左 信 陳志鵬 岳元龍

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院自動(dòng)化系）

儲(chǔ)能電池及以它為核心的不間斷電源系統(tǒng)（Uninterruptible Power Supply，UPS），對(duì)鉆井平臺(tái)作業(yè)的可持續(xù)性和安全性有著重要作用。 健康狀態(tài)（State-of-health，SOH）用來評(píng)估電池的老化程度， 是影響電池供電性能和安全運(yùn)行的關(guān)鍵因素，SOH低于80%的電池應(yīng)該及時(shí)更換。目前公認(rèn)的SOH測(cè)量方法為全容量核對(duì)性測(cè)試方法，但因測(cè)試過程放電時(shí)間過長(zhǎng)、深度過大，無法滿足運(yùn)營(yíng)需求。 因此，進(jìn)行儲(chǔ)能電池SOH估計(jì)方法的研究是非常必要的。

目前對(duì)SOH估計(jì)的研究方向大致可分為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)［1，2］和模型研究［3］。 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模使用統(tǒng)計(jì)理論或機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)直接從觀測(cè)數(shù)據(jù)中推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型［4］，不足或有偏差的訓(xùn)練數(shù)據(jù)可能導(dǎo)致估計(jì)不準(zhǔn)確。 模型研究常采用等效電路模型，即采用簡(jiǎn)單的電路元件組合的方式來模擬電池的電化學(xué)行為。 通常，該方法使用離線數(shù)據(jù)校準(zhǔn)模型參數(shù)， 而模型參數(shù)易受到荷電狀態(tài) （State of Charge，SOC）和SOH的影響，使得模型精度偏低。為實(shí)現(xiàn)參數(shù)的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)，研究人員提出了遞歸最小二乘法［4］和卡爾曼濾波法（Kalman Filter，KF）［5］，并對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)［6］。參數(shù)辨識(shí)后，可以使用已辨識(shí)的參數(shù)來估計(jì)模型狀態(tài)。 ZHOU D等提出高斯過程回歸與擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）相結(jié)合的研究思路［7］，并在電動(dòng)汽車充電數(shù)據(jù)上取得了較好的SOH估計(jì)結(jié)果。 付曉光使用雙卡爾曼濾波結(jié)合自定義工況數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了電池的SOC估計(jì)［8］，算法簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。

筆者以戴維南等效電路模型為研究對(duì)象，對(duì)雙卡爾曼濾波（Dual Kalman Filter，DKF）算法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種多時(shí)間尺度雙擴(kuò)展卡爾曼濾波（Multi-time Scale Dual Extended Kalman Filter，MDEKF）算法，并通過應(yīng)用對(duì)比，驗(yàn)證所提改進(jìn)算法的有效性。

1 儲(chǔ)能電池運(yùn)行工況及戴維南模型

1.1 儲(chǔ)能電池運(yùn)行工況

與電動(dòng)車輛、電動(dòng)工具及手機(jī)等設(shè)備用電池運(yùn)行工況不同，UPS儲(chǔ)能電池作為電力系統(tǒng)的應(yīng)急電源，大部分時(shí)間浮充運(yùn)行，由市電向負(fù)荷側(cè)供電。 在市電異常的情況下，電池放電承擔(dān)重要設(shè)備的應(yīng)急電力供應(yīng)任務(wù)。 電池SOH與電壓等參數(shù)不同，不能直接使用工具簡(jiǎn)單測(cè)量得到，而且常規(guī)的內(nèi)阻、溫度、電壓及電流等參數(shù)也不足以表征電池SOH。

DL/T 724—2000《電力系統(tǒng)用電池直流電源裝置運(yùn)行與維護(hù)技術(shù)規(guī)程》［9］要求投入運(yùn)行的電池組，應(yīng)定期組織全容量核對(duì)性放電試驗(yàn)， 并及時(shí)更換SOH低于80%的電池。 筆者將利用放電深度為50%的恒流放電數(shù)據(jù)， 實(shí)現(xiàn)對(duì)儲(chǔ)能電池SOH的精準(zhǔn)估計(jì)，用電池最大可用容量來表征SOH。

1.2 戴維南模型

戴維南模型在歐姆內(nèi)阻的基礎(chǔ)上，考慮了電化學(xué)極化的影響，可以準(zhǔn)確地模擬出電池在恒流條件下的充放電暫態(tài)響應(yīng)曲線。 模型結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算時(shí)間短，在電池的實(shí)驗(yàn)研究中應(yīng)用廣泛，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 戴維南等效電路模型

圖1中，Uoc、Uv、Ud分別表示電池的開路電壓OCV、端電壓和極化電壓；R0、Rd、Cd分別表示電池的歐姆內(nèi)阻、極化內(nèi)阻和極化電容；iL表示電池的負(fù)載電流，圖中箭頭方向表示電流的正方向。 由基爾霍夫定律和安時(shí)積分法得到如下公式：

其中，z為電池SOC；η為電池當(dāng)前充放電倍率下的效率，在0.1C放電倍率下，取值為1；Uoc隨電池z的變化而變化，可視為z的函數(shù)；Qn為電池的當(dāng)前最大可用容量，即SOH的容量表示。

模型離散化。 在單位采樣時(shí)間內(nèi)，電池的參數(shù)視為固定值，將模型看作時(shí)變定常系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到下式：

其中， 下標(biāo)k為時(shí)刻；ΔT為采樣時(shí)間；τ=RddCdd為時(shí)間常數(shù)。

不同單體電池的OCV-SOC關(guān)系基本相似，通過離線數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到下式：

2 儲(chǔ)能電池SOH估計(jì)算法的實(shí)現(xiàn)

2.1 DKF算法

在DKF算法中， 用KF算法辨識(shí)模型參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)戴維南模型中歐姆內(nèi)阻、極化內(nèi)阻和極化電容的更新； 用EKF算法估計(jì)模型狀態(tài)， 根據(jù)OCV-SOC曲線不斷標(biāo)定開路電壓，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)戴維南模型中電壓源的更新；然后利用安時(shí)積分法逆過程，實(shí)現(xiàn)SOH估計(jì)。

DKF算法原理如圖2所示。

圖2 DKF算法原理示意圖

2.1.1 基于KF的模型參數(shù)辨識(shí)

將開路電壓Uoc和端電壓Uv的差值記為Uc，由式（2）可得：

綜合式（2）和式（4），得到下式：

式（5）可以表達(dá)為：

將k時(shí)刻的模型參數(shù)記為θc，k，得到：

電池的模型參數(shù)變化緩慢，在采樣時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為參數(shù)保持不變。 將式（6）代入KF算法表達(dá)式中，容易得到下式：

其中，ωθc、vθc分別為參數(shù)噪聲和觀測(cè)噪聲，協(xié)方差矩陣記為Qθc、Rθc。參數(shù)向量θc，k、輸出向量Yθc，k、系統(tǒng)矩陣Aθc，k、Cθc，k如下：

2.1.2 基于EKF的模型狀態(tài)估計(jì)

將離散化后的電池模型代入EKF算法表達(dá)式中，容易得到下式：

其中，ωχ和vχ為系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測(cè)噪聲，協(xié)方差矩陣記為Qχ、Rχ，狀態(tài)向量χk的估計(jì)值記為χ^k。 輸入向量uχ，k、狀態(tài)向量χk、輸出向量Yk、系統(tǒng)矩陣Aχ，k-1、Cχ，k以及狀態(tài)方程函數(shù)fχ（，uχ，k-1）、觀測(cè)方程函數(shù)hχ（，uχ，k）如下：

2.1.3 基于狀態(tài)估計(jì)的SOH估計(jì)

電池SOH對(duì)OCV-SOC曲線的影響較小， 根據(jù)安時(shí)積分法逆過程可得到在k時(shí)刻算法估計(jì)的電池最大可用容量Qn,k：

其中，Ts為SOH更新的時(shí)間間隔；Δzk為SOC的變化量；ΔQk為電池容量的變化量。 當(dāng)Δzk較小時(shí)，SOC的估計(jì)誤差將嚴(yán)重影響SOH的估計(jì)精度，因此需要預(yù)設(shè)約束條件來保障算法的精度和穩(wěn)定性：

a. 設(shè)置時(shí)間長(zhǎng)度閾值Ls。 應(yīng)預(yù)留充足的算法準(zhǔn)備時(shí)間，使得SOC估計(jì)值能夠精準(zhǔn)跟蹤真實(shí)值。

b. 設(shè)置Δzk的閾值z(mì)f。 當(dāng)SOC的變化量Δzk大于閾值z(mì)f時(shí)，才允許更新SOH。 因?yàn)棣k過小的話，容易造成SOH估計(jì)波動(dòng)較大。

c. 設(shè)置SOH變化率限制。 應(yīng)設(shè)置SOH變化率閾值sf，防止SOH大范圍波動(dòng)導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果發(fā)散。記SOH的變化率為sd，則有：

2.2 雙卡爾曼濾波改進(jìn)算法

2.2.1 雙擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

為增強(qiáng)DKF算法的魯棒性， 筆者對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，調(diào)整參數(shù)濾波器的新息矩陣與狀態(tài)濾波器保持一致，建立起參數(shù)辨識(shí)和狀態(tài)估計(jì)的耦合結(jié)構(gòu)。 參數(shù)記為θk=［R0RdCd］，代入EKF算法表達(dá)式中，容易得到下式：

其中，θk為系統(tǒng)參數(shù)向量，θk的估計(jì)值記為；Aθ，k、Cθ，k為系統(tǒng)矩陣；ωθ、vθ分別為參數(shù)和觀測(cè)方程噪聲。 各參數(shù)向量、輸出向量、系統(tǒng)矩陣以及系統(tǒng)參數(shù)方程函數(shù)、觀測(cè)方程函數(shù)如下：

其中，Uoc，k的估計(jì)值記為，Ud，k的估計(jì)值記為。 需要指出的是，由于參數(shù)濾波器觀測(cè)方程的新息矩陣與狀態(tài)濾波器是一致的，hθ（，uχ，k，θk）的表達(dá)式與狀態(tài)濾波器的觀測(cè)方程hχ（χk，uχ，k）是一致的。

將基于EKF的狀態(tài)估計(jì)方法與基于EKF的參數(shù)辨識(shí)方法結(jié)合在一起，得到一種雙擴(kuò)展卡爾曼濾波（Dual Extended Kalman Filter，DEKF）算法。在DEKF算法中，為了統(tǒng)一表達(dá)，使用H（χk，uχ，k，θk）表示包含了狀態(tài)和參數(shù)變量的觀測(cè)方程，F(xiàn)（χk，uχ，k，θk）表示包含了狀態(tài)和參數(shù)變量的狀態(tài)方程。

式（17）中，Cθ，k的計(jì)算式如下：

式（19）中，通常認(rèn)為卡爾曼增益矩陣Lχ，k-1與θ是相互獨(dú)立的或者說二者之間的關(guān)聯(lián)性對(duì)算法的表現(xiàn)貢獻(xiàn)很?。?0］，得到下式：

綜合式（22），初始值設(shè)置為0，通過遞推公式得出Cθ，k。

2.2.2 MDEKF算法

結(jié)合模型狀態(tài)和參數(shù)的時(shí)變特點(diǎn)，引入多時(shí)間尺度對(duì)狀態(tài)和參數(shù)分別在宏觀和微觀尺度上進(jìn)行估計(jì)，得到一種MDEKF算法。

初始化：

宏觀尺度上，計(jì)算參數(shù)的時(shí)間更新，得到k時(shí)刻參數(shù)的先驗(yàn)估計(jì)及其估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣

宏觀尺度的時(shí)刻記為k， 微觀尺度的時(shí)刻記為l， 取值范圍為［1，Lz］，Lz為多時(shí)間尺度轉(zhuǎn)換限值；ln為當(dāng)前時(shí)刻，在數(shù)值上等于（k-1）×Lz+l。在微觀尺度上，計(jì)算狀態(tài)的時(shí)間更新，得到ln時(shí)刻狀態(tài)的先驗(yàn)估計(jì)及其估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣：

微觀尺度上，計(jì)算狀態(tài)的測(cè)量更新，得到ln時(shí)刻的新息矩陣ek-1，l、卡爾曼增益Lχ，k-1，l和狀態(tài)的后驗(yàn)估計(jì)及其誤差協(xié)方差矩陣Pχ，k-1，l：

其中，I為單位矩陣。

循環(huán)計(jì)算，l取值Lz時(shí)，完成尺度轉(zhuǎn)換：

宏觀尺度上，計(jì)算參數(shù)的測(cè)量更新，得到k時(shí)刻的新息矩陣ek，0、 卡爾曼增益Lθ，k和狀態(tài)的后驗(yàn)估計(jì)及其誤差協(xié)方差矩陣：

時(shí)間循環(huán)更新， 基于SOC的估計(jì)值實(shí)現(xiàn)SOH估計(jì)。

按下式賦值，推移至下一時(shí)刻繼續(xù)執(zhí)行上述算法：

若當(dāng)前時(shí)刻滿足預(yù)設(shè)的約束條件， 則計(jì)算SOH的更新。

MDEKF算法的結(jié)構(gòu)如圖3所示， 圖中Lz為多時(shí)間尺度轉(zhuǎn)換限值，ln為當(dāng)前時(shí)刻。

圖3 MDEKF算法的原理

3 應(yīng)用算例

筆者選用的電池額定容量為200 Ah， 當(dāng)前SOH為150 Ah。 在放電深度為50%的恒流放電數(shù)據(jù)上， 對(duì)比DKF、DEKF和MDEKF算法的應(yīng)用表現(xiàn)，驗(yàn)證參數(shù)辨識(shí)和狀態(tài)估計(jì)的耦合結(jié)構(gòu)以及多時(shí)間尺度方法對(duì)算法魯棒性和精度的影響。

3.1 算法初始化

在狀態(tài)濾波器的初始值設(shè)置中， 如果Qχ設(shè)置得過小，算法將過于依賴模型，相當(dāng)于安時(shí)積分法，很難收斂，魯棒性弱；如果Rχ設(shè)置得過小，算法將過于依賴測(cè)量值，相當(dāng)于開路電壓法，精度很低。 狀態(tài)濾波器中的Qχ、Rχ、Pχ，0設(shè)置如下：

在參數(shù)濾波器的初始值設(shè)置中，如果Qθc設(shè)置得過小，算法將不會(huì)更新電池模型參數(shù)，導(dǎo)致參數(shù)濾波失??；如果Rθc設(shè)置得過小，算法將大范圍更新電池參數(shù)，容易導(dǎo)致算法發(fā)散。 參數(shù)濾波器中的Qθc、Rθc、Pθc，0設(shè)置如下：

采樣周期ΔT取1 s； 時(shí)間長(zhǎng)度閾值Ls取2 000 s；Δzk的閾值z(mì)f取0. 5%；SOH的變化率閾值sf取0.03。

MDEKF算法多時(shí)間尺度轉(zhuǎn)換限值Lz取60 s；DEKF、MDEKF算法其他參數(shù)設(shè)置與DKF算法保持一致。

3.2 DKF算法應(yīng)用

DKF算法在放電數(shù)據(jù)上的應(yīng)用表現(xiàn)如圖4、5所示。 圖4a、b分別為歐姆內(nèi)阻初始值擾動(dòng)前、后DKF算法的SOC估計(jì)和SOC估計(jì)誤差對(duì)比曲線。圖5a、b分別為歐姆內(nèi)阻初始值擾動(dòng)前、 后DKF算法的SOH估計(jì)和SOH估計(jì)誤差對(duì)比曲線。

圖4 擾動(dòng)前、后DKF算法在SOC上的跟蹤效果

圖5 擾動(dòng)前、后DKF算法在SOH上的跟蹤效果

綜合圖4、5可以發(fā)現(xiàn)： 選擇合適的初始值，DKF算法有著很好的估計(jì)精度。 SOC估計(jì)誤差最大值控制在0.05以內(nèi)； 穩(wěn)定后的SOH估計(jì)誤差控制在5 Ah以內(nèi)；但DKF算法的魯棒性較弱，當(dāng)模型參數(shù)初始值發(fā)生擾動(dòng)后，SOC估計(jì)精度降低明顯，穩(wěn)定后的SOH估計(jì)誤差超過了10 Ah。

3.3 DEKF算法應(yīng)用

DEKF算法在放電數(shù)據(jù)上的應(yīng)用表現(xiàn)如圖6、7所示。 圖6a、b分別為歐姆內(nèi)阻初始值擾動(dòng)前、后DEKF算法的SOC估計(jì)和SOC估計(jì)誤差對(duì)比曲線。圖7a、b分別為歐姆內(nèi)阻初始值擾動(dòng)前、 后DEKF算法的SOH估計(jì)和SOH估計(jì)誤差對(duì)比曲線。

圖6 擾動(dòng)前、后DEKF算法在SOC上的跟蹤效果

圖7 擾動(dòng)前、后DEKF算法在SOH上的跟蹤效果

綜合圖6、7可以發(fā)現(xiàn)：DEKF算法的魯棒性明顯強(qiáng)于DKF算法， 證實(shí)了改進(jìn)算法的有效性。 擾動(dòng)前、 后，SOC和SOH的估計(jì)精度基本沒有變化，SOC估計(jì)誤差最大值控制在0.05以內(nèi)； 穩(wěn)定后的SOH估計(jì)誤差控制在5 Ah以內(nèi)。

3.4 MDEKF與DKF、DEKF算法應(yīng)用對(duì)比

MDEKF算法在放電數(shù)據(jù)上的應(yīng)用表現(xiàn)如圖8、9所示。 圖8a、b分別為3種算法下的SOC估計(jì)和SOC估計(jì)誤差對(duì)比曲線。圖9a、b分別為3種算法下的SOH估計(jì)和SOH估計(jì)誤差對(duì)比曲線。

圖8 3種算法在SOC上的跟蹤效果對(duì)比

圖9 3種算法在SOH上的跟蹤效果對(duì)比

為了更直觀地展示DKF、DEKF和MDEKF算法的估計(jì)表現(xiàn)，對(duì)應(yīng)用結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果見表1。 其中，平均絕對(duì)百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE） 表征模型的估計(jì)精度，MAPE越大，代表樣本的估計(jì)誤差越大，估計(jì)精度越差。

表1 3種濾波算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析

結(jié)合應(yīng)用案例可知：多時(shí)間尺度的引入有效地提升了算法的估計(jì)精度，證實(shí)了所提方法的有效性。 MDEKF算法獲得最佳的估計(jì)精度， 其中SOC估計(jì)誤差最大值為0.039，MAPE為1.30%；穩(wěn)定后的SOH估計(jì)誤差為1.59 Ah， 誤差百分比為1.06%。

4 結(jié)束語

對(duì)雙卡爾曼濾波算法進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合戴維南等效電路模型，提出基于多時(shí)間尺度雙擴(kuò)展卡爾曼濾波的SOH估計(jì)算法。 在儲(chǔ)能電池放電深度為50%的恒流放電數(shù)據(jù)上的應(yīng)用結(jié)果表明： 參數(shù)辨識(shí)和狀態(tài)估計(jì)的耦合結(jié)構(gòu)以及多時(shí)間尺度方法的應(yīng)用，能夠有效地提升算法的估計(jì)精度和魯棒性，SOC估計(jì)的MAPE小于1.5%， 穩(wěn)定后SOH估計(jì)誤差小于2 Ah。筆者所提出的SOH估計(jì)方法，大幅縮短了電池放電的時(shí)長(zhǎng)和深度，并取得較高的估計(jì)精度， 為儲(chǔ)能電池的SOH監(jiān)測(cè)提供了很好的應(yīng)用模型和算法。