余云燕,孔嘉樂,陳進浩,付艷艷,李 盛

(1.蘭州交通大學土木工程學院,甘肅 蘭州 730070;2.中鐵西北科學研究院有限公司,甘肅 蘭州 730000)

0 引言

變截面梁在工程中應用廣泛,如箱型變截面橋梁、變截面橋墩、海上風機塔筒、變截面水塔等。其中,海上風機與水塔在進行力學分析時,通常簡化為部分埋入單樁頂端帶有質量塊的力學模型。針對這種穩(wěn)定性較差的結構形式,應著重分析其動力特性。橫向自振頻率是反映結構動力特性的重要物理量,而變截面梁的振動方程是復雜的高階變系數(shù)微分方程,除個別結構能求得解析解外[1],大部分結構的直接解析求解目前還做不到,因此需尋求適當方法獲得變截面梁振動方程的精確解。

針對變截面梁振動方程的求解問題,國內外學者開展了許多研究。Ece等[2]將變截面簡支梁振動方程轉化為空間坐標系下普通微分方程,獲得了頻率方程。Tong等[3]將變截面梁等效為多段等截面微梁段,獲得Timoshenko階梯梁的振動方程近似解。Abrate[4]將變截面梁運動方程轉化為等截面梁的運動方程,獲得變截面梁近似自振頻率。張廷芳[5]對帶有變截面梁組合結構自振特性的計算方法進行了研究,建議用“變梁系數(shù)”計算變截面梁的單元剛度,用逐步降階法凝聚總剛度陣。錢波等[6]利用有限差分法研究了變截面簡支梁橫向振動的自振頻率。馮志剛等[7]通過構造矩形變截面梁動力單元和傳遞函數(shù)法,采用攝動法和Laplace變換獲得梁振動頻率的各階漸進解。徐騰飛等[8]采用Frobeniu方法求解變截面梁的自由振動問題,但局限于特定截面的變化形式。針對完全彈性支承,閆維明等[9]基于Bernoulli-Euler梁理論對直接模態(tài)攝動方法進行改進,建立了求解完全彈性支承變截面梁振動方程的半解析方法。

以上對變截面梁的研究大多基于Bernoulli-Euler梁理論與經典Timoshenko梁理論。經典Timoshenko梁理論以彎曲變形來表達轉動慣量,忽略了剪切變形帶來的影響,故適用于彎曲變形為主的細長梁。針對長度較小的深梁,陳镕等[10]認為剪切變形不可忽視,主張以彎曲變形與剪切變形共同描述轉動慣量,并提出修正Timoshenko梁理論的運動方程,研究修正帶來的影響。夏呈[11]論證了修正Timoshenko梁理論只存在一個頻譜,解決了經典Timoshenko梁理論存在兩個頻譜的爭議問題[12-13]。陳治江[14]采用動力剛度法研究修正Timoshenko梁在有裂紋情況下動力特性的變化。陳镕等[15]研究了集中質量對無約束修正Timoshenko梁的正碰撞所引起的瞬態(tài)沖擊響應。

經典Timoshenko梁理論中存在兩組截止頻率、相速度和群速度,其中一組為運算過程中數(shù)學計算的產物,沒有實際意義,而修正Timoshenko梁理論中僅存在一組截止頻率、相速度和群速度,物理意義更加清晰。依據(jù)修正Timoshenko梁理論求得的等截面梁自振頻率的結果偏小[10],給結構動力設計提出了更高要求。修正Timoshenko梁理論考慮了剪切變形引起的轉動慣量,而常見的變截面結構如橋墩、水塔等都具有短粗的特點,類比建筑結構中的深梁,其剪切變形不可忽略,故求解結構自振頻率時應用修正Timoshenko梁理論更加適合。為此,本文基于回傳射線矩陣法,將截面半徑線性變化的變截面梁(即圓臺)等效為多段等截面等效梁,將修正Timoshenko梁理論應用于變截面梁自振頻率的求解中;通過具體算例,與經典Timoshenko梁理論進行對比,總結分析該修正對變截面梁自振頻率的影響。

1 變截面修正Timoshenko梁回傳射線矩陣法的基本原理

變截面梁(即圓臺)如圖1(a)所示,其長度為L,橫截面半徑隨軸向坐標線性變化。假設材料均質、小變形,基于分段思想,將該變截面梁(即圓臺)均勻分為n段,各分段長度均為l=L/n,且分段數(shù)足夠多。每一分段選用所截取圓臺的中位線所在截面作為該段的等效截面,如圖1(b)所示。對分段等截面等效梁進行節(jié)點編號,以英文字母或數(shù)字表示節(jié)點,以兩個字母或兩個數(shù)字表示連接兩個節(jié)點的分段梁編號,將與分段梁有關的物理量放在上標,對該等效梁建立總體坐標系(XOY)。對每一分段梁j(j+1),引入兩組笛卡爾局部坐標系:(x,y)j(j+1)和(x,y)(j+1)j;坐標軸正方向如圖1(c)所示,其原點分別在j點和j+1點,位移與剪力的正方向與局部坐標系的正方向相同,轉角和彎矩正方向符合右手螺旋法則。兩組局部坐標系的關系為xj(j+1)=l-x(j+1)j,yj(j+1)=-y(j+1)j?？傮w坐標系和局部坐標系均為右手坐標系。經過分段處理后,每一段等效梁較粗,應按深梁考慮,且考慮剪切變形對轉動慣量的影響。

圖1 變截面梁Fig.1 Variable cross-section beam

基于修正Timoshenko梁理論,在局部坐標系下,第j段等效梁的橫向振動方程為:

(1)

剪力、彎矩和轉角可以表示為:

(2)

引入Fourier變換對,對式(1)進行Fourier變換并求解得:

a2(ω)eik2jx+d2(ω)e-ik2jx

(3)

g2j(ω)a2(ω)eik2jx+g2j(ω)d2(ω)e-ik2jx

(4)

式中:“^”表示頻域中的變量;ω為自振圓頻率;a1(ω)、a2(ω)表示待定入射波波幅;d1(ω)、d2(ω)表示待定出射波波幅;g1j、g2j為剪切變形與彎曲變形的比值;k1j、k2j為波數(shù),由下式計算得到:

(5)

對應于波數(shù)k1j,2j,υs與υb的比值g1j,2j為:

(6)

總撓度υ為

[1+g2j(ω)][a2(ω)eik2jx+d2(ω)e-ik2jx]

(7)

剪力、彎矩和轉角在頻域中的表達式為:

k2jg2j[a2(ω)eik2jx-d2(ω)e-ik2jx]}

(8)

(9)

ik2j[a2(ω)eik2jx-d2(ω)e-ik2jx]

(10)

在頻域中對所有節(jié)點建立力平衡和位移協(xié)調條件,以邊節(jié)點和中間節(jié)點j為例[圖1(d)],有:

邊節(jié)點1

(11-1)

邊節(jié)點n+1

(11-2)

中間節(jié)點j

(11-3)

將式(7)～(10)代入式(11),整理合并為

d1=S1a1
dj=Sjaj
dn+1=Sn+1an+1

(12)

式中:

(13-1)

(13-2)

(13-3)

式(13)中:a1、aj、an+1表示節(jié)點1、節(jié)點j和節(jié)點n+1的局部入射波波幅向量;d1、dj、dn+1表示節(jié)點1、節(jié)點j和節(jié)點n+1的局部出射波波幅向量；S1、Sj、Sn+1表示節(jié)點1、節(jié)點j和節(jié)點n+1的局部散射矩陣。

鬼子隊長對燈草老爹的解釋深信不疑，豎起大拇指說：“你的老頭，專家的有！”回轉身，一把揪住刁德恒的衣領，“刁，你的八格牙路，死啦死啦的！”

將所有節(jié)點的局部出射波波幅向量dj和局部入射波波幅向量aj組集到總體矩陣d和a中,有

d=Sa

(14)

式中:d和a表示總體出射波波幅向量和總體入射波波幅向量;S表示總體散射矩陣。

a=PUd

(15)

聯(lián)立求解式(14)和式(15)得:

[I-R]d=0

(16)

式中:R=SPU為回傳射線矩陣;I為單位矩陣。

要得到非零的出射波波幅矩陣d,則[I-R]的行列式必須等于零,從而得到變截面梁對應等效梁的自振頻率ωN(N=1,2,…,∞)的特征方程為

det[I-R(ωn)]=0

(17)

式中：det[…]表示行列式。

(1-e-2ik1L)(1-e-2ik2L)=0

(18)

利用Euler公式將其展開,并令實部和虛部分別等于零,得到簡支邊界條件下修正Timoshenko梁自振時波數(shù)的解析表達式為:

(19)

式中:N*為階數(shù);L為等截面梁總長。

將式(19)代入式(5)中,得到簡支邊界條件下等截面修正Timoshenko梁自振頻率ωN*的解析表達式為

(20)

其他邊界條件(如兩端固支、一端固支一端自由)情形下,等截面梁或變截面梁的分段數(shù)n>1時,采用黃金分割法搜索其自振頻率的數(shù)值解。

2 計算方法驗證

2.1 分段數(shù)對計算精度的影響

為探究分段數(shù)目n對計算精度造成的影響,設分段數(shù)n=1、2、4、8、16、32,利用回傳射線矩陣法(Method of Reverberation Ray Matrix,MRRM)計算前8階自振頻率,并利用Midas有限元結果對本文結果進行驗證。有限元建模中,采用100個梁單元。梁的計算參數(shù)與文獻[11]完全相同(表1)。

表1 梁的計算參數(shù)[11]Table 1 Parameters for the beam[11]

在兩端簡支、兩端固支和一端固支一端自由三種邊界條件下,基于回傳射線矩陣法(MRRM)求得不同分段數(shù)時的自振頻率,與有限元法(Finite Element Method,FEM)計算結果進行對比,結果如表2所列。由表2可見,隨著分段數(shù)的增加計算精度顯著提高,當分段數(shù)為16時已具備極高精度;在算力允許的情況下,選擇分段數(shù)為32可小幅度提升計算精度,但計算時長翻倍。

表2 MRRM 與FEM求得自振頻率對比Table 2 Comparison between natural frequencies obtained by MRRM and FEM

2.2 梁長度的影響

經典Timoshenko梁理論與修正Timoshenko梁理論的區(qū)別在于橫向運動方程中是否考慮了剪切變形對轉動慣量的影響。在截面形式和尺寸不變的情況下,剪切變形與梁的長度密切相關,梁的長度越短,剪切變形越不可忽視,“修正”帶來的影響就越大。算例分析時,梁兩端截面直徑保持不變(分別為0.02 m和0.01 m),改變梁長度L(分別為0.5 m、0.25 m和0.1 m),其他計算參數(shù)如表1所列。表3～5分別給出了分段數(shù)n=32時,兩端簡支、兩端固支和一端固支一端自由三種邊界條件下經典Timoshenko梁(C-T)的自振頻率wCr和修正Timoshenko梁(M-T)的自振頻率wMr;并以ζ值來評估修正對自振頻率的影響:ζr=100×(wCr-wMr)/ωCr,ζ值越大,修正對自振頻率的影響越大。

表3 兩端簡支邊界條件下變截面經典Timoshenko梁與修正Timoshenko梁的自振頻率Table 3 Natural frequencies of C-T and M-T with variable cross section under simply supported boundary condition

表4 兩端固支邊界條件下變截面經典Timoshenko梁與修正Timoshenko梁的自振頻率Table 4 Natural frequencies of C-T and M-T with variable cross section under fixed supported boundary condition

表5 一端固支一端自由變截面經典Timoshenko梁與修正Timoshenko梁的自振頻率Table 5 Natural frequencies of C-T and M-T with variable cross section under one end clamped and one end free boundary condition

由表3～5可知:(1)梁的長度不變,低階時由經典Timoshenko梁理論與修正Timoshenko梁理論得到的自振頻率比較接近,隨著階數(shù)的增加,二者差值逐漸增加,且經典Timoshenko梁理論計算得到的自振頻率大于修正Timoshenko梁理論的結果;(2)梁長度逐漸減小,兩種梁理論得到的自振頻率差值逐漸增大,階數(shù)越高二者差值就越大;(3)梁越短粗,剪切變形對轉動慣量的影響就越顯著;(4)基于回傳射線矩陣法,并考慮剪切變形對轉動慣量的影響,將變截面梁簡化為多段等截面梁的計算方法正確,具有較好的計算精度和和收斂性。

3 結論

(1) 基于修正Timoshenko梁理論,利用分段思想,采用回傳射線矩陣法,通過節(jié)點力平衡和位移協(xié)調條件建立回傳射線矩陣,推出截面半徑線性變化的變截面修正Timoshenko梁橫向自振頻率的精確求解方法。數(shù)值算例表明該方法具有較好的計算精度和收斂性。

(2) 基于經典Timoshenko梁理論得到的自振頻率大于修正Timoshenko梁,且隨著階數(shù)增加,兩者差值增大;梁越短粗,剪切變形對轉動慣量的影響就越大。

(3) 修正Timoshenko梁理論更適合于深梁。本方法還可以推廣至任意變截面梁以及耦合振動計算。