陳將宏, 張晨昊, 胡煬

(三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院, 湖北 宜昌 443002)

0 引言

20世紀(jì)60年代初,Carpentier[1]、Dommel等[2]提出最優(yōu)潮流(optimal power flow)的概念,由于同時(shí)考慮了電力系統(tǒng)運(yùn)行的安全性和經(jīng)濟(jì)性,因此最優(yōu)潮流問題一直受到人們的廣泛關(guān)注。初期求解電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流一般使用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃類方法,如牛頓法[3]、二次規(guī)劃法[4]、線性規(guī)劃法[5]和內(nèi)點(diǎn)法[6]等。最優(yōu)潮流的約束條件復(fù)雜，極值多,是一個(gè)非線性非凸優(yōu)化問題[7],在使用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃類方法時(shí),一般需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)控制變量的一階或二階梯度,并且當(dāng)初值落入局部最優(yōu)點(diǎn)的收斂域內(nèi)時(shí),整個(gè)搜索過程易陷入局部最優(yōu),導(dǎo)致其在大規(guī)模非線性優(yōu)化問題中的使用受限。相比之下，智能優(yōu)化算法的結(jié)構(gòu)簡單,內(nèi)在并行性較強(qiáng),對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件沒有任何限制,當(dāng)遇到非連續(xù)、非光滑和高度非線性解空間的復(fù)雜問題時(shí),能夠通過迭代更新隨機(jī)解集,十分靈活的尋找最優(yōu)解,解決了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法求解電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流問題的缺陷。隨著研究不斷深入,求解最優(yōu)潮流問題的智能算法主要分為兩大類：一類是進(jìn)化算法,例如遺傳算法(genetic algorithm,GA)[8]、差分進(jìn)化算法(differential evolution algorithm,DE)[9]等；另一類則是群智能算法,例如粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[10]、飛蛾撲火算法(moth-flame optimization,MFO)[11]、人工蜂群算法(artificial bee colony,ABC)[12]、樽海鞘群算法(slap swarm algorithm,SSA)[13]和灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimizer,GWO)[14]等。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]采用GA和DE算法求解最優(yōu)潮流問題,具有編程簡單且尋優(yōu)速度較快等優(yōu)勢。文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]提出的MFO和ABC算法,雖然初始值較大,但是在迭代初期的下降性能好,有效提升了最優(yōu)潮流的尋優(yōu)精度。近年來,應(yīng)用于求解最優(yōu)潮流問題的智能算法越來越多,無論是進(jìn)化算法還是群智能算法,想要得到理想的優(yōu)化結(jié)果都要依靠算法本身的全局搜索和局部開發(fā)能力,因此如何在算法設(shè)計(jì)中尋求平衡成為了現(xiàn)階段研究的重點(diǎn)。文獻(xiàn)[13]針對(duì)SSA算法全局搜索能力差、易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn),通過在位置更新公式中加入隨機(jī)突變因子并結(jié)合自適應(yīng)權(quán)重來提高算法的收斂性能和搜索效率。文獻(xiàn)[14]提出的CS-GWO算法,在原有灰狼算法獨(dú)特的雙搜索尋優(yōu)方式中加入交叉搜索機(jī)制,強(qiáng)化了算法跳出局部最優(yōu)的能力。文獻(xiàn)[15]提出一種聚類的差分進(jìn)化算法,將優(yōu)化過程分為2個(gè)階段,在第一個(gè)階段中將DE算法和聚類相結(jié)合快速確定局部最優(yōu)解區(qū)域,在第二個(gè)階段中采用局部優(yōu)化方法高速收斂得到最優(yōu)解。

鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)由澳大利亞學(xué)者Seyedali Mirjalili于2016年提出,該算法模擬了座頭鯨特有的泡泡網(wǎng)覓食行為,通過包圍獵物、搜索獵物、螺旋更新3個(gè)階段,不斷接近最優(yōu)解[16]。文獻(xiàn)[16]中,利用23種基準(zhǔn)測試函數(shù)對(duì)WOA算法進(jìn)行檢驗(yàn),結(jié)果顯示W(wǎng)OA算法具有良好的全局尋優(yōu)性能和搜索精度,收斂速度也明顯優(yōu)于大多數(shù)經(jīng)典智能算法的。并且當(dāng)把WOA算法運(yùn)用在張力、壓縮彈簧和焊接梁等機(jī)械設(shè)計(jì)中,該算法在處理這類多隨機(jī)變量的問題時(shí)具有較為明顯的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]提出,將WOA算法運(yùn)用在機(jī)械臂軌跡規(guī)劃和鋰電池充電方法中,能夠有效提升其工作效率。

針對(duì)WOA算法本身仍然存在求解精度較低、收斂速度較慢和易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)[19],提出一種平均群改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法(average swarm improved whale optimization algorithm,AWOA)求解電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流問題。

1 最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型

最優(yōu)潮流問題的主要目的是通過調(diào)整電力系統(tǒng)中的控制變量如發(fā)電機(jī)輸出功率、可調(diào)變壓器抽頭等來尋找能滿足所有運(yùn)行約束條件的,使系統(tǒng)的某些性能指標(biāo)(如發(fā)電成本或網(wǎng)絡(luò)損耗)達(dá)到最優(yōu)值時(shí)的潮流分布[1]。數(shù)學(xué)上可表示為

minF(x,u),

(1)

(2)

式中：F代表待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)；x、u分別為狀態(tài)變量、控制變量；g(x,u)、h(x,u)分別代表等式約束、不等式約束。

1.1 狀態(tài)變量和控制變量

狀態(tài)變量x可表示為

x=[PG1,V1，V2，…，VNb,QG1，QG2，…，QGNg,SL1，SL2，…，SLNl],

(3)

式中：PG1為平衡節(jié)點(diǎn)的有功出力；V1,V2，…,VNb為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電壓幅值；QG1，QG2，…，QGNg為發(fā)電機(jī)的無功出力；SL1，SL2，…，SLNl為支路容量約束,其中Nb、Ng、Nl分別為系統(tǒng)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)、發(fā)電機(jī)、支路的總個(gè)數(shù)。

控制變量u可表示為

u=[PG2，PG3，…，PGNg,VG1，VG2，…，VGNg,T1，T2，…，TNt,QC1，QC2，…，QCNc],

(4)

式中：PG2，PG3，…，PGNg為除了平衡節(jié)點(diǎn)外,其他發(fā)電機(jī)的有功出力(通常將第一臺(tái)發(fā)電機(jī)設(shè)為平衡節(jié)點(diǎn))；VG1，VG2，…，VGNg為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的機(jī)端電壓；T1，T2，…，TNt為可調(diào)變壓器變比；QC1，QC2，…，QCNc為無功補(bǔ)償裝置輸入的無功功率,其中,Ng、Nt、Nc分別為系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)、變壓器和無功補(bǔ)償裝置的總個(gè)數(shù)。

1.2 等式約束

最優(yōu)潮流的本質(zhì)是潮流計(jì)算,需滿足系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)的功率平衡約束。

(5)

(6)

式中：PGi、QGi分別為發(fā)電機(jī)i的有功、無功出力；PDi、QDi分別為節(jié)點(diǎn)i的有功、無功功率；Gij、Bij、δij分別為節(jié)點(diǎn)i、j之間所連支路的電導(dǎo)、電納、兩節(jié)點(diǎn)之間的相位差；Vi、Vj分別為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓;N為系統(tǒng)總節(jié)點(diǎn)數(shù)。

1.3 不等式約束

式(3)中狀態(tài)變量的不等式約束包括平衡節(jié)點(diǎn)有功出力、節(jié)點(diǎn)電壓幅值、發(fā)電機(jī)無功出力約束和支路容量約束。

(7)

(8)

(9)

(10)

式(4)中控制變量的不等式約束包括發(fā)電機(jī)有功出力、電壓約束；變壓器變比約束和無功補(bǔ)償上下限約束。

(11)

(12)

(13)

(14)

1.4 目標(biāo)函數(shù)

選取發(fā)電成本、網(wǎng)絡(luò)損耗、發(fā)電成本與網(wǎng)絡(luò)損耗加權(quán)和、發(fā)電成本與電壓偏移加權(quán)和為目標(biāo)函數(shù)。

① 發(fā)電成本。

(15)

式中ai、bi、ci分別為發(fā)電機(jī)i的成本系數(shù)。

② 網(wǎng)絡(luò)損耗。

(16)

式中PDi為節(jié)點(diǎn)i的負(fù)荷功率。

③ 發(fā)電成本與網(wǎng)絡(luò)損耗加權(quán)和。

(17)

式中:Ploss為系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)損耗；wloss為網(wǎng)絡(luò)損耗的權(quán)值系數(shù),文中取1 950[11]。最優(yōu)潮流問題往往不能單純的考慮發(fā)電成本或者網(wǎng)絡(luò)損耗,有時(shí)需要將兩者結(jié)合起來,在降低網(wǎng)絡(luò)損耗的前提下盡可能提高系統(tǒng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性。

④ 發(fā)電成本與電壓偏移加權(quán)和。

(18)

式中:wv為電壓偏移的權(quán)值因子,文中取100[20]。負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓是電力系統(tǒng)的安全指標(biāo)和服務(wù)質(zhì)量指標(biāo),過度追求降低發(fā)電成本可能會(huì)導(dǎo)致電壓質(zhì)量無法達(dá)到規(guī)定要求,因此要同時(shí)考慮發(fā)電成本和節(jié)點(diǎn)電壓偏移。

為了解決不等式約束在求解過程中的越限問題,可以利用懲罰函數(shù)予以糾正。在目標(biāo)函數(shù)后加上狀態(tài)變量的約束限制,得到完整的目標(biāo)函數(shù)如下：

F=Fobj+Fp,

(19)

(20)

式中：λP、λV、λQ、λS分別為懲罰系數(shù)；ΔPG1、ΔVBi、ΔQGi、ΔSLi分別為平衡節(jié)點(diǎn)有功出力越限懲罰項(xiàng)、節(jié)點(diǎn)電壓越限懲罰項(xiàng)、發(fā)電機(jī)無功出力越限懲罰項(xiàng)、支路容量越限懲罰項(xiàng)。對(duì)懲罰項(xiàng)的具體計(jì)算方法如下：

(21)

(22)

若在求解過程中出現(xiàn)越限問題,使用式(22)計(jì)算各懲罰項(xiàng),否則各懲罰項(xiàng)均取0。

2 鯨魚優(yōu)化算法

鯨魚優(yōu)化算法是模擬座頭鯨的泡泡網(wǎng)覓食方式發(fā)展而來的群智能優(yōu)化算法[16]。該算法共包含3個(gè)階段,分別為搜尋獵物、包圍獵物和螺旋更新。座頭鯨群首先通過搜尋獵物獲取獵物的有關(guān)信息,然后以獵物為中心不斷地螺旋上升,在上升的過程中同時(shí)吐出氣泡,最后形成一個(gè)圓形的氣幕大網(wǎng),完成獵食行為,即找到問題的最優(yōu)解。整個(gè)覓食過程如圖1所示

圖1 泡泡網(wǎng)覓食過程

2.1 搜尋獵物

假設(shè)整個(gè)種群中共有n條鯨魚,搜索空間為d維,則所有鯨魚在空間中的位置可以用矩陣表示為

(23)

在矩陣W中,每只鯨魚的位置即對(duì)應(yīng)問題的一個(gè)解,可以用Wi表示。在搜尋獵物階段,由于鯨魚無法及時(shí)獲取獵物的任何信息,需要通過隨機(jī)游走的方式不斷搜尋獵物的線索。根據(jù)第t次的搜索行為,當(dāng)|A|>1時(shí),鯨魚對(duì)第t+1次的搜索行為進(jìn)行更新,此時(shí)的數(shù)學(xué)模型為

D=|CWrand(t)-Wi(t)|,

(24)

Wi(t+1)=Wrand(t)-AD,

(25)

式中：D為當(dāng)前鯨魚與獵物之間的距離；Wi(t)為當(dāng)前鯨魚的位置；Wrand(t)為群體內(nèi)任意鯨魚的位置；t為當(dāng)前迭代的次數(shù)；A和C分別為系數(shù)向量,即

A=2ar1-a,

(26)

C=2r2,

(27)

式中：r1,2∈[0,1]；a為控制參數(shù),即

(28)

式中：tmax_iter為設(shè)定的最大迭代次數(shù)。

2.2 包圍獵物

式(28)中,控制參數(shù)a隨著迭代次數(shù)的增加,從2線性遞減到0,此時(shí)系數(shù)向量A也相應(yīng)地減小,當(dāng)|A|≤1時(shí),算法從搜尋獵物階段進(jìn)入包圍獵物階段。此時(shí),獵物的位置即對(duì)應(yīng)問題的全局最優(yōu)解,包圍獵物階段的數(shù)學(xué)模型為

D=|CWp(t)-Wi(t)|,

(29)

Wi(t+1)=Wp(t)-AD,

(30)

式中Wp(t)為獵物位置,即全局最優(yōu)解。

2.3 螺旋更新

座頭鯨在進(jìn)行泡泡網(wǎng)覓食時(shí),以獵物為中心不斷地螺旋上升,在上升過程中同時(shí)吐出氣泡,最終形成一個(gè)圓形的氣幕大網(wǎng),完成獵食行為。模擬鯨魚螺旋更新階段的數(shù)學(xué)模型為

Wi(t+1)=D′eblcos(2πl(wèi))+Wp(t),

(31)

式中：b為對(duì)數(shù)螺旋線的形狀參數(shù),文中取1；l為[-1,1]的隨機(jī)數(shù)；D′表示當(dāng)前鯨魚的位置和獵物位置之間的距離,即

D′=|Wp(t)-Wi(t)|。

(32)

由于座頭鯨捕食過程需要實(shí)現(xiàn)包圍獵物和螺線更新2個(gè)階段同時(shí)進(jìn)行,為了模擬這種行為,設(shè)置隨機(jī)概率p對(duì)位置更新策略進(jìn)行選擇,p為0～1的隨機(jī)數(shù),具體的數(shù)學(xué)模型為

(33)

3 改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法

在電力、機(jī)械等實(shí)際工程中,由于求解的大多數(shù)為高維問題,目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜,且需要考慮多種約束,基本的鯨魚優(yōu)化算法仍然存在著求解精度低、收斂速度慢等缺點(diǎn)。

文獻(xiàn)[19]提出從種群初始化、位置更新以及預(yù)防陷入局部最優(yōu)3個(gè)方面改進(jìn)WOA算法,使用了準(zhǔn)反向?qū)W習(xí)初始化種群、自適應(yīng)權(quán)值策略和差分變異策略。

文獻(xiàn)[21]提出用Levy飛行學(xué)習(xí)策略替代算法中的螺旋更新階段,加強(qiáng)算法的搜索能力。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中,對(duì)WOA算法的改進(jìn)大多數(shù)都是從調(diào)整參數(shù)入手,通過改進(jìn)算法中的部分參數(shù)來達(dá)到平衡全局搜索和局部開發(fā)能力。而最優(yōu)潮流問題的目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜,極值多,針對(duì)這樣一個(gè)非線性非凸優(yōu)化問題僅調(diào)整參數(shù)無法達(dá)到預(yù)期的尋優(yōu)效果,因此提出一種平均群改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法(average swarm improved whale optimization algorithm,AWOA)。在AWOA算法中,通過加入一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型強(qiáng)化搜尋、包圍獵物階段的搜索能力,同時(shí)結(jié)合適用于其他非凸優(yōu)化問題的非線性收斂因子和Levy飛行策略,平衡算法的全局搜索和局部開發(fā)能力,幫助算法跳出局部最優(yōu)。

3.1 平均群模型

由式(24)、(29)可以看出,在WOA算法的搜尋、包圍獵物階段,任意鯨魚位置Wrand和系數(shù)向量C起到關(guān)鍵性作用。隨著迭代的不斷進(jìn)行,任意鯨魚位置Wrand能夠?yàn)樗惴ㄌ峁┤蛛S機(jī)尋優(yōu),系數(shù)向量C能夠幫助算法跳出局部最優(yōu)。然而最優(yōu)潮流問題的變量多,目標(biāo)函數(shù)較為復(fù)雜,使用WOA算法求解時(shí),任意鯨魚位置Wrand和系數(shù)向量C由于隨機(jī)性太強(qiáng),在尋優(yōu)過程中能夠起到的作用不大。為了強(qiáng)化算法的搜索階段,提出一種新的數(shù)學(xué)模型：

(34)

D=|Wavg,d-Wd|,

(35)

式中：Wid為各維度下鯨魚種群的位置向量；n為初始設(shè)置的種群數(shù)量；d為問題的維度。

平均群模型尋優(yōu)流程如圖2所示。根據(jù)式(34)中鯨魚種群的位置向量Wid,計(jì)算每一維度,即每個(gè)變量的平均值,得到一個(gè)d維的群平均值向量Wavg,d。然后,計(jì)算所有個(gè)體向量到群平均值向量Wavg,d的距離矩陣D。最后,用式(35)替換式(26)、(31),其余步驟按原WOA算法進(jìn)行。平均群模型能夠驅(qū)使種群中的每條鯨魚都參與后續(xù)迭代,在平均值范圍附近進(jìn)行位置更新,針對(duì)最優(yōu)潮流問題使用該模型,能夠避免在搜尋、包圍獵物階段不斷的從種群矩陣W中隨機(jī)尋找個(gè)體鯨魚,有效提升算法的全局搜索能力。

圖2 平均群模型尋優(yōu)流程

3.2 非線性收斂因子

系數(shù)向量A是WOA算法中調(diào)整全局搜索和局部開發(fā)的重要因素,主要通過收斂因子a計(jì)算得到。由式(28)可知,收斂因子a隨迭代次數(shù)的增加呈線性遞減,使得算法無法有效平衡全局搜索和局部開發(fā)能力,因此提出一種余弦型非線性收斂因子，

(36)

圖3為非線性收斂因子迭代至200次時(shí)的示意圖。

迭代次數(shù)

由圖可見,在前100次迭代中,所提出的余弦型收斂因子增大以提高算法前期的全局搜索能力。隨著算法的不斷進(jìn)行,當(dāng)進(jìn)入到后100次迭代時(shí),余弦型收斂因子相應(yīng)減小,這樣可以細(xì)化算法后期的局部搜索,提高算法的局部開發(fā)能力。

3.3 Levy飛行策略

Levy飛行作為一種隨機(jī)搜索方式,在多種智能算法的非凸優(yōu)化問題上得到了運(yùn)用。采用Levy飛行策略,利用隨機(jī)步長于當(dāng)前最優(yōu)位置附近進(jìn)行小范圍搜索,在算法每次迭代后再額外迭代1次,擴(kuò)大算法的搜索范圍,有效幫助算法跳出局部最優(yōu)。Levy飛行位置更新的數(shù)學(xué)模型為

Wp(t+1)=Wp(t)+α⊕Levy(β),

(37)

式中：α為步長尺度系數(shù),文中取0.01；⊕為點(diǎn)積；Levy(β)為飛行分布下的隨機(jī)步長,

(38)

式中：β為0到2之間的常數(shù),文中取1.5；u～N(0,σ2)；v～N(0,1)；σ的計(jì)算公式為

(39)

式中,Γ(x)為Gamma函數(shù),即Γ(x)=(1-x)!。

4 AWOA算法流程

AWOA算法求解最優(yōu)潮流的具體步驟如下:

Step1:電力系統(tǒng)初始化。輸入系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)和線路參數(shù)、發(fā)電機(jī)有功出力、節(jié)點(diǎn)電壓幅值、變壓器變比和無功補(bǔ)償器功率上下限。

Step2:將含不等式約束的非線性最優(yōu)潮流規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為帶懲罰項(xiàng)的無約束規(guī)劃問題,如式(19)所示,等式約束滿足基本的潮流方程。

Step3:AWOA算法初始化,設(shè)置最優(yōu)潮流的控制變量維度d、鯨魚種群數(shù)量n、最大迭代次數(shù)tmax_iter和對(duì)數(shù)螺旋線的形狀參數(shù)b。

Step4:在搜尋、包圍獵物階段使用平均群模型,用式(35)替代式(26)、(31),同時(shí)結(jié)合非線性收斂因子。當(dāng)p<0.5時(shí),若|A|≤1,選擇式(30)更新個(gè)體位置；當(dāng)|A|>1,選擇式(25)更新個(gè)體位置；當(dāng)p≥0.5時(shí),選擇式(31)更新個(gè)體位置。通過不斷迭代更新種群位置矩陣,計(jì)算每次的適應(yīng)度值并選取最優(yōu)解。

Step5:在迭代的過程中,針對(duì)每次迭代的最優(yōu)解,采用Levy飛行策略即式(37)進(jìn)行小范圍搜索,并對(duì)比搜索前后的適應(yīng)度值,得到4個(gè)目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)值。

Step6:輸出全局最優(yōu)值下各控制變量的具體結(jié)果。

AWOA算法流程如圖4所示。

圖4 AWOA算法流程

5 算例分析

5.1 優(yōu)化結(jié)果分析

為了檢驗(yàn)改進(jìn)后的AWOA算法是否有效,采用IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)求解最優(yōu)潮流問題。該系統(tǒng)共包含6臺(tái)發(fā)電機(jī)組、4臺(tái)變壓器和41條支路。文中待求的控制變量共有24個(gè),包含5個(gè)發(fā)電機(jī)的有功出力(平衡節(jié)點(diǎn)除外)、6個(gè)發(fā)電機(jī)母線電壓幅值、4個(gè)變壓器變比以及9個(gè)無功補(bǔ)償裝置。

為了方便與現(xiàn)有文獻(xiàn)給出的結(jié)果進(jìn)行比較,假設(shè)變壓器變比和無功補(bǔ)償容量均為連續(xù)可調(diào)變量。

IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的接線圖和各項(xiàng)參數(shù)參見文獻(xiàn)[22]。

仿真實(shí)驗(yàn)采用MATLAB R2018a軟件進(jìn)行,將AWOA算法的鯨魚數(shù)量設(shè)置為30,tmax_iter設(shè)置為200,求解文中4個(gè)目標(biāo)函數(shù),得到各目標(biāo)的全局最優(yōu)解和控制變量的結(jié)果見表1。

表1 AWOA算法的最優(yōu)潮流計(jì)算結(jié)果

由文獻(xiàn)[10]可知,在優(yōu)化前,系統(tǒng)的初始發(fā)電成本為901.88 $/h,初始系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)損耗為5.608 MW,節(jié)點(diǎn)電壓偏移為1.155 4 pu。對(duì)目標(biāo)1使用AWOA算法優(yōu)化后,發(fā)電成本下降為799.614 2 $/h,節(jié)約了11.34%的發(fā)電費(fèi)用。對(duì)目標(biāo)2優(yōu)化后,網(wǎng)絡(luò)損耗下降為2.929 7 MW,降損約為47.76%。目標(biāo)3同時(shí)考慮了發(fā)電成本和網(wǎng)絡(luò)損耗,對(duì)目標(biāo)3優(yōu)化后,發(fā)電成本下降為822.250 4 $/h,網(wǎng)絡(luò)損耗下降為5.510 3 MW,做到節(jié)約發(fā)電成本時(shí)保證網(wǎng)絡(luò)損耗最小。目標(biāo)4同時(shí)考慮了發(fā)電成本和電壓偏移,對(duì)目標(biāo)4優(yōu)化后,發(fā)電成本下降為804.332 3 $/h,并且節(jié)點(diǎn)電壓始終維持在1.0 pu左右,在節(jié)約發(fā)電成本的基礎(chǔ)上保證了電壓質(zhì)量,電壓偏移指標(biāo)遠(yuǎn)小于前面3種情況。

5.2 算法對(duì)比分析

5.2.1 改進(jìn)前后對(duì)比

為了體現(xiàn)AWOA算法的優(yōu)勢,選取以上4個(gè)目標(biāo)為適應(yīng)度函數(shù),鯨魚數(shù)量設(shè)置為30,tmax_iter設(shè)置為200,其他參數(shù)保持一致,分別計(jì)算30次,得到改進(jìn)前后的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和平均計(jì)算耗時(shí)比較見表2。

表2 改進(jìn)前后的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和平均計(jì)算耗時(shí)比較

由表可知,改進(jìn)后的AWOA算法雖然在平均計(jì)算耗時(shí)上有所增加,但是可以搜尋到更小的目標(biāo)值,并且綜合這30次迭代優(yōu)化可以發(fā)現(xiàn),AWOA算法的標(biāo)準(zhǔn)差更小,說明改進(jìn)后算法的性能更加穩(wěn)定,在平衡收斂速度和求解精度方面具有顯著優(yōu)勢。為了直觀地展現(xiàn)改進(jìn)前后算法的尋優(yōu)過程,選取表2中4個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最小適應(yīng)度值作收斂曲線,如圖5—8所示。

圖5 目標(biāo)1收斂曲線

圖6 目標(biāo)2收斂曲線

圖7 目標(biāo)3收斂曲線

圖8 目標(biāo)4收斂曲線

從以上4圖中可以明顯看出,AWOA算法收斂速度更快,在迭代次數(shù)為40～80時(shí)收斂至最小值,并且收斂性能更加穩(wěn)定。僅對(duì)比收斂曲線,無法直觀地看出改進(jìn)后算法在尋優(yōu)過程中的優(yōu)勢,因此選擇圖5中的目標(biāo)一收斂曲線,記錄下每次迭代的最優(yōu)位置,將最優(yōu)位置的第1、2、3維(1號(hào)、2號(hào)、5號(hào)發(fā)電機(jī)的有功出力)映射至三維坐標(biāo)系中作個(gè)體位置分布圖,如圖9、10所示。

圖9 WOA個(gè)體位置分布

圖9中,WOA個(gè)體位置分布松散,且可以觀察到,在200次迭代過程中,出現(xiàn)了較多重復(fù)位置,說明算法易陷入局部最優(yōu),整體尋優(yōu)能力較差。而圖10中,AWOA個(gè)體位置分布緊密且重復(fù)位置較少,算法可以圍繞最優(yōu)解進(jìn)行細(xì)致搜尋,后期能夠有效跳出局部最優(yōu)。

圖10 AWOA個(gè)體位置分布

經(jīng)過上述平均計(jì)算耗時(shí)、收斂曲線和個(gè)體位置分布的對(duì)比,可以得出改進(jìn)后的AWOA算法雖然在計(jì)算時(shí)間上有所增加,但是收斂速度快，尋優(yōu)精度高,而且在迭代過程中能夠在最優(yōu)解附近進(jìn)行小范圍搜索,跳出局部最優(yōu)的能力強(qiáng)。

5.2.2 其他算法對(duì)比

由于僅對(duì)比WOA算法,無法充分說明改進(jìn)后算法的優(yōu)勢,因此增加PSO、ABC、MFO3種智能優(yōu)化算法和AWOA算法作比較。選取目標(biāo)1為適應(yīng)度函數(shù),各智能算法的最大迭代次數(shù)均設(shè)置為200,種群數(shù)量設(shè)置為30,分別計(jì)算30次,并選擇其中最小的適應(yīng)度值作收斂曲線,各算法的收斂曲線如圖11所示。

圖11 各算法目標(biāo)一收斂曲線

從圖中可見,AWOA算法的初始值較小,并且在迭代前期的下降速度最快,能夠搜尋到比PSO、ABC、MFO等智能優(yōu)化算法更小的發(fā)電成本,有效提升了算法的求解精度。

選取文中4個(gè)目標(biāo)為適應(yīng)度函數(shù),進(jìn)一步求得改進(jìn)前后AWOA算法的最優(yōu)潮流優(yōu)化值,并和現(xiàn)有文獻(xiàn)中其他智能優(yōu)化算法比較,得到的詳細(xì)數(shù)據(jù)見表3。

表3 不同算法仿真結(jié)果比較

通過觀察圖11中的收斂曲線和表3中的仿真結(jié)果,可以得出AWOA算法在求解電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流這類復(fù)雜問題時(shí),能夠在多約束條件下搜尋到更理想的目標(biāo)值,與其他智能優(yōu)化算法相比,具有為明顯的優(yōu)勢。

6 結(jié)語

本文中提出了一種基于平均群改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法(AWOA)的最優(yōu)潮流計(jì)算。針對(duì)鯨魚優(yōu)化算法在求解高維、復(fù)雜問題時(shí)易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn),采用平均群模型并結(jié)合非線性收斂因子、Levy飛行策略對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)。在IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)下對(duì)改進(jìn)后的算法進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果表明AWOA算法的收斂速度更快且尋優(yōu)精度更高,在求解最優(yōu)潮流問題時(shí)具有明顯優(yōu)勢。接下來的工作是研究多目標(biāo)的最優(yōu)潮流計(jì)算以及概率潮流計(jì)算。