潘冬麗

(廣東省肇慶市第一中學(xué) 526020)

數(shù)學(xué)建模作為核心素養(yǎng)的一項(xiàng)關(guān)鍵部分，在處理分析實(shí)際問題時往往可以做到事半功倍.如果能把問題進(jìn)行模型化，數(shù)據(jù)就可以可視化，圖形就可以立體化.本文以2022年高考題為例剖析數(shù)學(xué)建模本質(zhì)，進(jìn)而有效培養(yǎng)學(xué)生的建模思維.

1 建立模型構(gòu)造

高中數(shù)學(xué)建模構(gòu)建的核心就是幾何與代數(shù)有機(jī)融合.突破數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)特征與幾何知識相關(guān)，能夠從數(shù)學(xué)問題挖掘、構(gòu)建幾何模型去解決.

圖1

A.1.0×109m3B. 1.2×109m3

C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3

解析依題意可知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積V．

棱臺上底面積S=140.0km2=140×106m2，下底面積S′=180.0km2=180×106m2，

≈(96+18×2.65)×107

=1.437×109

≈1.4×109(m3)．

例2(2022年全國高考甲卷理科第7題)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則( ).

A.AB=2AD

B.AB與平面AB1C1D所成的角為30°

C.AC=CB1

D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°

圖2

故選D．

例3 (2022年新高考Ⅰ卷第14題)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程____．

圖3

當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，k<0，

當(dāng)切線為n時，易知切線方程為x=-1，

2 突破建模情景

常規(guī)問題很難解決時，我們通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，調(diào)整思維角度，敢于構(gòu)想新的問題意境，往往柳暗花明又一村.

例4 (2022年新高考Ⅱ卷第12題)若x，y滿足x2+y2-xy=1，則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

由x2+y2-xy=1可變形為

解得-2≤x+y≤2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-1時，x+y=-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時，x+y=2，所以A錯誤，B正確；

由x2+y2-xy=1可變形為

解得x2+y2≤2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±1時取等號，所以C正確；

因?yàn)閤2+y2-xy=1變形可得

但是x2+y2≥1不成立，所以D錯誤．

故選BC．

A.a

C.c

當(dāng)x∈(-1,0)時，f′(x)>0，

當(dāng)x∈(0,+∞)時，f′(x)<0，

所以函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增.

故a

設(shè)g(x)=xex+ln(1-x)(0

令h(x)=ex(x2-1)+1，

h′(x)=ex(x2+2x-1)，

又h(0)=0，

所以g(0.1)>g(0)=0.

即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c

故選C.

例6(2022年全國高考甲卷理科第16題)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若x1

解析由題知f′(x)=2lna·ax-2ex.

因?yàn)閤1,x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減，在(x1,x2)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x1,x2)時，f′(x)>0.

若a>1時，當(dāng)x<0時，2lna·ax>0,2ex<0，則此時f′(x)>0，與前面矛盾.

故a>1不符合題意.

若0

因?yàn)?

又因?yàn)閘na<0,所以y=lna·ax的圖象由指數(shù)函數(shù)y=ax向下關(guān)于x軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的|lna|倍得到，如圖4所示.

圖4

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(x0,lna·ax0)，則切線的斜率為g′(x0)=ln2a·ax0.

故切線方程為y-lna·ax0=ln2a·ax0(x-x0).

則有-lna·ax0=-x0ln2a·ax0.

例4、例5、例6分別通過構(gòu)建一種數(shù)學(xué)函數(shù)模型的形式，把復(fù)雜問題簡單化，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

3 回歸數(shù)學(xué)模型還原

數(shù)學(xué)模式講究數(shù)學(xué)問題的屬性遷移，在數(shù)學(xué)模型維度解決，回歸到認(rèn)知的問題.

圖5 圖6

A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9

解析取OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.

故k3=0.9，故選D.

例8(2022年北京高考卷第9題)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合T={(Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區(qū)域的面積為( ).

圖7

因?yàn)镻Q=5，故OQ=1.

故S的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓.

而△ABC內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為

故S的軌跡圓在△ABC內(nèi)部，故其面積為π.

故選B.

A. [-5,3] B. [-3,5]

C. [-6,4] D. [-4,6]

解析依題意如圖8建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，A(3,0)，B(0,4).

圖8

因?yàn)镻C=1，所以點(diǎn)P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動.

設(shè)P(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，

=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ

=1-3cosθ-4sinθ

因?yàn)?1≤sin(θ+φ)≤1，

所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6.

例7、例8、例9分別通過把數(shù)學(xué)復(fù)雜問題回歸數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)出高考命題注重應(yīng)用性，增強(qiáng)試題靈活性，減少死記硬背和機(jī)械刷題，突出數(shù)學(xué)建模優(yōu)勢.

從以上2022年高考題得到數(shù)學(xué)建模本質(zhì)，需要廣泛知識面、高度開放性和靈活性，核心在于利用所學(xué)知識分析問題和解決數(shù)學(xué)問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.