張 迪，裴智明，靳謙誠

（太原理工大學機械與運載工程學院，山西 太原 030024）

FAST 主要由主動反射面、饋源艙及控制、測量和支承系統(tǒng)組成。主動反射面由主索網、反射面板、下拉索、促動器及支承結構等構成可調節(jié)球面。主索網以三角網格用主索節(jié)點構成，三角板上安裝反射面板，主索節(jié)點連接單根下拉索，下拉索與促動器連接，通過促動器拖動下拉索下的節(jié)點，用以控制反射面的形狀。饋源艙以機電一體化平臺支撐和Stewart 系統(tǒng)裝置調節(jié)[1-2]。本文經過數(shù)學分析和科學建模，基于FAST 最佳接收比，主動反射面的形狀調節(jié)問題，通過建立空間理想拋物面的幾何模型、促動器調節(jié)下的關聯(lián)理論以及采用非線性規(guī)劃策略和尋優(yōu)算法，對2226 個主索節(jié)點進行簡化與規(guī)劃，對FAST 實現(xiàn)自主反射面變形的網面調整策略模型，分析了基于費馬原理三維空間光線反射的饋源艙接收比，實現(xiàn)了FAST 自動控面的相關工作要求。

本文總體思路是在促動器調節(jié)的約束下，帶動下拉索和主索節(jié)點的運動，找到理想拋物面后，調整促動器的伸縮量，將反射面變形為主反射面，且盡量貼近理想拋物面，以使天體電磁波經反射后饋源艙的接收效果最好。

1 數(shù)據預處理

為了使主反射面板能夠完美反射，本文選取天體位置在最特殊情況下，即：α=0°，β=90°時（天體的方位以α，β 量化描述），需給出在滿足主反射面板調節(jié)約束條件下的理想拋物面位置，即相應形狀[3-4]，指導以促進器為主的主索節(jié)點調節(jié)方式。滿足調節(jié)因素的影響有以下5 個方面。

1） 主索節(jié)點調節(jié)后，任意相鄰節(jié)點的距離必然會發(fā)生變化，為了滿足各方面要求，考慮到應力、變形以及材料的力學性能等各方面因素，需要限制任意相鄰兩節(jié)點的變化不超過0.07%。

2） 根據題目要求和相關資料顯示，下拉索用于主索節(jié)點和促動器的連接，故其長度不會發(fā)生變化，且規(guī)定了促動器的伸縮范圍為-0.6 m～+0.6 m。

根據給出的所有主索節(jié)點的坐標，均以基準面球心C（0，0，0） 作為坐標原點，再有A0（0，0，-300.4） 為最低的主索節(jié)點的位置坐標。

3） 基準球面和拋物線面的口徑相同均為300 m。

4） 每塊反射三角形面板均為基準球面的一部分，根據相關資料顯示，反射面板上開有小圓孔（直徑d＜5 mm） 用以漏雨水。由于孔徑小，幾乎不影響電磁波反射，因此在模型分析建立與求解時設定其面板無孔。

5） 在基準態(tài)基準面上，所有的主索節(jié)點將在基準球面上，考慮到主索節(jié)點的點徑遠小于三角反射面板的尺寸，因此可以設定反射面的頂點即為主索節(jié)點，經相關分析演算，差值偏移率遠遠小于0.000001 26%。

2 建立FAST 基于解析幾何理論的特殊位置時理想拋物面的優(yōu)化變形幾何模型

由于饋源艙中心P 只能在與基準球面同心的焦面上運動，因此，P 位于被測天體與基準球面中心連線SC 和焦面的交點位置，而理想拋物面可以看作拋物線繞其公轉軸旋轉而形成。根據相關拋物線知識可知：P 點即為其焦點。而SC 和基準球面的交點O 是形成該旋轉拋物面的拋物線頂點。

球面和拋物面都具有各向同性的特點，因此在建立相關分析模型時，可將特殊位置的幾何形狀模型簡化到二維空間進行描述：可用圓弧代替球面，用拋物線代替拋物面[5-6]。

其中要求球面與拋物面口徑相同均為R=300 m。

3 基于解析幾何理論的特殊位置理想拋物面的優(yōu)化變形幾何模型的求解結果策略最優(yōu)選擇

根據資料顯示可以建立三種策略模型，分別為標準式、下偏式以及查閱式，在此進行模型建立和比較。

1） 標準式：當最低點的偏移距離h=0 m 時，按照題目要求F=0.466R 時，利用拋物線和旋轉拋物面相關理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標準式方程分析，可做出空間內三維理想拋物面，其口徑為300 m，最低點與基準球面相重合一點。為了更加清晰直觀的觀測理想拋物面與基準面的相互位置關系，利用MATLAB 工具可做出三維空間的FAST 理想拋物面與基準球面位置圖，見圖1。

圖1 標準式下的理想拋物面與基準球面嵌套的形狀和位置

2） 下偏式：當最低點的偏移距離h=-0.2 m時，按照題目要求F=0.466R 時，利用拋物線和旋轉拋物面相關理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標準式方程分析，可做出空間內三維理想拋物面見圖2，其口徑為300 m，最低點與基準球面相差h=-0.2 m。

圖2 下偏式下的理想拋物面的形狀和位置

3） 查閱式：當最低點的偏移距離h=0 m 時，按照查閱相關資料顯示，要求F=0.4665R 時，利用拋物線和旋轉拋物面相關理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標準式方程分析，可做出空間內三維理想拋物面見圖3，其口徑為300 m，最低點與基準球面相差h=0 m。

圖3 查閱式下的理想拋物面的形狀和位置

4 變形幾何模型的模型結果檢驗及模型相關結論

根據模型分析可知，模型的最終結果要滿足調節(jié)因素的約束條件，經檢驗下偏式和查閱式的促動器近似調節(jié)量見表1。

表1 下偏式和查閱式的促動器調節(jié)量的范圍值（m）

根據基于解析幾何理論的特殊位置建立的理想拋物面的優(yōu)化變形幾何模型及其模型分析，反射面變形從直觀上可以得知，其邊緣處與基準圓面的光滑性越好，則調節(jié)難度越小，精度越大。反之，在銜接處會出現(xiàn)較大的拉壓載荷，造成較大的應力，使得工作過程極其容易出現(xiàn)疲勞現(xiàn)象。對連接的光滑性和工作強度以及疲勞性等影響因子進行綜合考慮，在實際調節(jié)過程中就必須滿足一定的約束條件才能使FAST 真正高效地運行。

因此，根據該模型可以得出以下基本結論。

一是下偏式類型的理想拋物面促動器的工作行程是最小的，為區(qū)間[0.0143，0.5377]且符合調節(jié)的范圍。二是下偏式類型的理想拋物面節(jié)點總位移較小，使得基準球面和調節(jié)面板鋼索的應力較小，有較好的抗疲勞性。三是下偏式類型的理想拋物面與基準球面的過渡相對平滑。

5 結束語

FAST 作為目前落成的最高效和功能最齊全的設備，在模型建立時更大程度地考慮到實際情況和目前研究的最新成果，對相關理論的建立給出了較為詳細的理論推導和詳細證明，使得結果更加完整可靠。在利用非線性規(guī)劃確定實際促動器工作策略時，考慮到多變量最簡便有效的規(guī)劃算法，在相互關聯(lián)多變量約束的條件下，且有非線性函數(shù)時，非線性規(guī)劃優(yōu)點已經很好的顯現(xiàn)。然而考慮到模型的數(shù)據空間較大，在未輸入相關限制時，隨著搜索和運行的不斷深入，計算量將會增大，因此，采用分階段的方法進行逐步尋優(yōu)，最終計算結果將十分逼近最優(yōu)值，但仍有一定偏差。后續(xù)研究，需要深入FAST 的實際工作進程，以科學客觀的角度將理論模型與實際工作狀態(tài)相結合，充分考慮實際工作狀態(tài)下的情況，以建立更為實用和可行的科學模型。