何光政，彭先龍，胡錫文，徐磊，闞琛

(1.西安科技大學(xué)機械工程學(xué)院，陜西西安 710054；2.中國核電工程有限公司北京核化工研究設(shè)計院，北京 100840)

0 前言

面齒輪傳動是Fellow公司發(fā)明的一種由圓柱齒輪和錐齒輪組成的傳動機構(gòu)。如今，面齒輪傳動已成功應(yīng)用于機器人關(guān)節(jié)減速器、直升機動力分流減速器、汽車傳動系統(tǒng)中的差速器和后橋驅(qū)動減速器。與錐齒輪相比，面齒輪傳動機構(gòu)具有諸多優(yōu)點：質(zhì)量輕、體積小、無軸向定位要求、承載能力高、更換方便、噪聲低等。因此，近年來許多公司和科研人員在面齒輪的研究工作中投入了大量的精力。李政民卿、朱如鵬研究了正交面齒輪齒廓尖化、根切、裝配誤差對面齒輪傳動特性的影響。沈云波等研究了斜齒面齒輪齒寬設(shè)計和幾何傳動誤差設(shè)計。付學(xué)中等研究了偏置面齒輪的加工制造和安裝誤差容差性、敏感性。趙寧、靳永先完成了非正交面齒輪的插齒仿真加工和誤差分析。

由于面齒輪加工制造困難，限制了面齒輪在傳動領(lǐng)域的應(yīng)用。而現(xiàn)有的研究多集中在直齒正交面齒輪，忽視了對更復(fù)雜和一般的偏置非正交面齒輪的研究。為了進一步豐富面齒輪的傳動形式，使其在空間受限的傳動系統(tǒng)中，滿足多樣化結(jié)構(gòu)布局要求，擴大面齒輪在傳動領(lǐng)域的應(yīng)用優(yōu)勢，本文作者對包含斜齒、偏置、非正交3個參數(shù)的面齒輪進行設(shè)計，用螺旋插齒刀齒面方程推導(dǎo)出面齒輪的齒面方程，用MATLAB對斜齒偏置非正交面齒輪齒面進行數(shù)值建模，實現(xiàn)了齒面可視化，并對面齒輪進行虛擬仿真加工。通過數(shù)值方法，將插齒仿真面齒輪與理論面齒輪進行齒面對比分析，計算出其對應(yīng)點的齒面偏差，為后續(xù)斜齒偏置非正交齒輪的研究奠定理論基礎(chǔ)。

1 面齒輪加工原理及齒面方程

1.1 面齒輪加工原理

斜齒偏置非正交面齒輪插齒加工過程是對斜齒輪與面齒輪范成運動的模擬，其加工原理如圖1所示。與直齒面齒輪插齒加工不同，斜齒偏置非正交面齒輪在插齒過程中，螺旋插齒刀軸線與面齒輪軸線不平行且不相交，具有一個相錯角。在加工面齒輪時，根據(jù)斜齒輪螺旋線的形成原理，插齒機除具備切削運動、圓周進給運動、徑向進給運動、分度展成運動和讓刀運動外，螺旋插齒刀在切削運動同時還需疊加一個附加轉(zhuǎn)動以形成螺旋齒廓。即螺旋插齒刀沿軸向進給一個螺旋導(dǎo)程時，螺旋插齒刀剛好繞其軸線附加轉(zhuǎn)動一圈。

圖1 插齒加工原理

1.2 面齒輪齒面方程推導(dǎo)

1.2.1 螺旋插齒刀齒面方程

加工斜齒偏置非正交面齒輪的刀具為漸開線螺旋插齒刀，其端面漸開線齒廓與坐標系如圖2所示。在坐標系中，螺旋插齒刀齒面的位置矢量可表示為式(1)：

圖2 螺旋插齒刀輪廓

(1)

=(+±)

(2)

其中：=/2為端面上分度圓半徑;=cos為端面上基圓半徑;=2π/-(tan-)表示基圓上1/2齒槽寬所對應(yīng)的圓心角；表示端面漸開線齒廓的角度參數(shù);為螺旋插齒刀端面漸開線繞軸線的轉(zhuǎn)角;=/tan為分度圓上螺旋導(dǎo)程;為螺旋角;、分別為螺旋插齒刀端面壓力角和端面模數(shù)。則螺旋插齒刀齒面的單位法矢表示為式(3)：

(3)

1.2.2 面齒輪加工坐標系

斜齒偏置非正交面齒輪插齒加工采用如圖3所示的坐標系。其中=/，、分別為面齒輪和螺旋插齒刀的轉(zhuǎn)角，、分別為面齒輪和螺旋插齒刀的齒數(shù)；坐標系、分別與面齒輪和螺旋插齒刀固連；輔助坐標系、、、均與機架固連；表示面齒輪坐標系原點到螺旋插齒刀坐標系原點的距離；表示螺旋插齒刀的偏置距離；為螺旋插齒刀軸和面齒輪軸的相錯角。

圖3 插齒加工坐標系

1.2.3 面齒輪齒面方程

斜齒偏置非正交面齒輪齒面是由螺旋插齒刀齒面包絡(luò)形成的。圖3中，繞軸順時針旋轉(zhuǎn)得到，沿軸負方向平移得到，沿軸正方向平移得到，繞軸順時針旋轉(zhuǎn)得到，繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)得到。由上述坐標變換，可以得到螺旋插齒刀坐標系到面齒輪坐標系的坐標變換矩陣如式(4)：

==

(4)

(5)

由坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在面齒輪坐標系中，可將面齒輪的齒面方程和法矢分別由式(6)、式(7)表示如下：

(6)

(,,)=()(,)

(7)

2 MATLAB仿真面齒輪齒面

文中所使用的相關(guān)參數(shù)如表1所示。為了方便面齒輪齒面求解，如圖4所示，將面齒輪的齒面表達在坐標系中。繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)得到，坐標變換矩陣如式(8)：

圖4 數(shù)值仿真坐標系

表1 插齒刀和面齒輪參數(shù)

(8)

坐標系中，面齒輪的齒面方程和法矢分別為式(9)、式(10)：

(9)

(,,)=(,,)

(10)

通過對斜齒偏置非正交面齒輪齒面方程的理論推導(dǎo)，可以知道，在坐標系中設(shè)定面齒輪齒面點的半徑和該點的坐標時，有如下代數(shù)關(guān)系：

(11)

式(11)中有3個未知數(shù)、、，聯(lián)立3個方程可以求解出、、的值，將其代入面齒輪齒面方程(9)中，可以得到面齒輪齒面點的坐標。

根據(jù)相關(guān)的設(shè)計參數(shù)及面齒輪齒面方程，使用MATLAB軟件編寫相關(guān)程序，即可求解面齒輪齒面，結(jié)果如圖5所示。

圖5 面齒輪數(shù)值仿真齒面

3 面齒輪插齒加工仿真

虛擬仿真流程與實際加工過程基本上是一樣的。通過調(diào)整數(shù)控機床參數(shù)，得到螺旋插齒刀與工件的運動關(guān)系，實現(xiàn)對螺旋插齒刀和工件運動軸關(guān)系的控制，通過數(shù)控機床各組件的協(xié)同運動即可加工出斜齒偏置非正交面齒輪。

3.1 搭建插齒機床模型

根據(jù)第1.1節(jié)中提到的面齒輪加工所涉及的6個運動，搭建了如圖6所示的數(shù)控機床模型。

圖6 插齒加工機床模型

機床包含了主軸傳動鏈與工件傳動鏈兩大傳動鏈。主軸傳動鏈有：控制齒深進給的軸，調(diào)整螺旋插齒刀相對于面齒輪中心軸偏置距離的軸，控制螺旋插齒刀往復(fù)運動的軸，控制螺旋插齒刀附加轉(zhuǎn)動及分度展成運動的旋轉(zhuǎn)軸軸。工件傳動鏈有：控制相錯角的軸和工件旋轉(zhuǎn)軸的軸。

首先，在VERICUT項目樹上設(shè)置好機床各機構(gòu)組件的依附關(guān)系；然后，在SolidWorks軟件中按需要的尺寸參數(shù)建立機床各部件的模型，并以STL格式分別保存；最后，將各部件的模型導(dǎo)入機床中相應(yīng)位置，即完成了插齒機床的搭建。

3.2 數(shù)控程序的編寫

搭建好機床結(jié)構(gòu)，將螺旋插齒刀和毛坯導(dǎo)入相應(yīng)位置后，就可以分析各軸的運動關(guān)系，編寫所需的數(shù)控程序。選用法蘭克Fan18m數(shù)控系統(tǒng)作為機床的數(shù)控系統(tǒng)，根據(jù)螺旋插齒刀和毛坯的運動規(guī)律，使用G代碼指令編寫的數(shù)控加工程序如下：

%

O0001%加工程序命名

T6M6

%刀具調(diào)用

CGTECH_MACRO "BroachModeOn" "" 1

%機床啟動

G00 X-500 A0

%移動毛坯位置

G00 B20

%調(diào)整相錯角

G00 Y-50

%移動毛坯位置

G00 Z730

%調(diào)整刀具位置

G00 X-390

%移動毛坯位置

G00 Z718.8881169 C-79.92758501

%切削初始位置

G01 Z538.8881169 C-100.132414985

%刀具螺旋切削

G00 X-500

%讓刀

G00 Z718.8881169

%退刀

G00 X-390

%切削初始位置

M98 P0003 L4200

%調(diào)用循環(huán)子程序

G00 X-600

%讓刀

G00 Z700 C33

%退刀

G04

%程序停止

3.3 仿真過程及結(jié)果

把編寫好的程序?qū)爰纯蛇M行面齒輪插齒仿真加工：將螺旋插齒刀調(diào)整到合適的初始位置，工件繞軸順時針旋轉(zhuǎn)20°，使得螺旋插齒刀軸與面齒輪相錯角為110°；螺旋插齒刀在軸切削運動的同時附加軸的轉(zhuǎn)動，使刀刃沿螺旋線進給，形成螺旋齒面；軸向上抬起，完成讓刀運動；刀具返回初始切削位置，完成退刀運動；插齒加工過程中，軸與軸旋轉(zhuǎn)有固定的耦合關(guān)系，即螺旋插齒刀與毛坯之間的分度展成運動按照二者齒數(shù)比進行。循環(huán)上述切削步驟，得到如圖7所示的面齒輪模型，并將VERICUT插齒仿真結(jié)果保存為STL格式。

圖7 面齒輪插齒仿真模型

4 面齒輪齒面對比分析

采用數(shù)值比較的方法，通過計算VERICUT插齒仿真齒面與理論齒面的法向差值，對仿真結(jié)果進行精確的分析。

4.1 齒面測量網(wǎng)格規(guī)劃

為了精確計算仿真齒面與理論齒面的偏差，對面齒輪齒面進行離散化。由于斜齒偏置非正交面齒輪兩齒面并不對稱，需要分別對兩齒面進行離散化。坐標系中，在面齒輪工作齒面的旋轉(zhuǎn)投影面上進行網(wǎng)格的劃分。齒面測量區(qū)域不能太接近齒頂、齒根過渡曲面及大小端面。如圖8所示，在齒高方向上取7列，在齒寬方向上等距取11列，共77個測量點。測量網(wǎng)格齒高邊界收縮量為工作齒高的5%，齒寬邊界收縮量為實際齒寬的10%。

圖8 面齒輪齒面測量網(wǎng)格

4.2 齒面偏差計算

通過對理論面齒輪齒面進行離散化，可求得齒面上各網(wǎng)格點的坐標(，)及與之對應(yīng)的單位法矢(，)，其中=1～7，=1～11；再以離散化的理論面齒輪齒面(7×11網(wǎng)格齒面)作為測量基準，在第3.4節(jié)保存的STL模型上，提取與理論齒面網(wǎng)格點所對應(yīng)點的坐標值(，)；通過式(12)，即可計算出面齒輪仿真齒面與理論齒面的法向偏差。齒面偏差計算結(jié)果如圖9所示。

圖9 面齒輪齒面偏差

(,)=[(,)-(,)](,)

(12)

與理論齒面對比斜齒偏置非正交面齒輪插齒仿真偏差均為齒面殘留，左齒面最大殘留為7.4 μm，最小殘留為3.3 μm，右齒面最大殘留為7.2 μm，最小殘留為3.9 μm。誤差可能由兩方面造成：一方面是VERICUT軟件的模型轉(zhuǎn)換和數(shù)控插值公差造成的；另一方面是由插齒加工包絡(luò)殘差造成的。即使仿真結(jié)果存在偏差，但參照錐齒輪精度國家標準評定，面齒輪齒形精度達到5級要求。

5 結(jié)語

以斜齒偏置非正交面齒輪為研究對象，推導(dǎo)了斜齒偏置非正交面齒輪的齒面方程，對面齒輪相關(guān)參數(shù)進行了設(shè)計；使用VERICUT虛擬仿真軟件，完成了斜齒偏置非正交面齒輪的插齒加工仿真；使用MATLAB軟件完成了斜齒偏置非正交面齒輪的數(shù)值建模，并對插齒仿真結(jié)果進行了數(shù)值分析，驗證了斜齒偏置非正交面齒輪插齒仿真加工的正確性。為后續(xù)斜齒偏置非正交齒輪的研究奠定了理論基礎(chǔ)。