陶楷文， 儲(chǔ)劍波

(南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院 ，江蘇 南京 211100)

0 引 言

在多電飛機(jī)電動(dòng)環(huán)境控制系統(tǒng)中，高速永磁同步電機(jī)(HSPMSM)驅(qū)動(dòng)壓氣機(jī)進(jìn)行環(huán)控[1]，系統(tǒng)出于裕度考慮往往會(huì)為HSPMSM配備一套無(wú)位置傳感器算法。然而無(wú)位置傳感器算法的可靠運(yùn)行很大程度取決于其數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確建立。環(huán)控系統(tǒng)中HSPMSM運(yùn)行環(huán)境惡劣，高速大功率工況下伴隨的高溫高振等因素，使得電機(jī)參數(shù)在運(yùn)行過(guò)程中發(fā)生變化，從而導(dǎo)致無(wú)位置傳感器算法的數(shù)學(xué)模型偏差，使得位置觀測(cè)器輸出估算位置信息失穩(wěn)，最終導(dǎo)致系統(tǒng)波動(dòng)劇烈甚至發(fā)散。因此，為保證無(wú)位置傳感器算法可靠運(yùn)行，必須對(duì)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行有效監(jiān)測(cè)。

擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)理論是一種最優(yōu)估計(jì)方法，因其收斂速度快、估計(jì)精度高且抗干擾強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛關(guān)注。清華大學(xué)Xiao等[2]構(gòu)建了估算轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈幅值和方向的卡爾曼濾波器，在線監(jiān)測(cè)永磁體磁場(chǎng)狀況，解決了噪聲環(huán)境下的永磁體磁鏈辨識(shí)困難的問(wèn)題[3]。文獻(xiàn)[4]提出采用擴(kuò)展卡爾曼濾波器對(duì)組合航天器慣量參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，該算法克服了由于模型簡(jiǎn)單導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)慣量信息辨識(shí)不完整的缺點(diǎn)。然而由于電機(jī)參數(shù)的在線辨識(shí)以定子電壓方程為基礎(chǔ)，想要同時(shí)辨識(shí)電感，定子電阻與轉(zhuǎn)子磁鏈為無(wú)位置傳感器算法服務(wù)、定子電壓方程會(huì)存在缺秩問(wèn)題。在不添加額外測(cè)量電路的條件下，為解決缺秩問(wèn)題，一類方法是將某個(gè)電機(jī)參數(shù)視為已知值或采用分步辨識(shí)[5-6]，以減少同時(shí)辨識(shí)的電機(jī)參數(shù)個(gè)數(shù)。另一類方法是通過(guò)注入激勵(lì)信號(hào)獲得新的方程，從而構(gòu)成辨識(shí)的滿秩模型[7]。但這兩種方法算法復(fù)雜、調(diào)試難度大，難以運(yùn)用到運(yùn)行工況惡劣的無(wú)位置傳感器HSPMSM系統(tǒng)中。

本文針對(duì)所采用的基于擴(kuò)展反電動(dòng)勢(shì)法(EEMF)的無(wú)位置傳感器算法[7]，通過(guò)穩(wěn)定性分析法到得參數(shù)依賴性特點(diǎn)，針對(duì)算法高依賴性參數(shù)進(jìn)行基于EKF的在線辨識(shí)。能夠避開全參數(shù)辨識(shí)所導(dǎo)致的缺秩問(wèn)題，降低了算法復(fù)雜度，只需要實(shí)時(shí)修改位置觀測(cè)器模型中具有高依賴性的參數(shù)，即可達(dá)到基于無(wú)位置傳感器算法的HSPMSM系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。最后，通過(guò)MATLAB/Simulink仿真驗(yàn)證了分析所得無(wú)位置傳感器算法參數(shù)依賴性特點(diǎn)與所提方法的正確性與有效性。

1 無(wú)位置傳感器算法設(shè)計(jì)

d-q軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中永磁同步電機(jī)(PMSM)的傳統(tǒng)電壓方程：

(1)

式中：ud、uq分別為d、q軸電壓;id、iq分別為d、q軸電流;Ld、Lq分別為d、q軸電感;Rs為定子電阻;p為微分算子;ψf為永磁體磁鏈;ωe為轉(zhuǎn)子電角速度。

考慮表貼式電機(jī)(Ld=Lq=Ldq)，并將式(1)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理[6]，電壓方程變換到γ-δ估計(jì)旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系下，得到式(2)：

(2)

利用式(2)建立數(shù)學(xué)模型，求取位置信息?；诠烙?jì)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸下擴(kuò)展反電動(dòng)勢(shì)的無(wú)位置傳感器算法控制框圖如圖2所示。

圖2 無(wú)位置傳感器控制算法方案框圖

2 參數(shù)依賴性分析

對(duì)基于無(wú)位置傳感器的HSPMSM系統(tǒng)進(jìn)行小信號(hào)模型建立和穩(wěn)定性分析，改變電機(jī)參數(shù)繪制系統(tǒng)特征根軌跡圖，定性分析無(wú)位置傳感器算法模型的參數(shù)依賴性。

2.1 系統(tǒng)小信號(hào)模型建立

針對(duì)PMSM模型狀態(tài)方程如式(3)：

(3)

式中:J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;p為電機(jī)極對(duì)數(shù);TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;ωr為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度。

將式(3)進(jìn)行小信號(hào)模型處理，選取穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)進(jìn)行離散化：

(4)

對(duì)無(wú)位置傳感器算法進(jìn)行小信號(hào)模型建立。利用式(2)，忽略反電動(dòng)勢(shì)中微分項(xiàng)，考慮在運(yùn)行過(guò)程中Δθe項(xiàng)近似為0，利用等價(jià)無(wú)窮小原理可得：

(5)

結(jié)合圖2控制框圖即可寫出位置觀測(cè)器局部狀態(tài)方程：

(6)

式中:w為Δθe積分項(xiàng);Kp、Ki分別為位置觀測(cè)器比例系數(shù)和積分系數(shù)。

在此基礎(chǔ)上選取穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)進(jìn)行離散化，建立小信號(hào)模型。同樣，系統(tǒng)中轉(zhuǎn)速、電流調(diào)節(jié)器也利用該思路進(jìn)行小信號(hào)模型建立，最終整合成式(7)：

(7)

式(7)詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程見文獻(xiàn)[8]。改變轉(zhuǎn)移矩陣中電機(jī)參數(shù)，可以得到系統(tǒng)關(guān)于該參數(shù)的特征根軌跡圖，從而獲得位置觀測(cè)器的電機(jī)參數(shù)依賴特性。

2.2 穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性分析參數(shù)如表1所示，改變電機(jī)方程中各個(gè)參數(shù)得到對(duì)應(yīng)特征根軌跡圖，當(dāng)所有特征值的實(shí)部均為負(fù)值時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)受到干擾后能夠回到穩(wěn)定狀態(tài)。

表1 穩(wěn)定性分析參數(shù)

圖3為電機(jī)參數(shù)Ldq(考慮表貼式電機(jī))的特征根軌跡圖，轉(zhuǎn)速、電流環(huán)帶寬分別為10、1 000 Hz[9]，無(wú)位置傳感器算法帶寬選取為115 Hz。采用id=0的PMSM矢量控制方法。電機(jī)運(yùn)行于45 000 r/min時(shí)，風(fēng)機(jī)載為6 N·m。由圖3可得，當(dāng)無(wú)位置傳感器算法參數(shù)電感等于實(shí)際電感時(shí)，系統(tǒng)特征根均分布于左半邊，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)可知系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)實(shí)際電感增大時(shí)系統(tǒng)向左移動(dòng)，趨于穩(wěn)定。而實(shí)際電機(jī)電感減小至0.62倍時(shí)，其特征根移動(dòng)到右半面，系統(tǒng)發(fā)散，該無(wú)位置傳感器算法關(guān)于電感參數(shù)較為敏感。

圖3 基于變實(shí)際電感參數(shù)的特征根軌跡

繪制出關(guān)于電機(jī)定子電阻參數(shù)與磁鏈參數(shù)的主導(dǎo)特征根軌跡，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)電機(jī)參數(shù)的變化幾乎不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。圖4所示，將定子電阻由0.1倍變化至100倍，系統(tǒng)所有特征根均分布于左半平面，因此，該算法關(guān)于定子電阻有低參數(shù)依賴性，磁鏈參數(shù)同樣如此。

圖4 基于變實(shí)際電阻參數(shù)的特征根軌跡

綜上可得，基于EEMF的無(wú)位置傳感器算法僅關(guān)于電機(jī)電感具有高依賴性，與定子電阻與磁鏈參數(shù)較低依賴性，實(shí)時(shí)在線監(jiān)測(cè)電感參數(shù)即可保證HSPMSM系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。

3 PMSM電感及電阻在線辨識(shí)

3.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器

因?yàn)镻MSM為非線性系統(tǒng)，而傳統(tǒng)卡爾曼濾波只適用于線性系統(tǒng)，所以為實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波，目前普遍采用按最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)線性化的卡爾曼濾波方程，即擴(kuò)展卡爾曼濾波方程。非線性狀態(tài)方程描述如下

(8)

式中:帶“^”的變量表示狀態(tài)估計(jì)量;V(k)表示系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差，考慮了實(shí)際系統(tǒng)擾動(dòng)和模型參數(shù)的不確定性和可變性;W(k)表示測(cè)量噪聲的協(xié)方差，考慮了所有測(cè)量噪聲和測(cè)量的不準(zhǔn)確性。

擴(kuò)展卡爾曼濾波主要由兩個(gè)循環(huán)步驟組成。

(9)

式中：Q(t)是狀態(tài)方程(8)中系統(tǒng)噪聲的自相關(guān)矩陣，由一個(gè)對(duì)角陣、一個(gè)時(shí)變矩陣和一個(gè)非時(shí)變對(duì)角陣疊加組成，實(shí)際系統(tǒng)中由于采樣時(shí)間的限制，使用一個(gè)非時(shí)變對(duì)角陣Q代替。因?yàn)榧澳Ｐ椭蠥′仍含有狀態(tài)變量分量，所以還需對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行線性化處理，即求系統(tǒng)方程對(duì)狀態(tài)變量x的偏導(dǎo)，記為Fk:

(10)

(11)

式中：Kk+1為卡爾曼濾波增益矩陣，關(guān)聯(lián)了狀態(tài)預(yù)測(cè)和測(cè)量反饋校準(zhǔn)兩個(gè)階段，反映了卡爾曼濾波的實(shí)質(zhì)。

因此卡爾曼濾波估計(jì)的關(guān)鍵是加權(quán)增益矩陣Kk+1的選擇。Kk+1的表達(dá)式如下

Kk+1=Pk|k+1C′T(CPk+1|kC′T+R)-1

(12)

式中:測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣R(t)同樣使用一個(gè)非時(shí)變對(duì)角陣R描述。

因此設(shè)計(jì)卡爾曼濾波增益Rk+1的關(guān)鍵是確定P0|0、Q、R的值。

3.2 PMSM電感在線辨識(shí)

因?yàn)榭柭鼮V波算法一般用于線性系統(tǒng)中，所以需要對(duì)連續(xù)的狀態(tài)方程式(1)進(jìn)行離散化，表達(dá)式為

(13)

離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)變量x(k)=[id(k)iq(k)Rs(k)/Ldq(k) 1/Ldq(k)]T,輸入變量y(t)=[ud(k)uq(k)]T,輸出變量y(t)=[id(k)iq(k)]T。進(jìn)而對(duì)式(13)求偏導(dǎo)計(jì)算出Fk:

(14)

按照狀態(tài)預(yù)測(cè)與狀態(tài)更新步驟即可在線辨識(shí)Rs/Ldq與1/Ldq。

3.3 缺秩問(wèn)題

構(gòu)建的4階擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器并不能夠使辨識(shí)值收斂于真實(shí)值，其根本原因在于所構(gòu)建的觀測(cè)器并不滿足滿秩要求，缺秩問(wèn)題導(dǎo)致系統(tǒng)辨識(shí)值存在多解情況。針對(duì)該問(wèn)題利用李導(dǎo)數(shù)[10]進(jìn)行觀測(cè)器滿秩分析，定義矩陣O：

(15)

式中:L為系統(tǒng)可觀判別矩陣;由n個(gè)k階李導(dǎo)數(shù)組成;np為自變量x的個(gè)數(shù);n為觀測(cè)器的階數(shù)。

最終求得O矩陣，保證其滿秩即可保證局部弱能觀，即構(gòu)建的四階卡爾曼濾波觀測(cè)器有唯一解。O矩陣經(jīng)化簡(jiǎn)如下：

(16)

最終系統(tǒng)滿足iq≠0,ωe≠0,卡爾曼濾波觀測(cè)器滿秩。

4 仿真與試驗(yàn)結(jié)果

基于電機(jī)參數(shù)在線修正的EEMF無(wú)位置傳感器HSPMSM系統(tǒng)控制框圖如圖5所示。

圖5 HSPMSM系統(tǒng)控制框圖

在MATLAB/Simulink中對(duì)該方法進(jìn)行了模型搭建和仿真研究，仿真中的電機(jī)參數(shù)與各調(diào)節(jié)器參數(shù)與穩(wěn)定性分析中的各參數(shù)一致，具體電機(jī)參數(shù)如表1所示。在0 s給定轉(zhuǎn)速30 000 r/min，1 s時(shí)電機(jī)電感開始均勻下降，1.5 s時(shí)下降至初始值72%。為進(jìn)一步驗(yàn)證動(dòng)態(tài)情況，在2 s時(shí)給定轉(zhuǎn)速35 000 r/min觀察轉(zhuǎn)速響應(yīng)情況。

圖6給出了在電機(jī)電感變化情況下，基于EEMF無(wú)位置傳感器HSPMSM系統(tǒng)運(yùn)行狀況?？芍陔姼凶冃『螅到y(tǒng)出現(xiàn)轉(zhuǎn)速振蕩現(xiàn)象，動(dòng)態(tài)效果也相應(yīng)變差，最終穩(wěn)態(tài)下轉(zhuǎn)速波動(dòng)達(dá)到了6 000 r/min。其原因在于電感變化導(dǎo)致位置觀測(cè)器數(shù)學(xué)模型發(fā)生偏差，也驗(yàn)證了圖3特征根軌跡趨勢(shì)，減小電感系統(tǒng)特征根向虛軸移動(dòng)，根據(jù)李雅普諾夫定理可知系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定，越靠近虛軸系統(tǒng)噪聲則會(huì)越明顯，使得系統(tǒng)出現(xiàn)較大轉(zhuǎn)速波動(dòng)。若繼續(xù)減小電感，系統(tǒng)將出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

圖6 無(wú)位置傳感器算法電感依賴性分析

圖6驗(yàn)證了該無(wú)位置傳感器算法關(guān)于電感參數(shù)的高依賴特性。圖7給定電機(jī)定子電阻Rs從0.1倍初始值增至100倍，位置觀測(cè)器中的定子電阻值恒為定子電阻初值Rs，轉(zhuǎn)速波形幾乎沒(méi)有任何改變，驗(yàn)證了EEMF算法定子電阻的低依賴性。

圖7 EEMF算法電阻依賴性波形圖

圖8給出了在空載下EKF觀測(cè)器辨識(shí)結(jié)果，辨識(shí)值不能收斂于實(shí)際值，辨識(shí)Rs/Ldq值出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象，辨識(shí)1/Ldq收斂于錯(cuò)誤值。仿真與理論對(duì)應(yīng)，當(dāng)電機(jī)處于空載時(shí)，所構(gòu)建的四階卡爾曼濾波觀測(cè)器缺秩，式(16)矩陣的秩為2，導(dǎo)致四階觀測(cè)器存在多解，使得觀測(cè)錯(cuò)誤。圖9給出了電機(jī)帶載情況下的辨識(shí)結(jié)果，可知在iq≠0的情況下四階卡爾曼濾波觀測(cè)器滿秩，能夠正確辨識(shí)出電阻與電感值。

圖8 空載情況下EKF辨識(shí)波形

圖9 帶載情況下EKF辨識(shí)波形

對(duì)基于EKF在線監(jiān)測(cè)電感的無(wú)位置傳感器HSPMSM系統(tǒng)進(jìn)行仿真，給定轉(zhuǎn)速為40 000 r/min，在0.6 s時(shí)開始在線監(jiān)測(cè)電機(jī)電感并將辨識(shí)值送至無(wú)位置傳感器算法模型以進(jìn)行修正，2 s時(shí)刻升速至45 000 r/min。圖10為最終無(wú)位置傳感器算法輸出估計(jì)轉(zhuǎn)速與實(shí)際電機(jī)電感變化波形，估計(jì)轉(zhuǎn)速在隨著電機(jī)電感變化后不會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)速振蕩現(xiàn)象，動(dòng)態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能良好。圖11給出運(yùn)行過(guò)程中轉(zhuǎn)速誤差與角度誤差情況，轉(zhuǎn)速誤差控制在±150 r/min以內(nèi)，45 000 r/min轉(zhuǎn)速下穩(wěn)態(tài)精度達(dá)到0.33%以內(nèi)，穩(wěn)態(tài)角度誤差也控制在0.01 rad。

圖10 基于電機(jī)參數(shù)在線修正的HSPMSM系統(tǒng)輸出波形

圖11 改進(jìn)算法輸出誤差情況

圖12給出了45 000 r/min轉(zhuǎn)速下估計(jì)角度與實(shí)際角度對(duì)比波形以及角度誤差情況，角度誤差控制在0.01 rad，高轉(zhuǎn)速下該改進(jìn)后無(wú)位置傳感器算法能夠穩(wěn)定運(yùn)行。圖13為擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器輸出電感辨識(shí)結(jié)果，觀測(cè)器能夠?qū)崟r(shí)觀測(cè)到電機(jī)電感實(shí)際值。

圖12 改進(jìn)算法角度估算波形

圖13 基于EKF在線辨識(shí)的電感在線監(jiān)測(cè)波形

5 結(jié) 語(yǔ)

本文利用基于小信號(hào)模型的穩(wěn)定性分析法研究了基于估計(jì)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下擴(kuò)展反電動(dòng)勢(shì)的無(wú)位置傳感器算法電機(jī)參數(shù)依賴特性，針對(duì)算法高依賴性參數(shù)通過(guò)卡爾曼濾波理論構(gòu)建觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)在線監(jiān)測(cè)，實(shí)時(shí)修正無(wú)傳感器算法模型，避免了全參數(shù)辨識(shí)帶來(lái)的缺秩問(wèn)題，極大地降低了參數(shù)辨識(shí)算法復(fù)雜度。最后，在仿真中驗(yàn)證了無(wú)位置傳感器算法參數(shù)依賴性與改進(jìn)方案的可行性與有效性。