黃賢明，周 浩，王 俊，茹立寧*

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.江蘇科技大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

近年來(lái)，多個(gè)體系統(tǒng)的群體運(yùn)動(dòng)受到生物學(xué)家、物理學(xué)家、控制學(xué)家以及數(shù)學(xué)家越來(lái)越多的關(guān)注[1-8]?；\統(tǒng)來(lái)說(shuō)，群體運(yùn)動(dòng)行為描述如下現(xiàn)象：自驅(qū)動(dòng)粒子群只使用有限的環(huán)境信息和簡(jiǎn)單的規(guī)則，就可以實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動(dòng)。在眾多一致性和群體運(yùn)動(dòng)模型中，筆者著重研究由Cucker教授和Smale教授提出的模型[9-10]。在該模型中，每個(gè)個(gè)體通過(guò)自身以及其他個(gè)體的速度差來(lái)調(diào)整該個(gè)體的速度。在對(duì)稱Cucker-Smale（簡(jiǎn)稱C-S）模型中，存在一個(gè)特別重要的參數(shù)β來(lái)刻畫(huà)群體運(yùn)動(dòng)行為的發(fā)生：當(dāng)0≤β＜1/2時(shí)，無(wú)條件群體運(yùn)動(dòng)行為發(fā)生；當(dāng)β≥1/2時(shí)，條件群體運(yùn)動(dòng)行為發(fā)生，且條件只與初始位移和速度有關(guān)。在文獻(xiàn)[11-12]中，對(duì)于連續(xù)C-S模型以及離散C-S模型，研究者分別證明了當(dāng)0≤β≤1/2時(shí)，無(wú)條件群體運(yùn)動(dòng)行為發(fā)生。該模型有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，例如Perea等人[13]把該模型作為系統(tǒng)的控制項(xiàng)，應(yīng)用于達(dá)爾文計(jì)劃中的各種航天器飛行編隊(duì)。

C-S模型一經(jīng)提出，就受到眾多研究者的關(guān)注，比如，Ha等人[14-15]研究了在加性噪聲和乘性噪聲下C-S模型發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為；Dalma等人[16-18]研究了隨機(jī)故障下的離散C-S模型。Shen[19]首先把等級(jí)結(jié)構(gòu)引入C-S模型。在等級(jí)C-S模型中，個(gè)體之間的相互作用是有方向的，即等級(jí)高的個(gè)體只對(duì)等級(jí)低的個(gè)體有影響。隨后，Li等人[20]研究了具有自由意志的等級(jí)C-S模型的群體運(yùn)動(dòng)行為。在文獻(xiàn)[21]中，Li和Xue通過(guò)（sp）矩陣研究了具有根結(jié)構(gòu)的離散C-S模型，該模型是等級(jí)C-S模型的推廣。Dong和Qiu[22]研究了具有生成樹(shù)的一般有向圖下的C-S模型，它是具有根結(jié)構(gòu)的離散C-S模型的推廣。在文獻(xiàn)[23-24]中，學(xué)者研究了全連通C-S模型以及consensus模型在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為。受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，劉友權(quán)等人[24]研究了主從C-S模型的有限時(shí)間群體運(yùn)動(dòng)行為。在該論文中，作者假設(shè)影響函數(shù)有正的下界，也就是說(shuō)相對(duì)位移是一致有界的，然后構(gòu)造Lyapunov泛函，得到一維主從C-S模型在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為的條件。然而對(duì)于C-S模型而言，關(guān)鍵之處是速度的演化依賴于實(shí)時(shí)位置，確定相對(duì)位移的一致有界性是該模型的研究困難所在，文獻(xiàn)[25]在一定程度上簡(jiǎn)化了研究問(wèn)題的難度。那么，在什么初始條件下，未加限制的影響函數(shù)有下界？基于此，文中研究多維主從C-S模型的有限時(shí)間群體運(yùn)動(dòng)行為問(wèn)題，該模型是一維模型的推廣，利用誤差模型，證明相對(duì)位移有一致的上界，最后證明該模型在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為。

1 模型建立及預(yù)備知識(shí)

受文獻(xiàn)[20，25]的啟發(fā)，文中研究如下修正的Cucker-Smale模型：考慮由N+1個(gè)個(gè)體組成的系統(tǒng)，其中個(gè)體0是領(lǐng)導(dǎo)者。對(duì)于剩余的每個(gè)個(gè)體來(lái)說(shuō)，它不僅受個(gè)體0的影響，還受其余N個(gè)個(gè)體影響，具體模型為

在系統(tǒng)（1）中，xi，vi∈Rd分別表示個(gè)體i的位移和速度，α＞0是一個(gè)常數(shù)。影響函數(shù)ψ（s）=1/（1+s2）β，β≥0，是一個(gè)非負(fù)非增函數(shù)，且||·||是l2-范數(shù)，即對(duì)于y=（y1，y2，…，yd）T∈Rd，有這里，

其中0<θ<1，sgn:R→{-1，0，1}為符號(hào)函數(shù)。

注在文獻(xiàn)[25]中，作者研究的模型的影響函數(shù)是有下界的，簡(jiǎn)化了計(jì)算難度。在文獻(xiàn)[20]中，Li等人考慮了主從模型的漸近群體運(yùn)動(dòng)行為，其中僅有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)。受此啟發(fā)，筆者修改了文獻(xiàn)[20，25]的模型，研究模型（1）在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為。對(duì)于系統(tǒng)（1）而言，右端項(xiàng)是非Lipschitz的連續(xù)函數(shù)，可以保證方程的解存在。

主從C-S模型在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為的定義。

定義1稱系統(tǒng)（1）在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為，如果該系統(tǒng)滿足如下兩個(gè)條件：

（1）速度的波動(dòng)在有限時(shí)間內(nèi)趨于0：對(duì)于任意的i，j=0，1，2，…，N，以及t≥T0，有||vi（t）-vj（t）||=0，其中T0＝inf{T:||vi（t）-vj（t）||=0，?t≥T}被稱為收斂時(shí)間。

（2）位移的波動(dòng)一致有界：對(duì)于任意的i，j=0，1，2，…，N，有

下面給出的兩個(gè)引理將應(yīng)用于論文結(jié)果的證明中。

引理1[26－27]設(shè)a1，a2，…，an是非負(fù)實(shí)數(shù)，若0

引理2[27－28]若可微函數(shù)V（t）:[0，+∞）→[0，+∞）滿足微分不等式

其中c＞0，0<θ<1，則在[0，t*）內(nèi)，V（t）≤（V（0）1-θ-c（1-θ）t）1/（1-θ）；且對(duì)于t≥t*，V（t）≡0，其中t*≤V（0）1-θ/c（1-θ）。

2 主要結(jié)論

為了研究系統(tǒng)（1）的收斂行為，考慮如下的誤差系統(tǒng)：令x^i（t）＝xi（t）－x0（t），v^i（t）＝vi（t）－v0（t），則系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為

從而，有如下結(jié)論：

引理3設(shè)是系統(tǒng)（1）的解，則||x（t）||，||v（t）||滿足如下不等式

證明對(duì)于系統(tǒng)（1）而言，文中定義了在任意時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，故對(duì)于是可導(dǎo)的。又根據(jù)歐氏范數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則知，||x^i||，||v^i||是絕對(duì)連續(xù)的，從而||x（t）||，||v（t）||是絕對(duì)連續(xù)的，即兩者的導(dǎo)數(shù)在t∈[0，+∞）上幾乎處處存在。

（1）不妨假設(shè)當(dāng)t=t′時(shí)，有||x（t′）||=0成立，那么根據(jù)||x（t）||的非負(fù)性知，||x（t）||在t=t′處取得極小值。若||x（t）||在t=t′處的導(dǎo)數(shù)存在，則根據(jù)費(fèi)馬引理，有|d||x（t′）||/dt|=0≤||v（t′）||；若||x（t）||在t=t′處的導(dǎo)數(shù)不存在，由于||x（t）||是絕對(duì)連續(xù)的，故||x（t）||的不可導(dǎo)點(diǎn)構(gòu)成的集合是零測(cè)集，因此對(duì)于上述的t′而言，集合S={t|||x（t）||的導(dǎo)數(shù)不存在且||x（t）||}是不可導(dǎo)點(diǎn)構(gòu)成的集合的子集，故S是零測(cè)集。

下面考慮||x（t）||≠0。一方面，

另一方面，

從而，有

（2）類似于（1），僅需考慮||v（t）||≠0。對(duì)||v（t）||2求導(dǎo)，得

類似于I1的推導(dǎo)，對(duì)于I2有

又由于0<θ<1，即1<θ+1<2，由引理1知

整理得

所以，代入式（5）

因此

由引理3，可以得到如下結(jié)論。

引理4若初始速度和位移滿足下式

則系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為。更進(jìn)一步說(shuō)，存在正常數(shù)xM使得

證明構(gòu)造Lyapunov泛函

由引理3可得

故L（t）是單調(diào)減函數(shù)，從而L（t）≤L（0），即

由已知條件（6）以及ψ的不增性知，存在xM≥||x（0）||，使得

代入式（7）得

進(jìn)一步，有

由ψ（s）的非負(fù)性知

又因?yàn)棣祝╯）是減函數(shù)，代入式（4），有

由引理2知

由定義1知，系統(tǒng)（1）在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為。

利用前面的引理，可以得到系統(tǒng)（1）在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為。

定理1對(duì)于系統(tǒng)（1）來(lái)說(shuō)，若以下條件成立之一：

（1）0≤β≤1/2；

（2）β＞1/2且

則群體運(yùn)動(dòng)行為在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生。

證明（1）若0≤β≤1/2，有從而滿足引理4的條件，故在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為。

（2）當(dāng)β＞1/2時(shí)，由條件（8）知初始位移及速度滿足引理3，故系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為。

3 數(shù)值仿真

在二維空間中，這節(jié)模擬含有7個(gè)個(gè)體的主從C-S模型，并提供兩個(gè)關(guān)于位移和速度的數(shù)值仿真，用以說(shuō)明定理1的有效性。

對(duì)于i=1，2，令Xi=（x0i，x1i，…，x6i）T以及Vi=（v0i，v1i，…，v6i）T。選定初始數(shù)據(jù)以及參數(shù)如下

α=5，β＝0.1，θ＝0.9。由此可知，這些數(shù)據(jù)滿足定理1的條件。

圖1描述個(gè)體的速度運(yùn)動(dòng)軌跡，圖2描述||v（t）||和||x（t）||的演變曲線，從這四幅圖中，可以得到該系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為，經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)生的有限時(shí)間符合定理1的結(jié)論。

圖1 在t∈[0，0.45]上7個(gè)個(gè)體的速度（V1，V2）的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖2 在t∈[0，0.45]上||v（t）||和||x（t）||的演變曲線

4 結(jié)語(yǔ)

研究了只有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的主從C-S模型的有限時(shí)間群體運(yùn)動(dòng)行為問(wèn)題，在0≤β≤1/2和β>1/2的條件下，分別得到無(wú)條件群體運(yùn)動(dòng)行為和條件群體運(yùn)動(dòng)行為在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生，最后用幾個(gè)仿真示例來(lái)說(shuō)明得到的理論結(jié)果的可靠性。對(duì)于多領(lǐng)導(dǎo)者的主從C-S模型如何在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生群體運(yùn)動(dòng)行為將是下一步的研究方向。