朱林，田政鱗，王正宇，武志剛，龍霏，易楊

(1.華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣州市 510641；2.廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力調(diào)度控制中心，廣州市 510600)

0 引 言

隨著“雙碳”目標(biāo)的提出和落實，中國能源系統(tǒng)將持續(xù)加快清潔低碳轉(zhuǎn)型發(fā)展，預(yù)計到2060年風(fēng)電和光伏發(fā)電量占比將超過60%[1]。與此同時，為實現(xiàn)新能源的跨區(qū)域傳輸和消納，多條大容量高壓直流輸電工程正陸續(xù)投入使用[2]。一方面，基于電力電子變流器的新能源和直流輸電與系統(tǒng)頻率進行解耦，遭受擾動時不能響應(yīng)電網(wǎng)的頻率變化；另一方面，新能源的出力波動和直流輸電的閉鎖故障容易引發(fā)大額功率沖擊。特別是隨著起慣性支撐作用的同步機組逐步被替代，傳統(tǒng)電網(wǎng)將轉(zhuǎn)變?yōu)楦弑壤峭诫娫吹牡蛻T量電力系統(tǒng)，頻率調(diào)控面臨著巨大壓力。

慣量響應(yīng)是系統(tǒng)遭受擾動后頻率動態(tài)響應(yīng)重要的初始階段，低慣量系統(tǒng)在慣量響應(yīng)階段的頻率變化率(rate of change of frequency，RoCoF)通常較高，導(dǎo)致頻率在一次調(diào)頻動作前下降速度過快，容易觸發(fā)低頻減載裝置動作[3-5]。因此，國內(nèi)外學(xué)者提出通過配置快速頻率響應(yīng)(fast frequency response，F(xiàn)FR)資源來改善在慣量響應(yīng)階段的系統(tǒng)頻率特性[6-7]。

然而，當(dāng)前針對慣量響應(yīng)的研究多采用單機系統(tǒng)頻率響應(yīng)(system frequency response，SFR)模型[8-9]，由于忽略了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并假設(shè)全網(wǎng)頻率統(tǒng)一，未能體現(xiàn)出慣量響應(yīng)的空間分布，在分析空間因素對系統(tǒng)慣量響應(yīng)的影響時具有較大的局限性[10]。對此，國內(nèi)外學(xué)者對頻率動態(tài)響應(yīng)的空間特征進行了廣泛討論。文獻(xiàn)[11]通過RoCoF等指標(biāo)構(gòu)造了頻率動態(tài)響應(yīng)的時空分布特征描述矩陣，但尚未對空間分布特征與系統(tǒng)機電動態(tài)行為的耦合特征進行全面論證；文獻(xiàn)[12-13]進一步探討了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、功率擾動位置和風(fēng)電滲透率引起的慣量分布變化對局部慣量中心RoCoF的影響，但缺乏對空間影響因素的分析評價指標(biāo)。目前，頻率動態(tài)響應(yīng)的空間特征還處于定性分析階段，迫切需要在頻率動態(tài)響應(yīng)空間特征的定量化評估方面深入研究。以往，相對增益矩陣(relative gain array，RGA)常被用于量化分析不同F(xiàn)ACTS裝置控制器之間或控制器不同控制回路之間的交互影響[14-17]。近年來，亦有學(xué)者將相對增益矩陣應(yīng)用于控制系統(tǒng)以外的電力系統(tǒng)空間耦合性分析中，如文獻(xiàn)[18-20]基于系統(tǒng)無功功率與母線電壓的傳遞函數(shù)，通過計算相對增益矩陣獲得母線電壓之間的耦合關(guān)系，在劃分電壓控制區(qū)域上取得了不錯的效果，這也為分析電力系統(tǒng)慣量響應(yīng)的空間耦合特性提供了借鑒。

有鑒于此，文章推導(dǎo)多機系統(tǒng)慣量響應(yīng)模型，引入相對增益矩陣的理論方法，采用相對增益作為量化指標(biāo)表征慣量響應(yīng)與不同位置有功擾動之間的耦合程度，分析慣量響應(yīng)的空間耦合特征。最后，以IEEE 39節(jié)點測試系統(tǒng)為例，驗證所提方法的正確性和有效性。

1 考慮空間特征的慣量響應(yīng)建模

1.1 慣量響應(yīng)的空間差異性

目前，電力系統(tǒng)慣量響應(yīng)主要采用時域仿真或基于SFR模型進行分析。時域仿真法通過求解系統(tǒng)的微分代數(shù)方程組模型，計算擾動后各狀態(tài)量的數(shù)值解，具有較高的精度。BPA、PSS/E等電力系統(tǒng)專業(yè)仿真軟件均能提供全狀態(tài)時域仿真功能。

SFR模型忽略網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響，在全網(wǎng)頻率一致的基礎(chǔ)上將系統(tǒng)等值聚合為一個單機帶負(fù)荷模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 SFR模型框圖

其中，Pesys為等值電磁功率；Pmsys為等值機械功率；H∑為等值轉(zhuǎn)子慣性時間常數(shù)；D∑為等值阻尼系數(shù)；ωsys為等值轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。由于對系統(tǒng)進行了等值化簡，SFR模型分析功率事故下電網(wǎng)慣量響應(yīng)情況時具有較高的計算效率，在低頻減載整定方面應(yīng)用廣泛。

然而，隨著電網(wǎng)規(guī)模的擴大和機組的大容量集中接入，慣量響應(yīng)不僅受擾動大小的影響，還與擾動的位置有關(guān)，并體現(xiàn)在頻率變化率和頻率最低點等指標(biāo)的空間差異性中[21-22]。頻率變化率是慣量響應(yīng)的重要指標(biāo)，一方面表征頻率變化的速率，另一方面也解釋了系統(tǒng)頻率變化與系統(tǒng)發(fā)生的事故大小和系統(tǒng)的慣性大小的關(guān)系。RoCoF的計算一般為選擇故障發(fā)生后的100～500 ms內(nèi)[23]，其計算公式如下：

(1)

式中：f為系統(tǒng)頻率；w為系統(tǒng)角速度。

以IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)為例(詳見第4節(jié))，在相同大小功率擾動下，分別采用SFR模型和時域仿真法計算慣量響應(yīng)的頻率變化率，結(jié)果如圖2所示。對比可見，SFR模型不能考慮空間因素影響，而實際電網(wǎng)的頻率變化率隨擾動位置的不同而變化，存在明顯的空間差異性。尤其在低慣量區(qū)域，實際的頻率變化率與SFR模型計算結(jié)果相差較大，如果保護裝置仍按照SFR模型進行整定設(shè)計，可能會造成保護的誤動和拒動[24]。雖然時域仿真法可以詳細(xì)計算慣量響應(yīng)頻率狀態(tài)量的數(shù)值解，可體現(xiàn)空間分布特征，但耗時費力，對模型精度、系統(tǒng)規(guī)模有一定限制。

圖2 慣量響應(yīng)空間差異性

1.2 基于直流潮流的慣量響應(yīng)建模

為快速且準(zhǔn)確地評估功率事故后電力系統(tǒng)的慣量響應(yīng)，文中忽略了無功-電壓的耦合影響，并基于以下假設(shè)對電力系統(tǒng)慣量響應(yīng)進行建模分析[25-27]：

1)系統(tǒng)不存在功角和電壓不穩(wěn)定問題，進而將模型線性化。

2)高壓輸電網(wǎng)電抗遠(yuǎn)大于電阻，系統(tǒng)有功潮流主要由電壓相角決定，忽略電壓幅值變化及發(fā)電機調(diào)壓器的影響。

3)系統(tǒng)慣量響應(yīng)發(fā)生于擾動初始時刻，此時發(fā)電機調(diào)速器尚未作用，忽略發(fā)電機調(diào)速器，采用經(jīng)典發(fā)電機模型。

基于上述假設(shè)，為保留網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并簡化計算，采用直流潮流模型描述系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)方程，經(jīng)線性化后可有：

(2)

式中：ΔPG、ΔPD分別為發(fā)電機、負(fù)荷節(jié)點注入功率變化量列向量；BGG、BGD、BDG和BDD分別為以支路導(dǎo)納建立的節(jié)點導(dǎo)納矩陣的子陣；δ、θ分別為發(fā)電機、負(fù)荷節(jié)點電壓相角變化量列向量。

同時，為與直流潮流網(wǎng)絡(luò)模型保持一致，進一步忽略發(fā)電機定子電阻并假定發(fā)電機內(nèi)電勢和機端電壓維持1 pu恒定，線性化的發(fā)電機轉(zhuǎn)子運動方程為：

(3)

式中：Δδi為發(fā)電機轉(zhuǎn)子角變化量；Δωi為發(fā)電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化量；ω0為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速額定值；ΔPmi為原動機機械功率變化量；ΔPGi為發(fā)電機電磁功率變化量；Di為發(fā)電機阻尼系數(shù)；Mi為發(fā)電機慣性時間常數(shù)。

綜合式(2)與式(3)，可以得到多機系統(tǒng)頻率動態(tài)過程的狀態(tài)矢量方程：

(4)

式中：J=BGG-BGDBDD-1BDG；L=-BGDBDD-1；EN為N階單位矩陣；M為發(fā)電機慣性時間常數(shù)的對角矩陣。

發(fā)生負(fù)荷突變或聯(lián)絡(luò)線有功功率突變等負(fù)荷功率擾動時，功率不平衡量按照同步功率系數(shù)矩陣L分配給各發(fā)電機組，各發(fā)電機組按照分配的功率與自身慣量進行慣量響應(yīng)。由于擾動初始時刻發(fā)電機的功角和轉(zhuǎn)速不發(fā)生突變，有Δδ=0，Δω=0，慣量響應(yīng)初期階段系統(tǒng)內(nèi)各機組頻率變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(5)

與SFR模型相比，基于直流潮流的電力系統(tǒng)慣量響應(yīng)模型保留了電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可以分析功率擾動位置、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和機組慣量大小等空間因素的影響，可以體現(xiàn)慣量響應(yīng)的空間差異性。同時，由于忽略了無功-電壓動態(tài)的耦合影響，重點關(guān)注慣量響應(yīng)的頻率變化和與頻率變化關(guān)系密切的有功功率變化，相比時域仿真可以大幅減少用時，提升分析效率。

2 基于RGA的慣量響應(yīng)分析方法

根據(jù)上述分析，多機系統(tǒng)慣量響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)為多輸入多輸出的系統(tǒng)，受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響，電力系統(tǒng)慣量響應(yīng)模型輸入的功率擾動向量與輸出的慣量響應(yīng)頻率變化率之間存在復(fù)雜的相互作用。

為研究多輸入多輸出(multi-input and multi-output，MIMO)系統(tǒng)控制回路之間耦合程度，BRISTOL于1965年提出相對增益矩陣的理論[28]。如圖3所示的m輸入n輸出系統(tǒng)中，輸入uj與輸出yi間的相對增益λij可定義為開環(huán)增益與閉環(huán)增益的比值：

圖3 多輸入多輸出系統(tǒng)框圖

(6)

式中：分子為其他控制回路開路，只改變輸入量uj時，uj到y(tǒng)i通道的靜態(tài)開環(huán)增益；分母為其他輸出量yi(k≠i)均不變時，uj到y(tǒng)i通道的靜態(tài)閉環(huán)增益。

MIMO系統(tǒng)的相對增益矩陣通常通過式(7)所示的矩陣運算方法計算得到：

Λ=G(0)?(G(0)-1)T

(7)

式中：G(0)為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的靜態(tài)增益矩陣；上標(biāo)T為矩陣的轉(zhuǎn)置；運算符?為矩陣的Hadamard乘積。

當(dāng)n=m時，系統(tǒng)為方形系統(tǒng)，且相對增益矩陣為方陣，G(0)-1為G(0)的逆矩陣；當(dāng)n≠m時，系統(tǒng)為非方系統(tǒng)，相對增益矩陣為非方矩陣，G(0)-1為G(0)的廣義逆矩陣。

在分析多個控制回路之間的相互作用時，相對增益矩陣Λ具有以下主要特性[29]：

1)RGA任意行的元素之和等于1，即

(8)

2)RGA任意列的元素之和介于0到1之間，即

(9)

3)RGA中相對增益λij的大小反映了輸入uj與輸出yi之間的耦合程度，相對增益λij越接近1，則該通道耦合程度越大。

與分析控制系統(tǒng)中多個控制回路之間的相互作用類似，使用相對增益矩陣來量化評估慣量響應(yīng)的空間耦合特征。根據(jù)非方系統(tǒng)相對增益矩陣的定義，以式(5)中的[M-1M-1L]作為傳遞函數(shù)的靜態(tài)增益矩陣，計算m機n節(jié)點系統(tǒng)慣量響應(yīng)頻率變化率與有功功率擾動之間的相對增益矩陣，如下所示：

Λm×(m+n)=[M-1M-1L]?[[M-1M-1L]-1]T

(10)

為便于分析不同對象之間的耦合特性，將相對增益矩陣Λm×(m+n)進行分塊，如圖4所示。

圖4 相對增益矩陣

其中，Rm×m描述了發(fā)電機與原動機輸出功率擾動之間的耦合關(guān)系，Rm×1描述了某一節(jié)點功率擾動與各發(fā)電機的耦合關(guān)系，R1×n描述了某一發(fā)電機與各節(jié)點功率擾動的耦合關(guān)系。

3 慣量響應(yīng)空間耦合特征分析

3.1 原動機空間耦合特征

遭受原動機功率擾動后的慣量響應(yīng)階段，系統(tǒng)電磁功率分布不發(fā)生突變，原動機功率擾動帶來的功率不平衡量僅作用于該發(fā)電機組，并引起其自身發(fā)生慣量響應(yīng)，其他發(fā)電機組不發(fā)生慣量響應(yīng)。

相應(yīng)的，此時原動機功率擾動與發(fā)電機慣量響應(yīng)之間的相對增益矩陣為對角矩陣，如式(11)所示。根據(jù)相對增益矩陣?yán)碚?，對角元素表示該原動機功率擾動僅與該發(fā)電機自身存在強耦合關(guān)系，對角線外的零元素表明該原動機功率擾動與其他機組的慣量響應(yīng)無耦合關(guān)系。

Rm×m=diag(λ11,λ22,…,λmm)

(11)

3.2 發(fā)電機空間耦合特征

對于發(fā)電機組而言，相對增益矩陣行向量元素的大小可以表征該發(fā)電機與各負(fù)荷節(jié)點之間的耦合程度，如式(12)所示。遭受相同大小的功率擾動時，擾動發(fā)生節(jié)點對應(yīng)的相對增益越大，發(fā)電機組慣量響應(yīng)頻率變化率的幅值越大，體現(xiàn)了該發(fā)電機組慣量響應(yīng)的空間耦合特征。

(12)

低慣量發(fā)電機組抵御功率擾動引起頻率變化的能力較弱，是系統(tǒng)頻率穩(wěn)定的薄弱區(qū)域。當(dāng)擾動發(fā)生在與慣性薄弱區(qū)域強耦合的負(fù)荷節(jié)點時，低慣量發(fā)電機組容易產(chǎn)生較大的頻率跌落速度，導(dǎo)致一次調(diào)頻響應(yīng)前頻率跌落幅值較大。

因此，可以借助相對增益矩陣識別低慣量發(fā)電機組的強耦合區(qū)域，通過在該區(qū)域配置FFR資源，通過快速的有功功率注入以減緩擾動后頻率的跌落速度，避免慣性薄弱區(qū)域出現(xiàn)較大的頻率跌落幅值而引發(fā)低頻率減載動作。與SFR模型相比，借助相對增益矩陣考慮空間耦合特征，可以提高FFR資源的運行效率，進而降低投資成本。

3.3 負(fù)荷節(jié)點空間耦合特征

對于負(fù)荷節(jié)點而言，相對增益矩陣列向量元素的大小可以表征該負(fù)荷節(jié)點與各發(fā)電機之間的耦合程度。由于相對增益矩陣的行向量之和均為1，在縱向比較列向量表示的負(fù)荷擾動的耦合情況時，需要對相對增益按照慣量大小進行修正，如下所示：

R′m×1=M-1×[λi,1…λi,m]，i∈[m+1,m+n]

(13)

修正后矩陣列向量中元素和越小表明該節(jié)點與發(fā)電機組的耦合程度越小，即遭受相同大小的功率擾動時，電力系統(tǒng)慣量響應(yīng)的整體頻率變化率越小，系統(tǒng)對該節(jié)點的慣量支撐能力越強，體現(xiàn)了負(fù)荷節(jié)點的慣量響應(yīng)空間耦合特征。

風(fēng)電、光伏等新能源出力具有較強的隨機性、波動性和間歇性，是電網(wǎng)常見的功率擾動源，給電網(wǎng)頻率穩(wěn)定帶來挑戰(zhàn)。借助相對增益矩陣可以識別出系統(tǒng)慣量支撐能力較強的節(jié)點，選擇將其作為新能源的接入位置，有助于減少功率擾動對系統(tǒng)頻率穩(wěn)定的影響，降低系統(tǒng)一次調(diào)頻壓力，提高系統(tǒng)對新能源的消納水平。

4 仿真驗證

4.1 仿真系統(tǒng)介紹

以IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)為例，驗證所提基于相對增益矩陣的慣量響應(yīng)空間耦合特征分析方法的正確性與有效性。該系統(tǒng)包含10臺同步機組、34條線路和39個負(fù)荷節(jié)點，系統(tǒng)電壓等級為345 kV，基準(zhǔn)容量為100 MV·A，如圖5所示，網(wǎng)絡(luò)和元件參數(shù)詳見文獻(xiàn)[29]。

圖5 IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)

4.2 原動機空間耦合特征仿真分析

為驗證發(fā)電機慣量響應(yīng)與原動機功率擾動之間的耦合關(guān)系，以6號發(fā)電機組為例，在時域仿真中使其原動機機械功率突減至潮流穩(wěn)態(tài)值的90%，計算各發(fā)電機組慣量響應(yīng)初始階段的RoCoF，并與相對增益矩陣子矩陣Rm×m元素進行對比，結(jié)果如圖6所示。

圖6 原動機空間耦合特性

對比可見，除6號發(fā)電機組外，其余發(fā)電機的RoCoF和子矩陣Rm×m元素幾乎為0。仿真結(jié)果表明，在慣量響應(yīng)初始階段，僅施加了原動機功率擾動的發(fā)電機自身頻率發(fā)生變化，其余發(fā)電機組頻率無明顯變化，原動機功率擾動下的慣量響應(yīng)相互獨立，體現(xiàn)出該原動機慣量響應(yīng)的空間耦合特征。

4.3 發(fā)電機空間耦合特征仿真分析

為驗證發(fā)電機慣量響應(yīng)與不同負(fù)荷功率擾動之間的耦合關(guān)系，以1號發(fā)電機為例，在時域仿真中分別對各負(fù)荷節(jié)點施加50 MW的有功功率突增量，計算擾動后1號發(fā)電機組慣量響應(yīng)階段的RoCoF，并與RGA子矩陣R1×n元素進行對比，結(jié)果如圖7所示。

圖7 發(fā)電機空間耦合特性

仿真結(jié)果表明，發(fā)電機慣量響應(yīng)的頻率變化率隨著負(fù)荷擾動發(fā)生位置的變化而不同。RGA子矩陣R1×n元素越大，表征發(fā)電機與相應(yīng)負(fù)荷節(jié)點的耦合程度越大，發(fā)電機慣量響應(yīng)的RoCoF也就越大，體現(xiàn)出該發(fā)電機組慣量響應(yīng)的空間耦合特征。

4.4 負(fù)荷節(jié)點空間耦合特征仿真分析

為驗證負(fù)荷功率擾動與不同發(fā)電機慣量響應(yīng)之間的耦合關(guān)系，根據(jù)式(13)計算的修正后RGA子矩陣R′m×1列元素之和，如圖8(a)所示。其中，1、13、22、31、39等節(jié)點的RGA子矩陣R′m×1列元素較小，可認(rèn)為是系統(tǒng)慣量支撐較強的節(jié)點。同時，在時域仿真中分別對不同負(fù)荷節(jié)點施加50 MW的有功功率突增量，計算擾動后各發(fā)電機組慣量響應(yīng)的RoCoF，結(jié)果如圖8(b)所示。

圖8 負(fù)荷節(jié)點的空間耦合特性

對比可見，在發(fā)生相同大小的負(fù)荷功率擾動下，當(dāng)擾動位置為通過相對增益矩陣識別的慣量支撐較強的節(jié)點時，系統(tǒng)的RoCoF整體更小，此時系統(tǒng)具有更好的頻率穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，RGA子矩陣R′m×1體現(xiàn)了負(fù)荷節(jié)點對慣量響應(yīng)的空間耦合特征，可用于識別系統(tǒng)慣量支撐較強的負(fù)荷節(jié)點，有助于指導(dǎo)新能源的接入位置選擇。

5 結(jié) 論

針對電力系統(tǒng)慣量響應(yīng)的空間特征進行研究，提出了一種基于相對增益矩陣的慣量響應(yīng)空間耦合特征分析方法，采用慣量響應(yīng)頻率變化率與功率擾動之間的相對增益作為評價兩者之間耦合程度的量化指標(biāo)，直觀展現(xiàn)了慣量響應(yīng)在空間位置上的耦合特征，并在IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)中驗證了所提方法的正確性和有效性。

借助相對增益可以將空間因素納入到低慣量系統(tǒng)頻率穩(wěn)定調(diào)控中，指導(dǎo)新能源接入位置選擇和FFR資源優(yōu)化配置與整定，對于提高低慣量系統(tǒng)的頻率穩(wěn)定性具有重要意義。除慣量響應(yīng)階段外，相對增益矩陣在更長時間尺度上的頻率動態(tài)響應(yīng)過程分析中得到廣泛應(yīng)用，還需進行進一步深入研究。