王蘇冉， 白玉湖， 徐兵祥， 李彥尊， 陳嶺， 董志強

(中海油研究總院有限責任公司， 北京 100028)

近年來，中國致密砂巖氣藏展現(xiàn)出了豐富的資源前景，在彌補常規(guī)油氣產(chǎn)量短缺中扮演日益重要的角色。致密砂巖儲層通常物性較差，主要通過水力壓裂技術(shù)實現(xiàn)對儲層大規(guī)模體積改造，以此獲得經(jīng)濟開采效益。李小龍等[1]、方文超等[2]研究表明水力壓裂往往產(chǎn)生復雜的縫網(wǎng)改造體，縫網(wǎng)改造程度是制約致密氣井產(chǎn)能的主要因素之一。另外，致密砂巖儲層一般具有較高的初始含水飽和度，在開發(fā)過程中極易出現(xiàn)氣水兩相流特征，導致部分氣井產(chǎn)水問題比較突出，影響氣井產(chǎn)能發(fā)揮[3-5]。此外，李躍剛等[6]、叢海龍等[7]、王欣等[8]通過實驗和理論研究發(fā)現(xiàn)致密砂巖儲層具有一定的應力敏感性，應力敏感效應對氣水滲流能力有嚴重的負面作用，直接影響氣井的穩(wěn)產(chǎn)能力。因此，壓裂縫網(wǎng)參數(shù)、氣水兩相流特征以及儲層應力敏感效應是影響致密氣井產(chǎn)能準確預測的關(guān)鍵因素，產(chǎn)能評價模型中應著重考慮。

目前，致密砂巖氣井產(chǎn)能預測方法主要包括解析、半解析和數(shù)值模擬方法。解析方法通常以穩(wěn)態(tài)滲流理論為基礎(chǔ)，建立致密氣井產(chǎn)能計算模型。張楠等[9]、楊兆中等[10]基于穩(wěn)態(tài)滲流理論，運用點匯法以及勢的疊加原理推導了致密氣壓裂水平井產(chǎn)能計算模型。丁景辰[11]考慮了應力敏感的影響，建立了兩區(qū)復合模型。對于致密砂巖氣藏而言，其開發(fā)過程長期處于非穩(wěn)態(tài)流動階段，基于穩(wěn)態(tài)滲流理論建立的產(chǎn)能方程不能真實反映氣藏生產(chǎn)過程。半解析方法[12]主要是基于線性流假設(shè)建立起來的，該方法能夠有效刻畫縫網(wǎng)改造體，同時計算方便，得到了廣泛的應用。然而，這些解析和半解析方法僅適用于單相流體的產(chǎn)能預測，對于致密氣開發(fā)過程中出現(xiàn)的氣水兩相流，由于數(shù)學模型本身嚴重的非線性，以上模型不再適用。何吉祥等[13]、袁淋等[14]通過引入氣水兩相擬壓力將方程線性化，并利用保角變換和勢的疊加原理推導產(chǎn)水氣井產(chǎn)能方程，將產(chǎn)水量折算成產(chǎn)氣量進行評價。該方法在處理氣水兩相滲流方程非線性問題時通常僅引入兩相擬壓力將方程簡化求解，忽略非線性滲流參數(shù)的影響，計算結(jié)果誤差大。李波等[15]、宋海敬等[16]、Wu等[17]建立了致密砂巖氣壓裂井數(shù)值模型，該方法能夠顯式表征人工裂縫參數(shù)特征，處理多相流體流動問題，但前處理過程復雜，為了獲取較高的模擬精度，需要對裂縫進行網(wǎng)格加密處理，導致網(wǎng)格數(shù)量龐大，在處理成千上萬個案例分析時，計算時效性較低?？傊?，致密砂巖氣井產(chǎn)能準確預測的難點主要表現(xiàn)在：一是在水力壓裂形成的縫網(wǎng)模擬困難；二是氣水兩相流動以及應力敏感模擬困難。

現(xiàn)利用三線性流模型對縫網(wǎng)改造體進行表征，建立致密砂巖氣藏直井壓裂氣水兩相產(chǎn)能預測模型，并研究一種高效的求解方法處理氣水兩相流動和應力敏感引起的非線性滲流問題。首先通過引入兩相擬壓力和擬時間將滲流方程歸一化，并利用Laplace變換等方法獲得初始時刻模型的解析解；然后結(jié)合流動物質(zhì)平衡和牛頓迭代法，利用不同時間下的平均地層壓力和飽和度更新模型非線性滲流參數(shù)，逐步實現(xiàn)滲流模型的線性化，以此獲得模型的半解析解。通過與商業(yè)數(shù)值模擬軟件對比驗證模型的準確性，并基于研究的半解析模型分析裂縫及儲層關(guān)鍵滲流參數(shù)對產(chǎn)能預測的影響，而后開展實例井產(chǎn)能預測與分析工作。

1 模型的建立

1.1 物理模型

利用三線性流模型表征壓裂改造體，流體流動劃分為3個區(qū)域：內(nèi)區(qū)裂縫線性流動、地層流體垂直于裂縫的線性流動以及外區(qū)流體平行于裂縫的線性流動[18]，如圖1所示。模型假設(shè)人工壓裂縫與井筒直接相連，且流體僅通過裂縫流入生產(chǎn)井筒，基質(zhì)中流體不斷向裂縫流動，提供能量補給?？紤]氣水同產(chǎn)，基質(zhì)和裂縫中均為氣水兩相流動，且符合等溫達西滲流。其他物理模型假設(shè)條件為：①儲層頂部、底部和側(cè)向均為封閉邊界；②儲層全部壓開，壓裂裂縫與井筒對稱；③與氣體相比，地層水的壓縮系數(shù)較小，可以忽略；④考慮儲層滲透率應力敏感性；⑤不考慮重力和毛管力的影響。

pw為井筒壓力，MPa；pF為人工裂縫中壓力，MPa；I為內(nèi)區(qū)(改造 區(qū))；II為外區(qū)(未改造區(qū))；xF為裂縫半長圖1 致密砂巖氣藏壓裂直井模型流動示意圖Fig.1 Schematic diagram of fractured well model in tight sandstone gas reservoir

1.2 數(shù)學模型

基于物理模型假設(shè)，分別對各個流動區(qū)域建立滲流數(shù)學模型，為方便推導，通過引入無因次變量簡化數(shù)學模型的形式，無因次參數(shù)定義如下。

式中：pD為無因次壓力；ψD為無因次擬壓力；tD為無因次時間；taD為無因次擬時間；qgD為無因次產(chǎn)氣量；qwD為無因次產(chǎn)水量；ηD為無因次導壓系數(shù)；CFD為無因次裂縫導流能力；xD、yD、zD為無因次長度(x、y、z坐標方向)；wFD為無因次裂縫寬度；kFD為無因次裂縫滲透率；p為壓力，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；pwf為井底流壓，MPa；ψ為擬壓力，MPa2/(mPa·s)；ψi為原始地層擬壓力，MPa2/(mPa·s)；ψwf為擬井底壓力，MPa2/(mPa·s)；t為時間，d；ta為擬時間，d；T為溫度，K；kr為參考滲透率，mD；kF為裂縫滲透率，mD；kmi為初始時刻基質(zhì)滲透率，mD；qg為產(chǎn)氣量，萬m3/d；qw為產(chǎn)水量，m3/d；Lr為參考長度，取裂縫半長，m；H為儲層有效厚度，m；wF為裂縫寬度，m；Bw為地層水體積系數(shù)，m3/m3；μw為地層水黏度，mPa·s；ηiD為無因次導壓系數(shù)，j=F表示裂縫，j=m表示基質(zhì)。

引入擬壓力和擬時間，分別定義為

(1)

(2)

1.2.1 外區(qū)基質(zhì)系統(tǒng)氣水兩相無因次滲流數(shù)學模型

氣相流動方程采用擬壓力和擬時間處理，其控制方程為

(3)

式(3)中：ψm2D為外區(qū)無因次擬壓力；kmrg為基質(zhì)系統(tǒng)中氣相相對滲透率；ηmD為基質(zhì)系統(tǒng)中氣相的無因次導壓系數(shù)。

初始條件：ψm2D(xD,taD)|taD=0=0。

內(nèi)邊界條件：ψm1D(xD,taD)|xD=1=ψm2D(xD,taD)|xD=1。

水相流動方程采用真實時間處理，其無因次控制方程和邊界條件為

(4)

內(nèi)邊界條件：pm1D(xD，tD)|xD=1=pm2D(xD，tD)|xD=1。

式(4)中：ψm1D為內(nèi)區(qū)無因次擬壓力；kmrw為基質(zhì)系統(tǒng)中水相相對滲透率；ηmwD為基質(zhì)系統(tǒng)中水相的無因次導壓系數(shù)；pm1D為內(nèi)區(qū)無因次壓力；pm2D為外區(qū)無因次壓力。

1.2.2 內(nèi)區(qū)基質(zhì)系統(tǒng)氣水兩相無因次滲流數(shù)學模型

氣相控制方程為

(5)

初始條件：ψm1D(yD，taD)|taD=0=0。

內(nèi)邊界條件：ψm1D(yD，taD)|yD=wFD/2=ψFD。

水相控制方程為

(6)

初始條件：pm1D(yD，tD)|tD=0=0。

內(nèi)邊界條件：pm1D(yD，tD)|yD=wFD/2=pFD。

1.2.3 人工裂縫系統(tǒng)氣水兩相滲流數(shù)學模型

氣相控制方程為

(7)

初始條件：ψFD(xD，tD)|tD=0=0。

定壓生產(chǎn)內(nèi)邊界條件：ψFD(xD，tD)|xD=0=1。

水相控制方程為

(8)

定壓生產(chǎn)內(nèi)邊界條件：pFD(xD,tD)|xD=0=1。

式中：ψFD為人工裂縫系統(tǒng)無因次擬壓力；kFrg、kFrw分別為人工裂縫系統(tǒng)中氣相和水相相對滲透率；ηFD、ηFwD分別為人工裂縫系統(tǒng)中氣相和水相的無因次導壓系數(shù)。

2 氣水兩相產(chǎn)能預測半解析解

將生產(chǎn)時間離散為多個時間步，在每個時間步，與壓力相關(guān)的參數(shù)(μg、Bg)以及與飽和度相關(guān)的參數(shù)(kmrg、kmrw、kFrg、kFrw)分別由動用范圍內(nèi)的平均壓力和平均飽和度更新替換，因此，非線性參數(shù)在每個時間步可以當作定值近似處理。在處理了非線性滲流問題后，每一時間步的氣相和水相產(chǎn)量可通過直接求解方程獲得。

2.1 氣相流動方程求解

對每個流動區(qū)域的氣相滲流方程取關(guān)于無因次擬時間的Laplace變換，與單相模型求解過程類似，首先對外區(qū)基質(zhì)系統(tǒng)氣相滲流方程進行Laplace變換，其通解為

(9)

對內(nèi)區(qū)基質(zhì)系統(tǒng)氣相滲流方程進行Laplace變換，可得其通解為

(10)

對人工裂縫系統(tǒng)氣相滲流方程進行Laplace變換，可得其通解為

(11)

單井產(chǎn)氣量表達式為

(12)

結(jié)合式(12)，可得氣相產(chǎn)量的解為

(13)

式(13)中氣相產(chǎn)量的解是在Laplace空間求得的，利用Stehfest[19]數(shù)值反演即可得到實空間的解。

2.2 水相流動方程求解

對每個流動區(qū)域的水相滲流方程取關(guān)于無因次時間的Laplace變換，與氣相滲流模型求解過程類似，對外區(qū)基質(zhì)系統(tǒng)水相滲流方程進行Laplace變換，其通解為

(14)

對內(nèi)區(qū)基質(zhì)系統(tǒng)水相滲流方程進行Laplace變換，可得其通解為

(15)

對人工裂縫系統(tǒng)水相滲流方程進行Laplace變換，可得其通解為

(16)

結(jié)合式(13)，可得水相產(chǎn)量的解為

(17)

式(13)和式(17)中仍然存在與壓力和飽和度相關(guān)的參數(shù)，此外，式(18)給出了考慮應力敏感的滲透率表達式，將應力敏感項全部整合到導壓系數(shù)中，并作為平均地層壓力的函數(shù)[20]。在模型求解過程中，利用動用范圍內(nèi)的平均地層壓力和飽和度更新每個時間步的非線性參數(shù)，逐次迭代獲得模型的解，而平均地層壓力和平均飽和度由流動物質(zhì)平衡方法計算獲得，表達式為

(18)

2.3 流動物質(zhì)平衡方程的建立

氣相物質(zhì)平衡方程為

(19)

整理式(19)可得

(20)

內(nèi)區(qū)沿裂縫方向以及垂直裂縫方向的動用范圍[21-22]分別為

(21)

水相物質(zhì)平衡方程為

(22)

對式(22)進行整理可得

(23)

飽和度滿足如下關(guān)系

(24)

聯(lián)立式(20)、式(23)和式(24)，構(gòu)建平均壓力函數(shù)，有

(25)

式(25)中：

對式(25)求導，有

(26)

由式(26)構(gòu)建平均壓力牛頓迭代格式，有

(27)

式(27)中：k為上一時間步，k+1為當前時間步；χ為迭代因子，取1/2k。

運用牛頓迭代獲得平均壓力，然后代入式(20)、式(23)可計算平均飽和度。利用動用范圍內(nèi)的平均壓力和飽和度更新每一時間步下的非線性參數(shù)，逐步迭代計算可獲得致密砂巖氣井氣水兩相滲流模型的解，進而可編程繪制氣水兩相產(chǎn)能曲線，預測氣水生產(chǎn)動態(tài)。

3 氣水兩相生產(chǎn)動態(tài)分析

3.1 模型驗證

為驗證所提出的半解析模型的準確性，利用Eclipse軟件建立了如圖2(a)所示的數(shù)值模型，井名為PROW。模型使用的氣體高壓物性參數(shù)關(guān)系曲線如圖2(b)所示。表1為兩種方法使用的儲層及裂縫參數(shù)，圖3為儲層及裂縫中的氣水兩相相對滲透率曲線。本算例中基質(zhì)和裂縫系統(tǒng)均考慮氣水兩相，即在生產(chǎn)初期便發(fā)生氣水兩相流。

半解析模型和Eclipse的對比結(jié)果如圖4所示，可見，兩種方法獲得的產(chǎn)量曲線在生產(chǎn)早期存在一定差異，在后期結(jié)果基本一致。相同儲層與裂縫參數(shù)條件下，氣水兩相滲流條件下的產(chǎn)能明顯低于單相滲流。這主要是因為在生產(chǎn)早期，近井地帶壓力和飽和度變化大，而生產(chǎn)對壓力和飽和度相關(guān)的參數(shù)很敏感，在半解析模型中，利用擬壓力隱式地處理部分與壓力相關(guān)的參數(shù)，但飽和度相關(guān)的參數(shù)作顯式處理，所以單相滲流模型早期的誤差不明顯，兩相流模型早期的誤差較明顯，但是計算得到的平均相對誤差小于10%，在工程允許誤差范圍之內(nèi)，說明提出的半解析模型可用于生產(chǎn)數(shù)據(jù)的分析和預測。相比于數(shù)值模擬方法，本文方法計算速度快，更加有利于礦場大規(guī)模案例分析應用。

表1 模型驗證輸入?yún)?shù)Table 1 Input parameters for model validation

圖2 Eclipse模型示意圖和氣體高壓物 性參數(shù)關(guān)系曲線Fig.2 Schematic of the Eclipse model and gas PVT properties

圖3 基質(zhì)系統(tǒng)和人工裂縫系統(tǒng)相對滲透率曲線Fig.3 Relative permeability of the matrix system and hydraulic fracture system

圖4 本文模型和Eclipse對比結(jié)果Fig.4 Comparison of gas and water production rate between the semi-analytical model in this paper and the Eclipse

3.2 生產(chǎn)動態(tài)影響因素分析

致密砂巖儲層自然產(chǎn)能低，而壓裂改造是提高致密氣井產(chǎn)能的關(guān)鍵，基于研究的半解析模型，首先分析了人工壓裂縫導流能力、裂縫半長對致密氣井產(chǎn)能的影響規(guī)律，然后基于儲層滲流機理實驗研究結(jié)果，分析了儲層物性和應力敏感性對氣水兩相產(chǎn)能的影響。敏感性參數(shù)取值范圍如表2所示。

圖5和圖6分別反映了裂縫導流能力(CF)和裂縫半長(xF)對致密氣井氣水兩相產(chǎn)能的影響。從圖5可以看出，裂縫導流能力越大，產(chǎn)量初值越大，同時產(chǎn)量遞減趨勢越緩慢。這主要是因為裂縫導流能力越大，產(chǎn)量越大，在定井底流壓生產(chǎn)條件下，通過較小的產(chǎn)量遞減量就可以維持生產(chǎn)。從圖6可以發(fā)現(xiàn)，裂縫半長的變化影響著整個開發(fā)階段，尤其對早中期生產(chǎn)階段影響較大，且隨著裂縫半長增加，氣相產(chǎn)量增加，但是增加的幅度逐漸變小。這主要是因為裂縫半長不僅能夠表征儲層改造體積的大小，同時反映了井控儲量和動用范圍，其值越大，裂縫線性滲流面積越大，動用范圍越大，因此產(chǎn)量越大，產(chǎn)量遞減越緩慢。

表2 敏感性參數(shù)取值范圍Table 2 Range of values for sensitive parameters

圖5 裂縫導流能力對產(chǎn)能的影響Fig.5 Effects of fracture conductivity on gas and water production rate

圖6 裂縫半長對產(chǎn)能的影響Fig.6 Effects of fracture half-length on gas and water production rate

圖7和圖8分別反映了儲層滲透率(km)和滲透率模量(γ)對致密氣井氣水兩相產(chǎn)能的影響。從圖7可以看出，儲層滲透率越大，氣水兩相產(chǎn)量初值越大，由于基質(zhì)向裂縫供給和滲流能力變強，產(chǎn)量遞減趨勢減緩。從圖8可以發(fā)現(xiàn)，應力敏感效應影響整個致密氣藏的開發(fā)過程，尤其對早、中期生產(chǎn)階段影響較大，且生產(chǎn)壓差越大，滲透率損失越嚴重，流體滲流阻力增加，最終導致產(chǎn)量降低，且遞減速度加快。因此，對于致密氣藏而言，在生產(chǎn)過程中應保持合理的生產(chǎn)壓差降低應力敏感效應對產(chǎn)能的影響。

3.3 案例分析

以鄂爾多斯盆地一口產(chǎn)水致密氣井為例說明該模型的應用效果。該井于2015年2月壓裂投產(chǎn)，儲層的初始含水飽和度約為50%，截止到2020年6月累積產(chǎn)氣2 313×104m3，累積產(chǎn)水2 078 m3，日產(chǎn)氣量9 720 m3/d，日產(chǎn)水量1.3 m3/d。該井基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如表3所示，氣體的PVT關(guān)系曲線以及氣水相滲曲線分別如圖2(b)和圖3所示。利用本文模型對該井氣水兩相生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行擬合解釋，如圖9所示?？梢?，理論曲線和實測曲線擬合效果較好，雖然擬合結(jié)果存在一定的偏差，但在工程誤差允許范圍之內(nèi)。將該井擬合解釋結(jié)果匯總于表4，其中，解釋的裂縫導流能力為80 mD·m，裂縫半長為95 m，儲層滲透率為0.5 mD，儲層應力敏感系數(shù)為0.04 MPa-1，均與氣藏實際相符。對該井的產(chǎn)量進行預測，生產(chǎn)30年采出氣量為7 870×104m3，采出水量為2.4×104m3。

圖7 儲層滲透率對產(chǎn)能的影響Fig.7 Effects of reservoir permeability on gas and water production rate

圖8 儲層應力敏感效應對產(chǎn)能的影響Fig.8 Effects of stress sensitivity of reservoir on gas and water production rate

表3 礦場實例分析輸入?yún)?shù)Table 3 Input parameters for field case study

表4 實例井擬合解釋結(jié)果Table 4 The fitting results of an example well

圖9 實例井產(chǎn)量遞減解釋與預測Fig.9 Rate decline analysis and prediction of an example well

4 結(jié)論

建立了考慮儲層復雜裂縫、應力敏感效應及氣水兩相滲流特征的產(chǎn)能模型，并結(jié)合流動物質(zhì)平衡方法建立了模型的半解析求解方法，實現(xiàn)了致密氣井氣水兩相的產(chǎn)能預測，主要結(jié)論如下。

(1)利用流動物質(zhì)平衡方法計算儲層的平均壓力和平均飽和度，并逐次更新滲流模型中的非線性參數(shù)，能夠較為準確地處理氣水兩相非線性滲流問題，從而實現(xiàn)滲流模型的高效準確求解。

(2)數(shù)值模型驗證結(jié)果以及礦場應用均表明本文方法預測精度高，可以用于致密氣井氣水兩相產(chǎn)量的預測。

(3)裂縫關(guān)鍵滲流參數(shù)對氣水兩相生產(chǎn)動態(tài)起著重要的影響作用。由于致密氣藏產(chǎn)水嚴重影響了氣井產(chǎn)能，相同儲層與裂縫參數(shù)條件下，氣水兩相滲流條件下的產(chǎn)能明顯低于單相滲流條件下的產(chǎn)能，因此，針對氣水同產(chǎn)致密氣井，在壓裂施工時應盡量增加改造程度和范圍來提高氣井產(chǎn)能。

(4)儲層應力敏感效應影響致密氣井產(chǎn)能，生產(chǎn)過程中需要合理地控制生產(chǎn)壓差以有效降低應力敏感效應的負面影響。