王曉光，尚永爽，杜 軍，賈文銅，史靜平，呂永璽

(1.空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院，陜西 西安 710038；2.中國人民解放軍93184部隊(duì)，北京 100076；3.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710072)

0 引言

隨著現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)對于機(jī)動(dòng)性、安全性和可靠性要求的不斷提高，越來越多的飛機(jī)舵面可作為主操縱系統(tǒng)的控制面控制飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)[1-2]。對于給定的期望三軸力矩，多操縱面飛機(jī)可以有多種組合偏轉(zhuǎn)形式實(shí)現(xiàn)相同的控制目標(biāo)，針對具有多操縱面配置的飛行器開展多操縱面控制分配技術(shù)的研究成為一種必然。

多操縱面布局飛機(jī)的控制問題本質(zhì)上是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，如巡航阻力最小、起飛升力最大等[3-4]。目前可用于線性過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制分配優(yōu)化求解的方法可歸納為三類[5-6]：一是廣義逆類分配方法，主要包括：偽逆法、加權(quán)偽逆法、再分配偽逆法、多級偽逆法等；二是幾何類分配方法，主要包括：串接鏈法、直接分配法和對邊搜索法等；三是數(shù)學(xué)規(guī)劃類方法，包括：面搜索法、不動(dòng)點(diǎn)迭代法、有效集法、基于頻域加權(quán)的二次規(guī)劃法等。

魯棒性是反映控制系統(tǒng)性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)[7]。為評估不同控制分配方案的優(yōu)劣，國內(nèi)外學(xué)者經(jīng)常將系統(tǒng)的魯棒性作為指標(biāo)來進(jìn)行控制分配的效果評估。文獻(xiàn)[8]從控制系統(tǒng)魯棒性角度出發(fā)，針對多操縱面飛機(jī)氣動(dòng)效能的交叉耦合不確定性，提出了一種基于混合優(yōu)化的魯棒控制分配策略，建立了魯棒混合優(yōu)化控制分配模型。文獻(xiàn)[9]針對具有冗余執(zhí)行機(jī)構(gòu)的過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在考慮控制效率不確定性的條件下，提出了一種基于魯棒優(yōu)化理論的控制分配算法，有效降低了控制效率不確定性的影響，使分配結(jié)果更為合理，一定程度上提高了控制分配算法的魯棒性，改善了飛控系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)[10]基于廣義逆控制的飛控系統(tǒng)，分析了控制系統(tǒng)的不確定性以及在控制效能矩陣存在不確定性時(shí)的飛控系統(tǒng)魯棒性問題。文獻(xiàn)[11]針對一類具有不確定時(shí)變參量的線性參變過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制分配問題，考慮系統(tǒng)的不確定參量擾動(dòng)和執(zhí)行器物理約束，建立了含有時(shí)變不確定因子的控制分配優(yōu)化模型，并根據(jù)魯棒優(yōu)化思想，采用矢量變換技術(shù)處理時(shí)變不確定因子，得到了一種基于有約束錐二次凸優(yōu)化模型的魯棒控制分配算法，實(shí)現(xiàn)對過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)偽控指令的在線優(yōu)化分配。文獻(xiàn)[12]針對無人機(jī)廣泛采用先進(jìn)操縱面帶來的控制分配問題，提出了基于閉環(huán)廣義逆的魯棒控制分配新方案，在基于廣義逆的控制分配方法基礎(chǔ)上，加入了控制量對應(yīng)狀態(tài)的反饋，分析了該方案的可行性。同時(shí)，魯棒控制分配方法也在國內(nèi)外航天、航海等其他領(lǐng)域有所應(yīng)用[13-15]。

然而，上述文獻(xiàn)均是針對不同的控制分配方法，從不同的角度出發(fā)評估某一特定控制分配方法的魯棒性，很難適用于其他控制分配方法。因此，有必要構(gòu)建一種通用的多操縱面飛機(jī)控制分配魯棒性評估方法，為過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制分配效果提供較為統(tǒng)一的評價(jià)準(zhǔn)則?；诖怂悸?，本文給出了一種通用的基于蒙特卡洛方法的控制分配魯棒性評估框架；建立了過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制分配方法魯棒性評估函數(shù)；對偽逆法、串接鏈法和面搜索法三種典型的分配方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，并給出了結(jié)論。

1 魯棒性評估思路和框架

對飛機(jī)飛行品質(zhì)的評估是基于飛機(jī)飛行控制律進(jìn)行的，評估需考慮的不確定性包括：質(zhì)量數(shù)據(jù)的不確定性、系統(tǒng)輸入量的不確定性、氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫的不確定性等。其一般實(shí)現(xiàn)過程：在考慮上述不確定性的情況下，設(shè)計(jì)出控制律之后，通過隨機(jī)模擬的方法對飛機(jī)的一些特征量(氣流角、位置、被控量的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量等)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，來獲得控制律在不確定參數(shù)下魯棒性能的量化值。但過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性的研究，有別于已有控制律的飛行品質(zhì)評估[16]。由于過驅(qū)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目的是將期望的三軸力矩系數(shù)合理地分配到各個(gè)舵面，因此在研究過驅(qū)系統(tǒng)的參數(shù)不確定時(shí)只需考慮舵面效率的不確定性。對于線性過驅(qū)系統(tǒng)分配方法的魯棒性研究是基于控制效能矩陣中參數(shù)的不確定性。

本文針對過驅(qū)系統(tǒng)分配方法進(jìn)行魯棒性評估的基本思想：考慮舵面效率的不確定性范圍，根據(jù)魯棒性要求的精度和置信度確定最小仿真次數(shù)；基于蒙特卡洛方法[17]進(jìn)行隨機(jī)模擬仿真獲得實(shí)際三軸力矩系數(shù)，建立過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性的評估函數(shù)；針對不同的分配方法求得魯棒性能量化值，進(jìn)而可以比較分析各個(gè)方法魯棒性的優(yōu)劣。

進(jìn)行過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性評估的具體步驟如下：

1) 確定控制效能矩陣中參數(shù)的不確定性范圍；

2) 由給定精度和置信因子確定最小仿真次數(shù)，并且產(chǎn)生滿足分布的控制效能矩陣參數(shù)的隨機(jī)數(shù)；

3) 建立過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)；

4) 進(jìn)行多次仿真，獲得仿真結(jié)果后進(jìn)行參數(shù)概率統(tǒng)計(jì)分析，依據(jù)魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)驗(yàn)證控制分配算法的魯棒性；

5) 比較不同控制分配方法的魯棒性，為控制分配方法的選擇提供依據(jù)。

過驅(qū)系統(tǒng)分配方法的魯棒性研究驗(yàn)證過程如圖1所示。

圖1 基于蒙特卡洛的過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性驗(yàn)證框圖Fig.1 Robustness verification diagram of overdrive system’s control allocation method based on Monte-Carlo

2 過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)

2.1 相關(guān)概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

2.1.1 3σ原則

對于分布為N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x，數(shù)值分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.997 3，可以認(rèn)為正態(tài)隨機(jī)變量的取值在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)間內(nèi)，這就是所謂的3σ原則。在參數(shù)不確定性建模時(shí)，采用3σ原則能保證構(gòu)成參數(shù)不確定項(xiàng)的隨機(jī)變量基本可以限定在3σ分布范圍內(nèi)，從而避免因?yàn)閰?shù)值出界而導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.1.2 最小仿真次數(shù)確定方法

2.1.3 均值和方差的估計(jì)值計(jì)算

(1)

當(dāng)樣本數(shù)量足夠多時(shí)，樣本均值的置信區(qū)間為：

(2)

2.2 魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)的建立

過驅(qū)系統(tǒng)分配方法的實(shí)質(zhì)是按照一定的指標(biāo)要求將期望的三軸力矩系數(shù)合理地分配到各個(gè)舵面上去，其最基本的要求是分配系統(tǒng)的實(shí)際三軸力矩系數(shù)能夠跟蹤上期望的三軸力矩系數(shù)，如圖2所示。

圖2 分配系統(tǒng)的基本框圖Fig.2 Basic block diagram of the allocation system

對于過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性的評估也是針對實(shí)際三軸力矩系數(shù)和期望三軸力矩系數(shù)之間的差別來入手。對于給定的三軸期望力矩系數(shù)，在控制效能矩陣參數(shù)存在不確定性的情況下進(jìn)行N次仿真后，可求出實(shí)際三軸力矩系數(shù)的均值和方差值，并且可以確定均值相應(yīng)的置信區(qū)間，根據(jù)這些統(tǒng)計(jì)信息便可以評估在給定的三軸期望力矩系數(shù)下分配方法的魯棒能力。

具體在仿真驗(yàn)證過程中，采取下式所示的性能評估函數(shù)

(3)

式(3)中，Vcl、Vcm、Vcn分別為實(shí)際的滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、實(shí)際的俯仰力矩系數(shù)和實(shí)際的偏航力矩系數(shù)；Vdcl、Vdcm、Vdcn分別為期望的滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、期望的俯仰力矩系數(shù)和期望的偏航力矩系數(shù)；k是評估指標(biāo)系數(shù)，是一個(gè)無量綱量，它反映了評估函數(shù)對實(shí)際輸出的力矩系數(shù)和期望的力矩系數(shù)二者之間的差別要求。k的選用原則是結(jié)合飛機(jī)舵面效率的不確定性，以盡可能清晰、準(zhǔn)確地體現(xiàn)控制分配方法的魯棒性。如果指定了k的值，則可以在仿真中記錄滿足性能評估標(biāo)準(zhǔn)要求的次數(shù)n，顯然，0≤n≤N。n的大小代表了在評估指標(biāo)系數(shù)k下分配方法的魯棒性，n值越大則說明在評估指標(biāo)系數(shù)k下該分配方法的魯棒性越強(qiáng)，反之亦然。因此控制分配方法魯棒性的優(yōu)劣還可以表現(xiàn)在累積頻數(shù)曲線中。

3 魯棒性驗(yàn)證

一般來說，線性過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可描述為：假設(shè)控制變量為u(t)∈Rm1，期望的虛擬變量是v(t)∈Rm2，線性過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的分配問題就是在給定v(t)及映射Be:Rm1→Rm2(m1>m2)的情況下，求解不定方程Beu(t)=v(t)，使u(t)在不超出約束Ω的情況滿足一定的性能指標(biāo)。

從數(shù)學(xué)描述上看，線性過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的分配求解問題是一個(gè)受約束的線性方程組求解問題，由于控制變量的維數(shù)大于虛擬變量的維數(shù)，分配問題的解有三種情況：多解、唯一解、無解。從數(shù)學(xué)映射關(guān)系上分析，線性過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的分配問題求解是根據(jù)映射Be:Rm1→Rm2(m1>m2)找到一種反映射，使解不超出約束；并且這種反映射還可能包含其他系統(tǒng)性能指標(biāo)。這些指標(biāo)在保證等式約束Beu(t)=v(t)的同時(shí)，還使線性過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的分配求解與工程設(shè)計(jì)的需求相匹配。

以Admire多操縱面飛機(jī)為例，在馬赫數(shù)為0.4，高度為3 000 m的狀態(tài)點(diǎn)下得到控制效能矩陣：

將Be作為標(biāo)稱效能陣，同時(shí)選取精度ε=0.05，置信因子α=0.04，結(jié)合最小仿真次數(shù)的計(jì)算公式，得到最小仿真次數(shù)Ns≥782.4，故可取仿真次數(shù)N=800，對于控制效能矩陣中的任意參數(shù)bij，設(shè)定每個(gè)舵面舵效值的不確定性為50%。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行控制分配方法魯棒性評估驗(yàn)證，評估驗(yàn)證過程中涉及控制分配方法的具體步驟詳見文獻(xiàn)[18]。

3.1 偽逆分配方法的魯棒性評估

給定期望的三軸力矩系數(shù)：

vd=[0.03 0.3 -0.03]。

(4)

進(jìn)行N次蒙特卡洛仿真后得到偽逆法對應(yīng)的實(shí)際無量綱三軸力矩系數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 控制效能矩陣不確定時(shí)的偽逆法三軸力矩系數(shù)Fig.3 Triaxial torque coefficients of pseudo inverse method for uncertain control efficiency matrix

統(tǒng)計(jì)得到實(shí)際三軸力矩系數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，并求其對應(yīng)的樣本均值置信區(qū)間，結(jié)果如表1所示。

表1 偽逆法仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)Tab.1 Simulation result statistics for pseudo inverse method

結(jié)合圖3和表1來看，在舵面效率存在50%的不確定性時(shí)，通過蒙特卡洛仿真驗(yàn)證可知，實(shí)際的三軸力矩系數(shù)均在期望三軸力矩系數(shù)附近，偽逆法對于舵效的不確定性具有一定的魯棒性。

偽逆分配法考慮控制效能矩陣不確定時(shí)的累積頻數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 控制效能矩陣不確定時(shí)的偽逆法累積頻數(shù)曲線Fig.4 Frequency accumulating curve of pseudo inverse method for uncertain control efficiency matrix

考慮舵效值的50%不確定性，結(jié)合圖4可知，當(dāng)評估指標(biāo)系數(shù)k=0.5時(shí)，達(dá)到指標(biāo)的仿真次數(shù)為752，也就是說此期望狀態(tài)下對于控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，偽逆法得到的實(shí)際三軸力矩系數(shù)值與期望三軸力矩系數(shù)之差有94%的概率不超過期望三軸力矩系數(shù)的一半。

3.2 串接鏈分配方法的魯棒性評估

給定期望的三軸力矩系數(shù)vd不變，進(jìn)行N次蒙特卡洛仿真后得到串接鏈法對應(yīng)的實(shí)際無量綱三軸力矩系數(shù)曲線如圖5所示。

圖5 控制效能矩陣不確定時(shí)的串接鏈法三軸力矩系數(shù)Fig.5 Triaxial torque coefficients of daisy chain method for uncertain control efficiency matrix

統(tǒng)計(jì)N次蒙特卡洛仿真后實(shí)際三軸力矩系數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，求得其對應(yīng)的均值置信區(qū)間，如表2所示。

表2 串接鏈法仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)Tab.2 Simulation result statistics for daisy chain method

結(jié)合圖5和表2中數(shù)據(jù)來看，在舵面效率存在50%的不確定性時(shí)，同偽逆法相比，串接鏈法均值離期望力矩系數(shù)較遠(yuǎn)，且期望的三軸力矩系數(shù)在均值置信區(qū)間之外，說明仿真得到的力矩系數(shù)與期望力矩系數(shù)差別較大；標(biāo)準(zhǔn)差總體上比偽逆法大，說明仿真結(jié)果分布較為分散。因此，從仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析，可以認(rèn)為該方法在舵面效率存在50%的不確定性時(shí)魯棒性比偽逆法差。

串接鏈分配方法考慮控制效能矩陣不確定時(shí)的累積頻數(shù)曲線如圖6所示。

圖6 控制效能矩陣不確定時(shí)的串接鏈法累積頻數(shù)曲線Fig.6 Frequency accumulating curve of daisy chain method for uncertain control efficiency matrix

考慮舵效值的50%不確定性，結(jié)合圖6可知，當(dāng)k=0.5時(shí)，此期望狀態(tài)下對于所有的控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，串接鏈法達(dá)到指標(biāo)的仿真次數(shù)為679，也就是說此期望狀態(tài)點(diǎn)下對于控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，串接鏈法得到的實(shí)際三軸力矩系數(shù)值與期望三軸力矩系數(shù)之差有84.88%的概率不超過期望三軸力矩系數(shù)的一半?？傮w來說，串接鏈法對于舵效不確定性的魯棒性比偽逆法差。

3.3 面搜索分配方法的魯棒性評估

給定期望的三軸力矩系數(shù)vd不變。進(jìn)行N次蒙特卡洛仿真后得到面搜索法對應(yīng)的實(shí)際無量綱三軸力矩系數(shù)曲線如圖7所示。

圖7 控制效能矩陣不確定時(shí)的面搜索法三軸力矩系數(shù)Fig.7 Triaxial torque coefficients of surface search method for uncertain control efficiency matrix

統(tǒng)計(jì)N次蒙特卡洛仿真后實(shí)際三軸力矩系數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，并求其對應(yīng)的均值置信區(qū)間如表3所示。

表3 面搜索法仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)Tab.3 Simulation result statistics for surface search method

結(jié)合圖7和表3來看，在舵面效率存在50%的不確定性時(shí)，通過蒙特卡洛仿真驗(yàn)證可知，面搜索法計(jì)算得到的三軸力矩系數(shù)均值在期望三軸力矩系數(shù)附近，且期望的三軸力矩系數(shù)均在均值置信區(qū)間之內(nèi)，說明面搜索法仿真得到的力矩系數(shù)與期望力矩系數(shù)差別不大，面搜索法對于舵效的不確定性具有一定的魯棒性。但該方法的仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)中標(biāo)準(zhǔn)差總體上稍大，說明該方法的仿真結(jié)果分布較散。

考慮控制效能矩陣不確定時(shí)的累積頻數(shù)曲線如圖8所示。

圖8 控制效能矩陣不確定時(shí)的面搜索法累積頻數(shù)曲線Fig.8 Frequency accumulating curve of surface search method for uncertain control efficiency matrix

考慮舵效值的50%不確定性，結(jié)合圖8可知，k=0.5時(shí)，此期望狀態(tài)下對于所有的控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，面搜索法達(dá)到指標(biāo)的仿真次數(shù)為758，也就是說此期望狀態(tài)點(diǎn)下對于控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，面搜索法得到的實(shí)際三軸力矩系數(shù)值與期望三軸力矩系數(shù)之差有94.75%的概率不超過期望三軸力矩系數(shù)的一半，優(yōu)于偽逆法和串接鏈法。

總體來說，通過綜合對比仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)和累積頻數(shù)曲線可以發(fā)現(xiàn)：與前兩種方法相比較，面搜索方法的魯棒性最強(qiáng)。究其原因在于面搜索法的分配效率最高，在分配時(shí)能夠最大限度達(dá)到轉(zhuǎn)矩可達(dá)集邊界，進(jìn)而當(dāng)控制效能矩陣存在不確定時(shí)能夠體現(xiàn)較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)論

本文提出一種多操縱面飛機(jī)控制分配的魯棒性評估方法，在建立魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上，基于蒙特卡洛方法，進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算仿真，對偽逆、串接鏈和面搜索三種控制分配方法進(jìn)行了魯棒性評估。仿真結(jié)果表明，該方法可以有效實(shí)現(xiàn)控制分配方法的魯棒性評估，具有較好的通用性和較高的評估準(zhǔn)確度，能夠?yàn)榭刂品峙涞男阅茉u估提供有效的技術(shù)支撐和參考。仿真結(jié)果顯示，在控制效能矩陣存在50%不確定性的情形下，面搜索法的魯棒性能最好，偽逆法次之，串接鏈法的魯棒性能最差。