周春瑩，任 斌

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

自同構(gòu)是李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論研究的重要部分，這方面已有了許多研究成果[1-15]。Heisenberg李代數(shù)是一類重要的冪零李代數(shù)，但長期以來其自同構(gòu)的研究進(jìn)展緩慢。2007年張海山等在文獻(xiàn)[8]中針對Heisenberg李代數(shù)的兩種定義形式，分別討論了在定義1形式下自同構(gòu)的充要條件，在定義2形式下自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[15]中作者用矩陣的表達(dá)方式對定義1形式下的Heisenberg李代數(shù)自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)做了進(jìn)一步探討，得到了5維Heisenberg李代數(shù)自同構(gòu)群的分解結(jié)構(gòu)。筆者巧妙利用分塊矩陣的初等變換，對定義1形式下2n+1維Heisenberg李代數(shù)的自同構(gòu)進(jìn)行了研究，刻畫出了自同構(gòu)群的分解結(jié)構(gòu)。

文中所討論的Heisenberg李代數(shù)都是復(fù)數(shù)域上的。

1 基本概念和性質(zhì)

定義1[9]設(shè)N是域F上的李代數(shù)。若φ為N到自身的可逆線性變換，且滿足

則稱φ為N的自同構(gòu)。N的所有自同構(gòu)構(gòu)成一個群，稱為N的自同構(gòu)群，記作Aut（N）。

定義2[8]設(shè)N是以e1，e2，…，en，en+1，en+2，…，e2n；c為基底的復(fù)向量空間，在N中定義李運算[ei，en+k]=δikc，其他基底元素的李運算為0，線性擴充后，則N關(guān)于所定義運算作成一個李代數(shù)，稱為Heisenberg李代數(shù)。

對于Heisenberg李代數(shù)N，記[ei，ej]=aijc，1≤i，j≤2n，有

這里，I2n表示2n級單位矩陣。記E=（aij）2n×2n，顯然

設(shè)φ是Heisenberg李代數(shù)N上的一個線性變換，則有

引理1[15]Heisenberg李代數(shù)N的一個線性變換φ是自同構(gòu)的充要條件是W矩陣滿足以下條件：

2 自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)

下面將利用引理1中所述充要條件來研究2n+1維Heisenberg李代數(shù)N的自同構(gòu)群的分解結(jié)構(gòu)。

設(shè)φ是N上的一個自同構(gòu)，且φ（e1，e2，…，e2n；c）=（e1，e2，…，e2n；c）W，注意到分塊矩陣的如下分解

這里，Ai表示n級矩陣，Bj表示1行n列矩陣。有如下定理：

定理1Aut（N）=GAG1，|GA∩G1|=1，其中GA，G1是Aut（N）的子群，且

證明由引理1易知GA是Aut（N）的子群。

對?α1，α2∈G1，有

所以α1α2∈G1，易知α1α2=α2α1。又由于

即β=α1-1∈G1。故G1是Aut（N）的交換子群。

顯然G1的結(jié)構(gòu)比較簡單，而GA的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，下面著重研究子群GA。

為了討論GA的結(jié)構(gòu)，需要下面的引理。設(shè)

引理2[15]G2，G3，G4，G5是Aut（N）的子群。

由引理1中條件（2），即ATEA=kE，有

于是有下列等式

對于子群GA，有如下分解定理。

定理2GA=G5G3G4G2G3G4G5G2。

證明 情形1（|A1|≠0）

由A1TA3＝A3TA1知，A3A1-1=（A1T）-1A3T＝（A3A1-1）T，有

由于自同構(gòu)的乘積仍是自同構(gòu)，所以C1＝A4－A3A1-1A2可逆。

由C1TA2＝A2TC1知，A2C1-1＝（C1T）-1A2T＝（A2C1-1）T，有

故此時存在φ3∈G3，?4∈G4，φ5∈G5，使得φ4φ3?=φ5，從而?∈G3G4G5。

情形2|A1|=0，而A2，A3，A4中有一個是可逆的。

此時可分為三種情況，均可通過分塊矩陣的初等變換歸結(jié)到情形1。

當(dāng)|A4|≠0，由于

等式右端屬于情形1。故存在φ2∈G2，使得φ2?φ2∈G3G4G5，從而?∈G2G3G4G5G2。

當(dāng)|A2|≠0或|A3|≠0時，同理可證。

情形3A1，A2，A3，A4均不可逆。

易知Ai≠0，i=1，2，3，4。設(shè)A1的秩為r（1≤r≤n-1），則存在可逆矩陣P1，T1使得，有

由B1TB3=B3TB1得

所以有F1=F1T，F(xiàn)2=0，即

從而有

又進(jìn)行如下變換

注意到故 等 式 右 端 屬 于 情 形1。 因 而 存 在φ3∈G3，φ4∈G4，φ5，ψ5∈G5， 使 得φ4φ3φ5?ψ5∈G3G4G5， 從 而 有?∈G5G3G4G3G4G5。

綜上可知GA=G5G3G4G2G3G4G5G2。

3 結(jié)語

文獻(xiàn)[15]討論了5維Heisenberg李代數(shù)時GA的分解，有GA=G5G4G2G3G4G5G2，可見5維與2n+1維的分解是有差異的。那么此差異的原因從證明過程不難看到5維時的分解過程比大于5維時的分解少一個步驟，由此也清楚了5維情形特殊之處。