向桂林吳定俊周建民

（1.同濟(jì)大學(xué)建筑工程系，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海 200092）

0 引言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)、人口的不斷發(fā)展，城市的交通運(yùn)輸面臨著嚴(yán)峻的考驗(yàn)，傳統(tǒng)的出行方式無法解決當(dāng)前復(fù)雜的交通狀況。目前地鐵在大中城市的廣泛引入開拓了城市可利用空間，其具有運(yùn)量大、安全、快速、無尾氣、自動(dòng)化程度高、無污染的優(yōu)點(diǎn)，經(jīng)過百年發(fā)展已經(jīng)技術(shù)成熟，成為城市交通的主動(dòng)脈。但因開發(fā)地下空間造價(jià)較高，易受到當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)條件限制，鋼輪-鋼軌走行系統(tǒng)使地鐵仍存在噪聲污染、線路設(shè)計(jì)具有局限性等無法克服的缺陷。因此，跨座式軌道交通應(yīng)運(yùn)而生。

如圖1所示的跨座式軌道交通是我國(guó)引進(jìn)的一種新式軌道交通，最高速度和平均速度分別為80 km/h，40 km/h。其轉(zhuǎn)彎半徑小、占地少、費(fèi)用低、經(jīng)濟(jì)實(shí)惠等優(yōu)勢(shì)在世界各國(guó)獲得了青睞和發(fā)展?？v觀國(guó)內(nèi)外一些軌道交通發(fā)展成熟的城市，公共交通系統(tǒng)的多元化是其主要特色，其中地鐵一般占到三分之一左右。因此，我國(guó)的單軌、輕軌和有軌電車等城市軌道交通形式還有很大的發(fā)展空間。

圖1 重慶市二號(hào)線軌道交通Fig.1 Chongqing city line 2 rail transit

跨座式單軌交通橋梁橫向尺寸往往較小，重慶跨座式單軌單線式標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)支軌道梁［1］的梁寬僅0.85 m，如圖2所示，深圳的比亞迪云軌更是達(dá)到了0.7 m。另外，由于跨座式單軌交通橋梁上部結(jié)構(gòu)僅為單薄的軌道梁，其自重會(huì)顯著小于同等跨度的公路、鐵路以及普通地鐵橋梁。因此，本文從研究跨座式橋梁與普通公路、鐵路等橋梁的車橋質(zhì)量比差異，計(jì)算分析它們對(duì)橋梁有載頻率的影響。

圖2 跨座式單線軌道梁標(biāo)準(zhǔn)截面圖（單位：mm）Fig.2 Standard section view of straddle single track beam（Unit：mm）

1 不同交通類型橋梁車橋設(shè)計(jì)參數(shù)分析對(duì)比

1.1 不同類型交通橋梁梁跨質(zhì)量比

根據(jù)重慶市二號(hào)線輕軌交通工程，單線跨座式標(biāo)準(zhǔn)軌道梁跨中截面面積約為0.92 m2，32 m跨度的輕軌梁重量不足100 t；而公路、高鐵單線式橋梁在32 m的跨度，重量均達(dá)到400 t以上［2］，大部分集中在500～600 t范圍；客貨共線鐵路重量同高速鐵路橋梁相當(dāng)，32m跨度橋梁重量達(dá)到367 t［3］；廣州地鐵4號(hào)線30 m跨度的整孔箱梁起吊重量可達(dá)到4 100 kN［4］。其余參數(shù)如表1所示。

表1 32 m跨度的各類橋梁重量對(duì)比表Table 1 Comparison table of various bridge weights with 32 m span

在跨座式單軌梁中，截面很小，橋梁整體重量遠(yuǎn)小于同等跨度的其他橋梁，對(duì)于公路、鐵路兩類單線式橋梁，重量都達(dá)到了跨座式單軌的5倍以上。值得指出的是，對(duì)于部分32 m跨度的雙線箱形橋梁主梁重量可達(dá)到927 t［5］，其質(zhì)量更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過跨座式單軌。因此，對(duì)于跨座式單軌梁，梁體質(zhì)量相對(duì)很小，在考慮列車荷載后，可能會(huì)對(duì)梁體有載頻率的變化產(chǎn)生較大影響。在跨座式單軌計(jì)算中，不同于普通公路、鐵路橋梁，應(yīng)當(dāng)關(guān)心其橋梁質(zhì)量較小，導(dǎo)致車橋質(zhì)量比較大所帶來的對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的影響。

1.2 不同類型交通車輛荷載比

《跨座式單軌交通設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定，在進(jìn)行軌道梁設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)按照遠(yuǎn)期規(guī)劃車型及車輛編組施加列車活載，跨座式單軌列車主要采用4軸車輛模型，軸重滿載時(shí)宜取為110 kN，如圖3所示。

圖3 跨座式單軌列車荷載圖示Fig.3 Straddle monorail train load diagram

對(duì)于鐵路荷載，規(guī)范中主要由集中力和分布力表示，對(duì)于不同鐵路類型，荷載圖示也不一樣，本文以高速鐵路荷載為例，集中力部分為200 kN，分布力為64 kN/m，如圖4所示。

圖4 高速鐵路列車荷載圖示Fig.4 High-speed railway train load diagram

公路汽車荷載分為Ⅰ級(jí)汽車荷載和Ⅱ級(jí)汽車荷載，均采用相同的車輛荷載標(biāo)準(zhǔn)值，車輛重力標(biāo)準(zhǔn)值取550 kN，輪距為1.8 m，車輛外形尺寸為15 m×2.5 m，本次研究高速公路荷載取為汽車荷載，不考慮車道荷載，圖5為汽車荷載圖示。

圖5 公路汽車荷載圖示Fig.5 Highway car load diagram

客貨共線鐵路列車荷載統(tǒng)一采用我國(guó)客貨共線（ZKH）和貨運(yùn)專線（ZH）鐵路設(shè)計(jì)的中-活載圖示中的4個(gè)250 kN的集中荷載代表機(jī)車車輛鄰重和鄰軸效應(yīng)，85 kN/m的均布荷載代表貨車車輛每延米重效應(yīng)，z為活載等級(jí)系數(shù)，其中客貨共線鐵路按1.0取用，如圖6所示。

圖6 客貨共線鐵路列車荷載圖示Fig.6 Train load diagram for passenger and freight trains

根據(jù)《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50157—2013），采用地鐵列車活載如圖7所示，軸重取為130 kN。同跨座式軌道交通荷載類似，采用4軸車輛模型。對(duì)于雙線地鐵，對(duì)兩條線路同時(shí)進(jìn)行列車加載，考慮雙線地鐵同時(shí)達(dá)到效應(yīng)最大值的可能性較低，取0.9的降低系數(shù)。

圖7 雙線地鐵列車荷載圖示Fig.7 Two-line subway train load diagram

最后均以32 m中等跨度橋梁的最大可能加載，比較跨座式軌道梁與高速公路、高速鐵路、地鐵等橋梁荷載單位長(zhǎng)度（m）的大小，結(jié)果見表2。高速鐵路列車荷載單位長(zhǎng)度達(dá)到76.2 kN，是跨座式列車荷載34.38 N的2.22倍；而對(duì)于公路荷載，兩者較為接近，達(dá)到35 kN；地鐵荷載是跨座式列車的1.91倍，達(dá)到65.81 kN；其中客貨共線鐵路荷載最大，單位長(zhǎng)度荷載為跨座式的2.89倍，達(dá)到99.25 kN。

表2 單位長(zhǎng)度（m）的列車荷載Table 2 Train load per unit length（m）

1.3 各式類型橋梁車橋質(zhì)量比

橋梁有載頻率的計(jì)算主要由車橋質(zhì)量比控制。因此，本文在已總結(jié)歸納的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究跨座式單軌橋梁車橋質(zhì)量比與公，鐵等橋梁的差距。

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列車荷載大小，橋梁自重及其車橋質(zhì)量比的數(shù)值如表3所示。（其中重力系數(shù)g取9.8 N/kg）跨座式單軌梁的車橋質(zhì)量比為1.59，列車質(zhì)量顯著大于橋梁質(zhì)量，而其他4類橋梁比值均在1以下?？拓浌簿€鐵路列車質(zhì)量略小于橋梁質(zhì)量，車橋質(zhì)量比為0.88。其中，單向雙車道公路橋梁的車橋質(zhì)量比最小，僅為0.33。

表3 32 m跨度各式橋梁車橋質(zhì)量比Table 3 The vehicle-bridge mass ratio of various bridges with 32 m span

2 簡(jiǎn)支梁有載頻率計(jì)算方法

本文從考慮列車勻速移動(dòng)的狀態(tài)下，計(jì)算橋梁在列車荷載下的頻率變化。假設(shè)簡(jiǎn)支梁為Euler-Bernouli梁，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響［6］，并假設(shè)橋梁為均質(zhì)等截面梁，不考慮阻尼影響，本文考慮車輛過橋時(shí)車橋系統(tǒng)的質(zhì)量變化對(duì)橋梁有載頻率的影響，不考慮橋梁剛度變化的影響作用。

計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖8所示。

圖8 有載頻率計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.8 Load frequency calculation diagram

簡(jiǎn)支梁在多個(gè)外荷載作用下的振動(dòng)微分方程為

式中：m為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量；EI為梁的抗彎剛度；y(x，t)為x處時(shí)刻t的位移；δ為Dirac函數(shù)；u為分段函數(shù)。

在該簡(jiǎn)支梁中，由振型疊加原理，假設(shè)梁的振動(dòng)為

式中：φn(x)為振型，與時(shí)間t無關(guān)；An(t)為模態(tài)坐標(biāo)，是時(shí)間t的函數(shù)；N為所取模態(tài)數(shù)。

對(duì)于簡(jiǎn)支梁振型函數(shù)如式（3）所示。

將式（2）代入式（1）并利用陣型正交性，等式兩邊乘以φn(x)=sin(nπx/L)，并對(duì)x從0到L積分，得到解耦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程如下：

式中，ω0n為等截面簡(jiǎn)支梁的各階無載固有圓頻率。

通過牛頓第二定律，將車對(duì)橋的作用力作用于相應(yīng)橋面位置處，該作用力由移動(dòng)質(zhì)量產(chǎn)生，則在任一時(shí)刻t，荷載對(duì)橋梁的作用力等于重力與其慣性力的合力，即

式中：mi為各個(gè)移動(dòng)質(zhì)量；g為重力加速度為個(gè)移動(dòng)質(zhì)量加速度。

假定移動(dòng)質(zhì)量在移動(dòng)過程中始終與梁保持接觸，則也是各質(zhì)量作用點(diǎn)處梁的加速度。將式（5）代入式（4），各階振型的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為

由式（2）可得：

把式（7）代入式（6）可得：

當(dāng)取n=1時(shí)，可得第一階有載頻率，表達(dá)式見式（8）。

式中，ω1為等截面簡(jiǎn)支梁一階有載圓頻率，一階工程頻率f1=ω1/2π。

3 不同類型交通形式橋梁有載頻率計(jì)算分析

3.1 不同類型交通形式橋梁有載頻率基頻分析

根據(jù)有載頻率推導(dǎo)，采用Matlab語言編寫了計(jì)算程序，分析不同形式橋梁在32 m跨度下有載頻率的變化。由于公路、鐵路荷載圖示與跨座式單軌荷載有較大區(qū)別，而在橋梁實(shí)際計(jì)算中，跨中彎矩為橋梁的主要控制因素，最不利情況也最容易發(fā)生在跨中截面，且為了便于計(jì)算分析比較最終結(jié)果，現(xiàn)將各類橋梁的荷載通過跨中彎矩等效方法，將其轉(zhuǎn)換為跨座式列車荷載的形式，得到各類型列車荷載的軸重。

由于彈性模量在各式橋梁中總體差距較小，且列車運(yùn)行速度主要影響橋梁有載頻率的變化速度［6］，而對(duì)有載頻率的變化幅值影響很小，故本例選取跨座式單軌橋梁中的列車運(yùn)營(yíng)速度v=30 km/h，彈性模量E=3.45×1010N/m2，其余橋梁參數(shù)如表4所示。

表4 各類橋梁具體參數(shù)值Table 4 Specific parameter values of various bridges

對(duì)于跨座式單軌，其車橋質(zhì)量比達(dá)到1.59，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同等跨度的其他4種交通形式的橋梁，頻率改變也更明顯，最大變化率接近40%，如表5所示；雙線地鐵與高速鐵路橋梁的最大頻率變化僅有20%；高速公路橋梁的頻率變化最小，只有15%，客貨共線鐵路則可接近30%。值得指出的是，這4類交通形式橋梁車橋質(zhì)量比均小于1，即列車質(zhì)量小于橋梁。

表5 32 m跨長(zhǎng)跨座式單軌橋梁一階有載頻率變化Table 5 The first-order on-load frequency variation of a 32 m long straddle monorail bridge

計(jì)算結(jié)果表明，在列車第一個(gè)軸重進(jìn)橋時(shí)頻率呈逐漸下降趨勢(shì)，而列車最后一個(gè)軸重出橋階段，頻率又逐漸上升為無載頻率，而中間階段時(shí)，頻率則呈現(xiàn)出上下波動(dòng)的趨勢(shì)，且均在最小有載頻率附近波動(dòng)，因此可認(rèn)為橋梁結(jié)構(gòu)在車輛通過時(shí)有載頻率基本不變。

以跨座式單軌列車為例，車橋質(zhì)量比為1.59時(shí)，此時(shí)列車質(zhì)量遠(yuǎn)大于橋梁質(zhì)量，給出有載頻率計(jì)算值隨時(shí)間變化曲線圖，如圖9所示。頻率變化圖成對(duì)稱分布，且橋梁有載頻率在列車過橋中呈穩(wěn)定的周期性變化，但波動(dòng)不大，其他4類交通形式橋梁頻率變化曲線近似，不再一一列出。

圖9 跨座式列車頻率隨時(shí)間變化圖Fig.9 Diagram of straddle train frequency change with time

如圖10所示，列車頻率的變化隨車橋質(zhì)量比的變化呈正相關(guān)特征，跨座式單軌列車在1.59的車橋質(zhì)量比下，頻率變化率達(dá)到了36%，此類情況應(yīng)引起工程設(shè)計(jì)人員注意，以免計(jì)算時(shí)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)際的動(dòng)力響應(yīng)出現(xiàn)較大誤差。車橋質(zhì)量比大于1時(shí)，即列車質(zhì)量大于橋梁質(zhì)量時(shí)，頻率變化超過了30%，此時(shí)，有載頻率與無載頻率相差明顯，而當(dāng)車橋質(zhì)量比小于0.3時(shí)，頻率變化僅為10%左右，對(duì)結(jié)構(gòu)無載頻率無較大影響，尤其對(duì)于部分重型橋梁，如32 m跨度可以達(dá)到900～1 000 t，此時(shí)車橋質(zhì)量比很小，不足0.1，頻率變化幾乎可以忽略不計(jì)，而跨座式單軌則要求設(shè)計(jì)人員能考慮到橋梁的頻率變化，以此進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算。應(yīng)當(dāng)特別指出的是，本文在考慮列車荷載時(shí)，均將橋梁以最大可能性進(jìn)行加載，而在實(shí)際工程中，這類情況出現(xiàn)概率較低，特別是在雙線高速鐵路和多車道高速公路中，實(shí)際的車輛荷載通常較小，小于設(shè)計(jì)考慮的加載，而其橋梁質(zhì)量卻比單線式鐵路橋梁或雙車道高速公路橋梁高出數(shù)倍，車橋質(zhì)量比更小，使得有載頻率變化可以忽略不計(jì)。

圖10 頻率隨車橋質(zhì)量比變化曲線Fig.10 Frequency change curve with vehicle-bridge mass ratio

3.2 不同類型交通形式橋梁較高階有載頻率分析

在實(shí)際工程中，高階模態(tài)只有在振動(dòng)初始階段比較明顯，頻率階數(shù)越高，因阻尼作用造成的衰減越快，在結(jié)構(gòu)實(shí)際的振動(dòng)中，主要由前幾階模態(tài)控制。因此本文在已分析一階頻率的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步計(jì)算前四階有載頻率的變化及其車橋質(zhì)量比的影響。計(jì)算推導(dǎo)過程同一階有載頻率計(jì)算類似，以車橋質(zhì)量比最大的跨座式單軌和最小的高速公路為例，對(duì)橋梁前四階頻率的變化進(jìn)行分析研究。

計(jì)算結(jié)果表明，不論是跨座式單軌還是高速公路，隨著頻率階數(shù)的提高，有載頻率在列車通過橋梁時(shí)變化波動(dòng)越來越大，其中一階有載頻率變化最穩(wěn)定，在列車入橋和出橋階段逐漸減小或增大，而二、三、四階有載頻率則始終呈現(xiàn)出劇烈的上下波動(dòng)；但頻率階數(shù)對(duì)橋梁有載頻率的最大變化率影響較小如圖11所示。

圖11 不同橋梁類型前四階有載頻率變化率Fig.11 The first four-order load frequency changes rate of different bridge types

圖12表示跨座式輕軌交通和高速公路橋梁有載頻率前十階相對(duì)無載頻率的變化率，可以看出對(duì)于車橋質(zhì)量比較大的跨座式單軌橋梁其各階有載頻率變化率均在40%左右，而高速公路橋梁，前十階有載頻率變化率均在15%～20%。

圖12 前十階有載頻率減小變化率Fig.12 The first ten orders of load frequency decrease rate of change

4 結(jié)論

本文首先分析了不同交通形式下常用中等跨度的橋梁之間的質(zhì)量比和車輛荷載的質(zhì)量比，然后計(jì)算分析對(duì)比了車輛過橋時(shí)它們之間的有載頻率變化大小和規(guī)律，分析結(jié)果表明：

（1）跨座式交通橋梁由于車橋質(zhì)量比遠(yuǎn)大于其他類型交通形式的橋梁，所以它的有載頻率和無載頻率變化的幅度較大，減小率可達(dá)到36%左右。公路橋梁由于車橋質(zhì)量比較小，其有載頻率相對(duì)于無載頻率變化幅度較小，可以忽略。

（2）車輛過橋時(shí)，梁跨結(jié)構(gòu)有載頻率基頻量值隨時(shí)間變化比較平緩穩(wěn)定，頻率階數(shù)越高，其量值隨時(shí)間變化愈加劇烈，呈隨時(shí)間上下波動(dòng)狀態(tài)。

（3）梁跨結(jié)構(gòu)各階有載頻率與其對(duì)應(yīng)的無載頻率，其變化率均比較接近，即車輛過橋時(shí)橋梁各階有載頻率均以基本相同的變化率發(fā)生改變。

結(jié)構(gòu)的自振特性是影響結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的重要因素。對(duì)于跨座式軌道交通橋梁結(jié)構(gòu)而言，要重視其車橋質(zhì)量比變化對(duì)結(jié)構(gòu)有載頻率的影響作用，尤其在制定設(shè)計(jì)規(guī)范的動(dòng)力參數(shù)限值時(shí)，不宜簡(jiǎn)單引用其他軌道交通橋梁規(guī)范相應(yīng)的條文，必須做一些必要的研究分析工作。隨著今后城市軌道交通建設(shè)的發(fā)展、高強(qiáng)材料的應(yīng)用和城市景觀的要求，城市軌道橋梁將向著纖細(xì)苗條方向發(fā)展，車橋質(zhì)量比會(huì)進(jìn)一步增大，橋梁有載頻率變化也更加明顯，應(yīng)當(dāng)注重考慮頻率變化帶來的橋梁動(dòng)力性能改變，這也是當(dāng)前軌道橋梁設(shè)計(jì)和規(guī)范制定中需要注意的一個(gè)問題。