鄧鍇彧 萬 鑫 羅雄麟

（中國石油大學（北京）信息科學與工程學院）

模型預測控 制 （Model Predictive Control，MPC）是20世紀80年代初發(fā)展起來的一類新型計算機控制算法［1，2］，該算法直接在工業(yè)過程控制實際應用，并在與工業(yè)應用的緊密結合中不斷完善和成熟。 模型預測控制算法由于采用了多步預測、滾動優(yōu)化及反饋校正等控制策略，因此具有控制效果好、魯棒性強和對模型精確性要求不高的優(yōu)點，這些優(yōu)點決定了該方法能夠有效地應用于復雜工業(yè)過程的控制，并且已在石油、化工、冶金及機械等過程控制系統(tǒng)中成功應用［3～5］。

實際工業(yè)控制應用中，MPC對被控變量（CV）的控制方式主要有設定值控制和區(qū)間控制［6，7］兩種。 設定值控制能夠將被控變量嚴格控制在理想的目標值， 適用于具有嚴格控制指標的被控變量，但對于被控變量的嚴格控制又使得設定值控制具有自由度低和魯棒性差的缺點，在工業(yè)過程遇到擾動的情況下，控制性能會大打折扣，被控變量劇烈振蕩，影響產品性能與質量［8～10］。 在一些工業(yè)領域，被控變量在一個特定范圍內波動對控制過程的影響幾乎相同，對于此類被控變量，無需將其控制到一個嚴格的設定值，而是將其控制在一個范圍內即可，即區(qū)間控制［11］。 區(qū)間控制框架下的系統(tǒng)性能指標與設定值型控制指標不同［12，13］，控制策略也不同。 當被控變量到達設定區(qū)間內時，控制器不再產生控制作用；當被控變量在設定區(qū)間外時，控制器產生強控制作用，使被控變量快速回到設定區(qū)間。 用區(qū)間控制代替設定值控制會使系統(tǒng)的魯棒性和自由度大幅提高。

近些年來， 為了更好地滿足工業(yè)控制要求，區(qū)間控制算法已成為控制理論的熱門研究課題，并且在實際應用中也取得了巨大發(fā)展。 文獻［12］研究了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 文獻［14，15］采用多層結構設計具有區(qū)間控制特點的區(qū)間控制策略，該策略中上層的優(yōu)化器可以計算最優(yōu)工作點，而MPC控制器可以在約束條件下將系統(tǒng)的狀態(tài)驅動至該點處。 文獻［16］設計了一種具有區(qū)間跟蹤特性的區(qū)間控制策略，使用距離范數來確保遞歸的可行性和局部最優(yōu)性，并通過仿真實驗驗證了該策略的性能。 文獻［17］設計了一種基于軟約束的區(qū)間控制算法，降低了違反區(qū)間控制目標的頻率，并提高了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 文獻［18］基于被控變量進入目標區(qū)間后還有額外的自由度，根據這種自由度設計優(yōu)化策略，來提高區(qū)間控制系統(tǒng)的經濟效益。 文獻［19］提出一種軟約束處理方法改善控制品質，實現了區(qū)間控制。 文獻［20］提出一種穩(wěn)定的區(qū)間MPC控制器，該方法的代價函數中包括輸入輸出的穩(wěn)態(tài)經濟目標。 文獻［21］提出一種基于梯形區(qū)間軟約束的多目標預測控制算法， 該算法將設定值控制和區(qū)間控制相結合，設置梯形區(qū)間，并建立兩個目標函數，有效減小了瞬時偏差的波動幅度，縮短了達到目標值的時間。

但是對于被控變量從初始狀態(tài)到目標區(qū)間這一動態(tài)響應過程，現有文獻大多只是讓被控變量滿足過程約束，這就可能導致被控變量在到達目標區(qū)間前產生很大的超調量。 使系統(tǒng)在不產生超調量的前提下快速進入目標區(qū)間成為亟待解決的問題。 為了解決這個問題，進一步提高多輸入多輸出系統(tǒng)的整體性能，同時兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)定性與快速性，筆者提出基于漸變式橢球體區(qū)間約束的預測控制算法。

1 問題的提出

現有的區(qū)間預測控制算法的研究更多關注目標區(qū)間形狀的設計，或對預測時域進行分割產生不同的控制策略。 對于多變量系統(tǒng)，也有學者通過改變每個控制變量的權重來達到對不同變量的不同控制效果；也有將設定值控制與區(qū)間控制結合，不同的輸出變量采用不同的控制策略來達到控制效果； 亦有將控制過程分為兩個階段，從初始工作點到目標區(qū)間這一階段注重響應的快速性，當被控變量進入目標區(qū)間后考慮系統(tǒng)的經濟效益等。 這些區(qū)間控制策略本質上都是在被控變量超出目標區(qū)間時用強控制作用使被控變量快速返回目標區(qū)間。 而控制器對于被控變量從初始工作點到目標區(qū)間的狀態(tài)遷移過程只是讓其遵守相應的全局約束。 這樣的控制策略無法解決系統(tǒng)控制效果快速性與穩(wěn)定性之間的矛盾。 被控變量快速進入目標區(qū)間可能導致系統(tǒng)超調，而期望系統(tǒng)平滑進入目標區(qū)間又導致響應時間變長。

兩種區(qū)間控制策略對應的不同閉環(huán)軌跡如圖1所示。 策略Ⅰ采用預測時域P較小的區(qū)間模型預測控制器， 輸出變量y能夠快速進入區(qū)間控制目標Ysp。 同時，較小的預測時域P使得輸出變量y具有一定慣性，導致其突破了Ysp的邊界，直到t1時刻系統(tǒng)才達到穩(wěn)定。 策略Ⅱ采用了較大的預測時域P，可認為閉環(huán)系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，此時能夠避免超調現象， 但會使系統(tǒng)達到穩(wěn)定的時間變長，即t2＞t1。

圖1 區(qū)間模型預測控制閉環(huán)軌跡

為了能夠改善上述問題，使得系統(tǒng)對于輸出變量控制效果在保證安全的前提下響應兼具快速性與穩(wěn)定性，筆者設計了一種具有漸變橢球體約束的模型預測控制策略，本課題所設計的模型預測控制策略使得系統(tǒng)的開環(huán)預測軌跡在進入設定區(qū)間之前不再僅遵從系統(tǒng)的全局約束，而是使其處于性能可設計的漸變式橢球體區(qū)間序列約束內部，用以避免產生超調并提升系統(tǒng)的響應速度，縮短響應時長。 在該策略下系統(tǒng)的閉環(huán)軌跡如圖2所示。

圖2 漸變式橢球體區(qū)間模型預測控制閉環(huán)軌跡

圖2所示的閉環(huán)軌跡存在一組由橢球體序列構成的約束通道，使得被控變量沿著預設通道從初始狀態(tài)到達目標區(qū)間，并且能夠快速進入目標區(qū)間，同時不會產生超調。

這樣做的意義在于確定了能夠使系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的預測時域P的合適范圍后， 保證系統(tǒng)控制效果穩(wěn)定的前提下對于提高系統(tǒng)響應速度不用再調整預測時域P， 而是通過改變橢球體序列中約束橢球體個數N來使得系統(tǒng)響應速度得到提升，并且相應地減少超調量，使得系統(tǒng)輸出變量平滑地進入目標區(qū)間。

漸變式橢球體區(qū)間模型預測控制算法的各部分功能框圖如圖3所示。 圖3中性能可調的協調器用以在線產生k時刻漸變式橢球體開環(huán)軌跡約束集Y（yc，），該漸變式約束集能夠保證系統(tǒng)的開環(huán)預測軌跡處于性能可設計的約束區(qū)間內部， 用以避免產生超調并提升系統(tǒng)的響應速度。

圖3 基于漸變式橢球體約束的區(qū)間模型預測控制功能框圖

針對橢球體控制目標給出如下定義：

其中，Y?Rn表示控制目標區(qū)間；y?Rn表示最優(yōu)穩(wěn)態(tài)點；yc?Rn表示系統(tǒng)任意工作點。

定義3 給定橢球體控制目標Ysp， 若存在控制器u（k）=G（x（k））使得閉環(huán)系統(tǒng)x（k+1）=Ax（k）+Bu（k），y（k）=Cx（k）滿足：對于?γ＞0，?T0＞0使得?t≥T0，均有dist（Y，y）≤γ成立，則認為，橢球體目標控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2 橢球體區(qū)間目標的構造與坐標變換

常用的區(qū)間控制目標是盒子型目標，盒子型目標區(qū)間邊界不光滑且存在斷點，而且由于頂點的存在，無法在漸進穩(wěn)定的平衡點處構建較大的吸引域，而且這些斷點造成區(qū)間控制目標無法用解析函數的形式表示，所以只能通過比較與判斷相結合的方式進行位置的確定以及空間中的距離的求解，即都需要將當前狀態(tài)變量在空間中的位置與目標區(qū)間邊界的距離逐一比較，才能進一步計算當前狀態(tài)與區(qū)間控制目標之間的距離。 對于被控變量是否進入目標區(qū)間也需要進行判別，這就大幅增加了計算難度。

替換后的橢球體控制目標是具有光滑的表面并能用一個光滑的函數表示的凸集區(qū)間，在求取空間中的狀態(tài)變量與橢球體區(qū)間控制目標的距離時，能夠直接采用解析的方法獲得。 因此，筆者所提算法采用橢球體型目標區(qū)間。

2.1 橢球體目標區(qū)間構造

由于生產工藝條件或過程硬件物理性能具有極限承受力而產生的約束稱為過程約束，這種過程約束一般表現為盒子型。 過程約束Ψ的表達式為：

其中，yi表示狀態(tài)向量y的第i個分量，、分別表示第i個分量的最小值 與最大值，I［i，n］為整數集合。

現以控制系統(tǒng)的初始工作點yinit與最優(yōu)穩(wěn)態(tài)點ysp為中心構建橢球體形式的區(qū)間， 如圖4所示。

圖4 橢球體區(qū)間構造示意圖

其中，rsp、rinit分別表示以最優(yōu)穩(wěn)態(tài)點和初始工作點為中心的橢球體區(qū)間的半徑。

令所構造橢球體區(qū)間半軸長度與過程約束邊長滿足如下關系：

2.2 橢球體區(qū)間坐標變換

根據定義，以最優(yōu)穩(wěn)態(tài)點ysp為球心構造的目標橢球體區(qū)間為基準進行坐標變換，其解析形式表達式為：

其中，Λsp表示輸出偏差加權陣，正定陣。

根據矩陣的基本性質，橢球體目標區(qū)間標準形式為：

其中，I表示單位矩陣。 令y′sp=Λspysp，y′=Λspy，則其表達式進一步可以寫為：

坐標變換后以y′c為球心，r′c為半徑的閉合球體表示為：

式（7）可以視作一個球體，那么Y（y′sp，I）與B（y′sp，r′sp）均表示目標球體區(qū)間。

過程約束與初始橢球體區(qū)間，做同等坐標變換后變?yōu)橐粋€正方體型的過程約束和一個球體初始區(qū)間，其表達式分別為：

區(qū)間控制下系統(tǒng)狀態(tài)處于目標區(qū)間之外時會以距離度量函數為性能指標，該指標表示系統(tǒng)當前狀態(tài)與區(qū)間控制目標之間的距離。

由式（10）可以看出，當y′c在目標球體區(qū)間內部時dist（B（y′sp，r′sp），y′c）恒為零，y′c在目標球體區(qū)間外部時dist（B（y′sp，r′sp），y′c）表示y′c到目標球體區(qū)間B（y′sp，r′sp）邊界的最短距離。

則對應優(yōu)化問題的性能指標函數為：

其中，ΔU為控制變量增量，Δu（k+j｜k）表示未來j時刻的控制作用的增量。

2.3 漸變約束序列在線生成

3 漸變式球體區(qū)間預測算法的實現

3.1 漸變式球體區(qū)間優(yōu)化問題的描述

y^′P（k+i｜k）（i=1，…，P）表示以k時刻為基準未來i個時刻的開環(huán)預測輸出。系統(tǒng)在k時刻的P個開環(huán)預測輸出（k+i｜k）（i=1，…，P）使它們受到第k+1～k+P這P個球體的約束。當時刻變?yōu)閗+1時，系統(tǒng)從k+1時刻開始未來i個時刻的開環(huán)預測輸出y′P（（k+1）+i｜k）（i=1，…，P）使它們受到第（k+1）+1～（k+1）+P這P個球體的約束。把這種漸變式球體區(qū)間約束策略記作φ′（B（y′c，R′c），（k+i｜k））。

這種約束策略與系統(tǒng)當前時刻k、 系統(tǒng)的預測時域長P和球體約束個數N相關， 當k+P＜N時，系統(tǒng)在k時刻的P個開環(huán)預測輸出均未到達目標球體區(qū)間， 所以球體區(qū)間約束序列仍要向前滾動。 φ′（B（y′c，R′c），（k+i｜k））表示如下：

當k+P≥N時，系統(tǒng)第N-k+1時刻的開環(huán)預測輸出會進入目標區(qū)間， 使其受到第N個球體區(qū)間的約束， 令N-k+1時刻之后的開環(huán)預測狀態(tài)也受到第N個球體區(qū)間的約束， 此時實際上系統(tǒng)輸出已經到達符合要求的目標區(qū)間，則φ′（B（y′c，r′c），（k+i｜k））可表示為：

根據以上分析， 系統(tǒng)預測時域P一般取動態(tài)響應時長的1/4，P確定后影響該算法對系統(tǒng)控制效果的因素為球體序列中球體個數N。當N發(fā)生改變時，筆者提出的算法對系統(tǒng)的控制效果將會改變。 系統(tǒng)開環(huán)預測輸出值受球體區(qū)間約束序列的滾動次數為N次。可以預見的是，隨著N的增大，球體區(qū)間約束的滾動次數會增加，系統(tǒng)的響應軌跡會越來越平滑，能夠完全在球體約束序列形成的通道中進入目標區(qū)間，相應地系統(tǒng)響應時間會變長。如果N過小，被控變量響應過程中在某些時刻會超出預測通道產生振蕩。

本研究的優(yōu)化問題表示為：

優(yōu)化目標函數包括兩部分：狀態(tài)變量到目標區(qū)間的距離度量函數與控制增量的變量。 約束條件中，［B（y′c，r′c），y′P（k+i｜k）］∈φ′是本算法中開環(huán)預測狀態(tài)應該滿足的約束條件，由于此條件滿足過程約束：

所以滿足此條件的開環(huán)預測狀態(tài)必然滿足過程約束。 不同情況下的球體區(qū)間約束序列為：

表現形式如式（12）、（13）。

3.2 區(qū)間預測控制優(yōu)化性能指標求解

由于本算法對應優(yōu)化問題并非標準形式，所以需轉化為標準形式后進行求解。

假設預測控制采用如下線性時不變離散狀態(tài)空間模型：

2.2節(jié)中分析了對控制系統(tǒng)整體做坐標變換不會影響系統(tǒng)的控制效果，對系統(tǒng)模型整體左乘并做與漸變式橢球體區(qū)間同等的坐標變換得到新的模型：

則系統(tǒng)狀態(tài)的預測表示成矩陣形式為：

此時系統(tǒng)輸出的預測表示為：

即：

未來M個控制增量的動態(tài)矩陣Γ為：

性能指標函數可以寫為：

const為常數部分， 對優(yōu)化問題不構成影響，可以忽略，所以新的性能指標函數為：

本算法預測控制中輸入約束條件為：

記：

輸入約束條件轉化為：

k時刻對應的開環(huán)預測輸出應該滿足的條件描述如下。

假設約束球體個數足夠多，即N取值足夠大，此時滿足k+P＜N，則開環(huán)輸出滿足的條件為：

此時開環(huán)輸出滿足的約束可以寫為：

本研究的優(yōu)化問題轉化為：

因此，漸變式橢球體區(qū)間預測控制算法轉化為一個具有二次約束的二次規(guī)劃問題。 采用有關算法可以獲得最優(yōu)解X*（k），由此得到U*（k）=［ImM0mM×rP］X*（k），k+1時刻重新滾動計算優(yōu)化問題。

4 實驗仿真分析

為了驗證筆者所提算法在多輸入多輸出線性離散系統(tǒng)中的有效性，實驗采用殼牌公司的重油分餾塔進行仿真，其傳遞函數矩陣為：

實驗仿真結果中y1、y2、y3是輸出變量，本實驗仿真的系統(tǒng)預測時域P取25 min。 u1∈［-0.5,0.5］，u2∈［-0.5,0.5］，u3∈［-0.5,0.5］，y1∈［-0.5,0.5］，y2∈［-0.5,0.5］，y3∈［-0.5,0.5］， 系統(tǒng)各個變量表示含義以及約束條件見表1、2。 對于系統(tǒng)變量與約束條件均做了無量綱處理。

表1 Shell控制問題的各控制變量約束區(qū)間

表2 Shell控制問題的各被控變量

仿真實驗的預測時域P取25 min，約束序列個數N取25、50、75。 改變N值系統(tǒng)的控制效果不同，仿真實驗重點關注N取不同值情況下， 最佳的控制效果， 即兼具響應快速性與穩(wěn)定性的最佳N的取值情況。

控制目標設置為以（0.13，0.17，0.18）為球心，半徑為0.1的球體區(qū)間。 N取25、50、75不同值時，系統(tǒng)響應曲線如圖5所示。N越大系統(tǒng)輸出進入目標區(qū)間的響應軌跡越平滑。

圖5 系統(tǒng)響應軌跡

由圖5可以看出，N取任何值系統(tǒng)輸出都能最終到達目標區(qū)間，并且保持穩(wěn)定。N取25時系統(tǒng)的響應軌跡不在約束球體序列形成的通道中，N取50時會有部分時刻的狀態(tài)變量超出預設通道，當N取75時系統(tǒng)狀態(tài)變量能完全在預設通道內部到達球體控制目標。

N取25時的仿真結果及其對應的控制律如圖6所示。 此時，輸出變量在進入目標區(qū)間之前產生劇烈振蕩，會有大部分時刻的實際輸出超出預設通道并且產生很大的超調量。

圖6 N取25時系統(tǒng)的輸出結果與系統(tǒng)控制律

N取50時的仿真結果及其對應的控制律如圖7所示。 系統(tǒng)輸出在進入目標區(qū)間前不會產生振蕩，但仍然有部分時刻輸出超出預設通道，但超調量明顯變小。

圖7 N取50時系統(tǒng)的輸出結果與系統(tǒng)控制律

N取75時的仿真結果及其對應的控制律如圖8所示。 系統(tǒng)輸出平緩地進入目標區(qū)間并達到穩(wěn)態(tài)，不會產生超調量且完全在預設通道內進入目標區(qū)間。

圖8 N取75時系統(tǒng)的輸出結果與系統(tǒng)控制律

用系統(tǒng)動態(tài)響應過程中超出預設通道的輸出變量到預設通道距離的平方之和ε表示被控變量偏離預設通道的程度， 在P取25、N取值不同的情況下，y1、y2、y3的偏離程度見表3。 可以看出，在預測時域P確定的情況下，隨著N取值變大，系統(tǒng)的控制效果會越來越穩(wěn)定， 當N的取值超過50時系統(tǒng)輸出變量能完全沿著橢球體區(qū)間的約束序列形成的通道達到穩(wěn)態(tài)，不會超出通道，系統(tǒng)不會產生任何超調量。系統(tǒng)的被控變量在N取50～75之間某一確定值時能夠完全在預設通道內達到目標區(qū)間。

表3 輸出偏離預設通道程度

為了驗證筆者所提方法的有效性，將漸變式橢球體區(qū)間預測控制算法與普通區(qū)間預測控制系統(tǒng)輸出結果進行對比，結果如圖9所示。

圖9 兩種控制方法的控制效果對比

控制目標設置為以（0.11，0.19，0.17）為球心，半徑為0.1的球體區(qū)間。 仿真實驗中預測時域P取40 min，球體序列約束個數N取80，在使得系統(tǒng)控制效果都穩(wěn)定的且不產生超調量的前提下，筆者所提漸變式橢球體預測控制算法有效提高了系統(tǒng)的響應速度。

5 結束語

筆者在區(qū)間預測控制的框架下，提出基于漸變式橢球體區(qū)間的區(qū)間預測控制算法，該算法通過設置預設通道，使得被控變量在預設通道中進入目標區(qū)間。 同時，基于此建立相應的優(yōu)化問題。在預測時域值確定的情況下，找到兼具穩(wěn)定性與快速性的預設通道長度的值，使得被控變量在不超出預設通道的前提下快速進入目標區(qū)間，提高了控制的整體性能。