張 君

(四川省溫江中學 611130)

2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(四川預賽)試題，全卷共11道題，其中8道填空題，3道解答題.命題組對8道填空題，只給出了答案，沒有解析過程，3道解答題各提供了一種解法供閱卷參考.筆者對每道題都進行了分析和研究，逐個給出解析，解答題還給出了有別于參考答案的精彩解法，供讀者參考.

該試題涉及代數(shù)運算(第1題)，平面向量(第2，9題)，數(shù)列(第3，5，10題)，平面解析幾何(第4，9題)，函數(shù)與數(shù)列(第5題)，函數(shù)與方程(第7題)，函數(shù)與不等式(第11題)，解三角形(第6題)，立體幾何與組合數(shù)學(第8題).

題1 已知正實數(shù)a，b滿足ab=(8a)9b，則loga(4a2)的值為____.

解析由ab=(8a)9b，得b=9bloga(8a).

題2 已知平面向量a，b滿足：|a|=1，|b|=2，a·b=1，記向量a+2b與2a-b的夾角為θ，則cosθ的值為____.

又a1=1，a2=2，所以a3=4，a4=6，a5=9，a6=12，a7=16，a8=20，…

觀察歸納奇數(shù)項得a2k+1=(k+1)2.

即a2k=k(k+1).

所以a2022=1011×1012=1023132.

所以a2022的末兩位數(shù)字為32.

又a1=1，a2=2，所以a3=4，a4=6，a5=9，a6=12，a7=16，a8=20，…

觀察歸納偶數(shù)項得a2k=k(k+1).

所以a2022=1011×1012.

所以a2022的末兩位數(shù)字為32.

圖1

題5 已知函數(shù)f：{1,2,…,10}→{1,2,5}，且對一切k=1,2,…,9，有|f(k+1)-f(k)|≥3.則符合條件的函數(shù)個數(shù)為____.

解析由f(k)∈{1,2,…,5}且|f(k+1)-f(k)|≥3知f(k)≠3.

(問題一般化)設函數(shù)fn：{1,2,…,n}→{1,2,…,5}，且f1(1)≠3，當n≥2時，對一切k=1,2,…,n-1，有|f(k+1)-f(k)|≥3.

記函數(shù)fn的個數(shù)為an,其中滿足fn(n)=1或5的個數(shù)為bn,滿足fn(n)=2或4的個數(shù)為cn,則an=bn+cn.

當n≥2時，對一切k=1,2,…,n-1，若fn(k)=1,則fn(k+1)=4或5；若fn(k)=2,則fn(k+1)=5；若fn(k)=4,則fn(k+1)=1；若fn(k)=5,則fn(k+1)=1或2.

所以，當n≥3時，bn=bn-1+cn-1，cn=bn-1,則bn=an-1,cn=bn-1=an-2.

故an=an-1+an-2.

易得a1=4,a2=6,遞推可得a10=288.

題6 若△ABC的三邊a，b,c滿足a2+b2+3c2=7，則△ABC面積的最大值為____.

=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

=[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]

=-(a2-b2)2+2(a2+b2)c2-c4

=-7(c2-1)2+7≤7，

解法2 設AB邊上的高為h，則

所以c2≤14-6c2-4h2.

即7c2+4h2≤14.

解法3 設AB邊的中點為D，則

所以g(x)的最小值為3.

題8 至少通過一個正方體的3條棱中點的平面?zhèn)€數(shù)為____.

所以共有220-139=81個.

題9 如圖2所示，ABCD是一個矩形,AB=8,BC=4,M,N分別是AB,CD的中點,以某動直線l為折痕將矩形在其下方的部分翻折,使每次翻折后點M都落在邊CD上,記為M′.過點M′作M′P⊥CD交直線l于點P，設點P的軌跡是E.

圖2

(1)建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，求曲線E的方程；

解法1(1)以MN的中點為原點O，與AB平行的直線為x軸建直角坐標系，得A(-4,-2)，B(4,-2)，M(0,-2),N(0,2)，直線CD方程為y=2，|PM′|=|PM|.

所以曲線E就是在矩形ABCD內以M為焦點、CD為準線、開口向下的一段拋物線，所以曲線E的方程是x2=-8y(-4≤x≤4).

即λ=2a2.

消元，得x2+8kx-8=0.

①

所以x1+x2=-8k，x1x2=-8.

②

因為方程①在[-4,4]上有兩個不相等的實根,

所以x1=-λx2.

解析對任意的正整數(shù)n,都有an=1.

下面用數(shù)學歸納法證明這一結論.

a2=a12+12=a1a1=1；

a5=a22+12=a2a1=1；

假設結論在n

(1)若k為偶數(shù)，令k=2m(m≥3)，注意到(2m)2+(m2-1)2=(m2+1)2.

一方面，a(2m)2+(m2-1)2=a2mam2-1；

從而a2m=am2-1=1，即ak=1.

(2)若k為奇數(shù),令k=2m+1(m≥3),注意到(2m+1)2+(m-2)2=(2m-1)2+(m+2)2.

則a(2m+1)2+(m-2)2=a(2m-1)2+(m+2)2.

所以a2m+1am-2=a2m-1am+2.

因為am-2=a2m-1=am+2=1，

所以a2m+1=1，即ak=1.

由(1)(2)知，ak=1，即結論對k也成立.

由歸納原理知，對任意的正整數(shù)n，都有an=1.

所以,所求數(shù)列的通項公式為an=1.

要證原不等式，即證M-N≥0.

不妨設a≥b≥c>0，再設

A=(b+c)·ar-a·(br+cr),

A′=(b+c)·(br+cr)，

B=(c+a)·br-b·(cr+ar),

B′=(c+a)·(cr+ar)，

C=(a+b)·cr-c·(ar+br),

C′=(a+b)·(ar+br)，

所以A+B+C=(b+c-b-c)·ar+(c+a-c-a)·br+(a+b-a-b)·cr=0，

A=ab·(ar-1-br-1)+ac·(ar-1-cr-1)≥0，

C=-ac·(ar-1-cr-1)-bc·(br-1-cr-1)≤0，

A+B+C=0，A≥0，C≤0.

①

即A′=(b+c)·(br+cr)≤(a+c)·(ar+cr)=B′≤(a+b)·(ar+br)=C′.

即0

②

即M-N≥0.

經(jīng)過計算可得

所以f(x)在[0,+∞)上單調遞增.

因此當r>1時有f(1)≤f(r)，即原不等式成立，當且僅當a=b=c時等號成立.