維度量，所以認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)在教材中的重要性不言而喻。

筆者將周長(zhǎng)定義為二維圖形中的一維概念，它的本質(zhì)就是一維長(zhǎng)度的度量。低年級(jí)的學(xué)生會(huì)測(cè)量一條給定線段長(zhǎng)度，為什么高年級(jí)的學(xué)生反而不會(huì)求這些線段的長(zhǎng)度（周長(zhǎng)）呢？這個(gè)問(wèn)題出現(xiàn)在學(xué)生從一維圖形過(guò)渡到二維圖形認(rèn)識(shí)的過(guò)程中。當(dāng)一條線段首尾相接的時(shí)候，這條“線”就消失了，學(xué)生眼里只看到這個(gè)圖形的“面”了。對(duì)邊上“線”的感知就降低了，圖形的“一周”當(dāng)然就消失了。

通過(guò)對(duì)比北師、蘇教、人教版教材，筆者又發(fā)現(xiàn)，北師大版和蘇教版的教材都有說(shuō)到這條線，北師大版是讓學(xué)生用彩筆描出樹(shù)葉一周的邊線，而蘇教版則是指一指書(shū)簽一周的邊線，無(wú)論是畫(huà)還是指，都是在借助“邊線”讓周長(zhǎng)直觀可見(jiàn)，通過(guò)對(duì)比分析，在周長(zhǎng)一課的設(shè)計(jì)中引入“邊線”，其目的是讓周長(zhǎng)可視。所以如何讓這一周重現(xiàn)，讓周長(zhǎng)可視，就是備這節(jié)課的突破口。

三個(gè)版本的教材，其整體教材編排順序一致，但在教學(xué)路徑上，北師版由特殊（身邊的物體）到一般（圖形），人教版蘇教版是由一般到特殊。不同的教材的核心活動(dòng)都是突出動(dòng)手操作和探究這些學(xué)習(xí)方式，這樣安排的目的都是為了培養(yǎng)學(xué)生的度量意識(shí)，所以度量意識(shí)就是核心活動(dòng)的重中之重了。

基于以上分析，在教學(xué)上應(yīng)注重抓“本質(zhì)”，周長(zhǎng)是封閉圖形一周的長(zhǎng)度。這樣的描述中，“一周”是一個(gè)空間概念，是周長(zhǎng)概念中形的本質(zhì)，而“長(zhǎng)度”是一個(gè)數(shù)量概念，是周長(zhǎng)概念中量的本質(zhì)。

三、多維活動(dòng)，層層辨析拓思維

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)促進(jìn)學(xué)生探索，力圖讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能觸及知識(shí)本質(zhì)，并設(shè)計(jì)實(shí)施具有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解。以下就教學(xué)流程列舉。

1.引入邊線，認(rèn)識(shí)一周

設(shè)計(jì)螞蟻運(yùn)動(dòng)會(huì)的情境，讓學(xué)生找到樹(shù)葉的邊線。

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，邊線本身并不難理解。有了單元整體備課的視野，發(fā)現(xiàn)難的是在平面中找到邊線，學(xué)生容易受到面的干擾，忽略了邊線。所以，從二維圖形中剝離出一維的邊線，幫助學(xué)生消除面的干擾，從面中看到線才是難點(diǎn)，才是讓周長(zhǎng)可視的意義。先讓學(xué)生找到并指出樹(shù)葉的邊線，建立對(duì)一周的初步感知。再描出樹(shù)葉的邊線，把樹(shù)葉拿開(kāi)直視留在黑板上的邊線，就是要將二維圖形中的一維線段剝離出來(lái)，幫助學(xué)生排除面的干擾，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這條邊線就是樹(shù)葉的一周，讓圖形的一周變得直觀可視[2]。

2.分析反思，感受一周

（1）師：樹(shù)葉有它的一周，身邊物體的表面有一周嗎？同桌互相找一找，指一指。讓學(xué)生從身邊熟悉的物體入手，明確一周存在于許多物體的表面，就在我們的身邊。也能在指一指的過(guò)程中再次感受它的邊線就是一周。

（2）師：物體表面有一周，圖形有一周嗎？你能描出下面圖形的一周嗎？

沒(méi)有了面的干擾后，也初步感受了“一周”后，我們?cè)賮?lái)聚焦問(wèn)題：到底什么是一周？

學(xué)生描出一周后，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生典型錯(cuò)例，引導(dǎo)學(xué)生分析、反思誰(shuí)畫(huà)得對(duì)。隨后馬上追問(wèn)：到底怎樣才是圖形的一周？學(xué)生再分陣營(yíng)來(lái)擺事實(shí)講道理。學(xué)生在辨析、梳理、交流碰撞中，明確里面的線段不是圖形的邊線不是圖形的一周，逐步清晰地構(gòu)建周長(zhǎng)中“周”的概念。

（3）聚焦M字形圖形，師：為什么都沒(méi)有描出一周？

學(xué)生從已經(jīng)從前面環(huán)節(jié)的辨析中積累對(duì)“一周”的感知，自然認(rèn)為此圖無(wú)法從起點(diǎn)開(kāi)始繞一周后再回到起點(diǎn)，不是一個(gè)封閉圖形，當(dāng)然也就沒(méi)有一周了。又從“能把它變成一個(gè)封閉圖形嗎”這個(gè)變化中，再次加深學(xué)生對(duì)圖形一周的認(rèn)知。

3.動(dòng)手操作，認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)

基于單元整體備課對(duì)知識(shí)本質(zhì)的分析。周長(zhǎng)是通過(guò)度量得到的，度量物體表面或平面圖形邊線的長(zhǎng)度，得到的這個(gè)結(jié)果就是它的周長(zhǎng)，其本質(zhì)就是長(zhǎng)度單位的累加。

（1）基于此設(shè)計(jì)“你如何知道上述第四幅圖形一周的長(zhǎng)度”的問(wèn)題。

生1：量出每一條邊的長(zhǎng)度再加起來(lái)。

生2：用格子圖來(lái)測(cè)量。

生3：用繩子圍一圍，在量出繩子的長(zhǎng)度。

利用格子圖測(cè)量就是為了突顯度量單位的累加這個(gè)核心。通過(guò)課件全班同學(xué)一起數(shù)一數(shù)，讓學(xué)生明確這些測(cè)量方法實(shí)際上都是把圖形的邊線數(shù)出來(lái)再加起來(lái)，這個(gè)圖形一周有幾個(gè)1厘米，它的一周就是幾厘米。這就指向了度量的本質(zhì)：長(zhǎng)度單位的累加；也引出了周長(zhǎng)的定義：封閉圖形一周的長(zhǎng)度。

（2）師：一只螞蟻沿著樹(shù)葉一周跑，一只沿著正方形磚塊一周邊線跑，誰(shuí)先跑完一周，誰(shuí)就贏，如果你是螞蟻，你會(huì)選擇哪個(gè)圖形跑？

學(xué)生選擇哪個(gè)圖形？（跑道短的）就要意識(shí)到就是在比較周長(zhǎng)的長(zhǎng)短，建立描述周長(zhǎng)不是用大小，而是用長(zhǎng)短來(lái)比較的直觀感受。

生1：正方形用直尺量一條邊，算出4條邊的總和就是它的周長(zhǎng)。

生2：用繩子繞樹(shù)葉一周，展開(kāi)拉直后繩子的長(zhǎng)度就是它的周長(zhǎng)。

針對(duì)不同情況，學(xué)生要選擇合適測(cè)量工具：直邊可以直接用直尺測(cè)量（同時(shí)還可利用正方形的特征快速計(jì)算周長(zhǎng)），曲邊圖形用線繞再測(cè)量線的長(zhǎng)度，滲透化曲為直的數(shù)學(xué)思想。

4.辨析說(shuō)理，深化概念

（1）快速判斷，下面兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)一樣嗎？

（2）長(zhǎng)方形中加一筆，分成兩個(gè)周長(zhǎng)一樣的圖形。

（3）拿走一個(gè)小方塊，周長(zhǎng)會(huì)變嗎？

三個(gè)活動(dòng)層層深入，讓學(xué)生在辯一辯、說(shuō)一說(shuō)中體會(huì)周長(zhǎng)的本質(zhì)特征，學(xué)生的這種卷入式的學(xué)習(xí)狀態(tài)，就是在深度學(xué)習(xí)。筆者通過(guò)設(shè)計(jì)多維的活動(dòng)，讓學(xué)生思維碰撞，在層層豐富的活動(dòng)中探索圖形周長(zhǎng)的“變與不變”，深化周長(zhǎng)是一維長(zhǎng)度的概念，不受面大小的影響，從而拓展學(xué)生的思維，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生空間觀念、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。

四、反思改進(jìn)，數(shù)據(jù)分析促發(fā)展

借助COP大數(shù)據(jù)的分析，引起了筆者的一些思考，比如：缺乏對(duì)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)。筆者覺(jué)得可以在以下環(huán)節(jié)進(jìn)行調(diào)整：在描出圖形一周有不同的畫(huà)法時(shí)，基于學(xué)生的困惑，以“兩幅作品，你有什么疑問(wèn)？”引導(dǎo)學(xué)生自己提出問(wèn)題：誰(shuí)畫(huà)得對(duì)？到底怎樣才是圖形的一周？學(xué)生再分陣營(yíng)來(lái)擺事實(shí)講道理。這樣更能針對(duì)學(xué)生的難點(diǎn)、易混點(diǎn)和困惑點(diǎn)，呈現(xiàn)描出圖形一周的不同畫(huà)法，基于學(xué)生的典型錯(cuò)例，通過(guò)層層反饋，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提問(wèn)、學(xué)會(huì)反思、學(xué)會(huì)辨析、學(xué)會(huì)表達(dá)、厘清思路，通過(guò)不同觀點(diǎn)的碰撞，逐步清晰地構(gòu)建“周長(zhǎng)”的概念。再如COP數(shù)據(jù)分析中，學(xué)生討論后匯報(bào)的比例過(guò)低，體現(xiàn)在“加一筆，分成兩個(gè)周長(zhǎng)一樣的圖形”環(huán)節(jié)時(shí)，只讓學(xué)生自己上臺(tái)說(shuō)理，沒(méi)有關(guān)注臺(tái)下學(xué)生的反饋。其實(shí)，這個(gè)過(guò)程中學(xué)生易受面的影響，認(rèn)為圖形面越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)。所以，有必要讓學(xué)生充分討論AB兩個(gè)圖形周長(zhǎng)是否一樣？通過(guò)分析、辨析、證明，最后匯報(bào)。這樣引導(dǎo)學(xué)生要關(guān)注圖形邊線的長(zhǎng)度，深化了周長(zhǎng)是一維長(zhǎng)度的概念，從而拓展了學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

回顧周長(zhǎng)一課的教學(xué)，筆者依靠單元整體備課的方法，能有效引導(dǎo)學(xué)生走向深度的學(xué)習(xí)中。整節(jié)課從備課思考到實(shí)踐探索，筆者始終以學(xué)生的立場(chǎng)為立足點(diǎn)，基于單元整體備課的框架，在課前對(duì)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)做到逐層深化，然后對(duì)學(xué)生相關(guān)知識(shí)做了前測(cè)了解，再據(jù)此設(shè)計(jì)以問(wèn)題鏈形式呈現(xiàn)的具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)。在實(shí)施教學(xué)過(guò)程中，以多維活動(dòng)為載體，設(shè)計(jì)針對(duì)學(xué)生困惑點(diǎn)、易混點(diǎn)、難點(diǎn)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在體驗(yàn)中去辨析、梳理、評(píng)價(jià)、提問(wèn)，最終達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的目的。

總之，概念教學(xué)應(yīng)針對(duì)學(xué)生的難點(diǎn)、易混點(diǎn)和困惑點(diǎn)，基于學(xué)生的典型錯(cuò)例，層層反饋，引導(dǎo)學(xué)生厘清思路、學(xué)會(huì)提問(wèn)、學(xué)會(huì)辨析、學(xué)會(huì)表達(dá)、學(xué)會(huì)反思，通過(guò)不同觀點(diǎn)的碰撞，逐步清晰地構(gòu)建概念，拓展學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。