陳 靖，戴譚明，吳君欽

（江西理工大學(xué)，江西 贛州 341000）

0 引言

雖然有研究表明三維大規(guī)模多輸入多輸出（Full-Dimention Multiple Input Multiple Output，F(xiàn)D-MIMO）多用戶系統(tǒng)能提升傳輸效率[1-2]，但實(shí)際上，由于用戶間存在干擾，必然使得系統(tǒng)性能降低。如果基站側(cè)和用戶側(cè)都獲取到瞬時(shí)信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI），可通過(guò)臟紙編碼技術(shù)達(dá)到其最大可實(shí)現(xiàn)的速率域[3]。然而，一方面，臟紙編碼技術(shù)具有非常高的復(fù)雜度；另一方面，在基站側(cè)獲取瞬時(shí)CSI 難以實(shí)現(xiàn)。因此，利用臟紙編碼技術(shù)提高傳輸效率存在較大的挑戰(zhàn)性。緊接著，有限反饋預(yù)編碼碼本的設(shè)計(jì)被提出，如文獻(xiàn)[4]提出了基于單用戶FD-MIMO 下的窄帶和寬帶的量化策略。之后，文獻(xiàn)[5]基于多用戶的FD-MIMO下行系統(tǒng)采用了一種協(xié)同反饋方案，通過(guò)設(shè)備間相互通信的方式交換CSI，再計(jì)算預(yù)編碼器，并將預(yù)編碼器反饋給基站；然而該方案適用于用戶相隔較近的場(chǎng)合，且因天線規(guī)模較大，導(dǎo)致反饋開銷增加，同時(shí)在用戶數(shù)較多的情況下，交換時(shí)延也會(huì)增加。接著，文獻(xiàn)[6]基于有限反饋大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)提出了內(nèi)外層聯(lián)合預(yù)編碼策略。但在基站側(cè)完全不知道CSI 的場(chǎng)景下，無(wú)論是臟紙編碼技術(shù)，還是預(yù)編碼技術(shù)，都難以達(dá)到最大可達(dá)速率域。

本文基于基站側(cè)完全不知道CSI 的場(chǎng)景，針對(duì)大規(guī)模FD-MIMO 多用戶系統(tǒng)，首先在基站側(cè)采用降維矩陣[7-9]將大規(guī)模天線進(jìn)行有效合并，其次在接收方利用仿射投影技術(shù)[10]提出新的解碼策略。由于基站側(cè)天線規(guī)模巨大，利用降維矩陣既可減少系統(tǒng)開銷，又能降低解碼復(fù)雜度，而且能將多根天線上的信號(hào)聯(lián)合成單個(gè)波束，有利于提升空間增益。此外，降維矩陣與CSI 是獨(dú)立無(wú)關(guān)的。因下行信道中的每一個(gè)用戶接收到的信號(hào)都涵蓋了基站發(fā)送給全部用戶的信息，由此勢(shì)必會(huì)帶來(lái)多用戶間的干擾。為了消除這些干擾，并獨(dú)立地解出各自需要的信號(hào)，提出了仿射投影解碼策略，該策略能有效地處理用戶間的干擾。與此同時(shí)，本文也提出了基于循環(huán)矩陣形式的傳送方案和解碼方法，并從理論上分析了所提出解碼策略的性能。分析結(jié)果表明，循環(huán)重復(fù)傳送信號(hào)會(huì)導(dǎo)致速率下降，但當(dāng)用戶數(shù)與合并后的天線數(shù)相等時(shí)，仿射投影解碼策略仍能達(dá)到最佳自由度。

文中的符號(hào)定義：Cn×m表示n×m的復(fù)矩陣，分別表示取共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置，分別為兩個(gè)矩陣的Kronecker積和兩個(gè)矩陣的直和。E(●)表示數(shù)學(xué)期望，CN(μ,σ2)變量服從均值為μ、方差為σ2的復(fù)高斯分布。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)模型和降維矩陣的引入

本文采用文獻(xiàn)[2]中的信道模型，基站側(cè)配置M=Mv×Mh根天線，其中Mv表示垂直方向上的天線數(shù)，Mh表示水平方向上的天線數(shù)，dv表示垂直方向天線間距，dh表示水平方向天線間距，K表示用戶數(shù)量。如圖1 所示。

圖1 多用戶大規(guī)模FD-MIMO 下行系統(tǒng)

假設(shè)基站與天線間存在P個(gè)輻射路徑，且每個(gè)輻射路徑可以表示為：

式中：ψv=sin?v；ψh=sin?hcos?v。?a是陣列向量的角度。λc是中心頻率fc所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)，滿足c=fcλc，c是光速。則信道可表示為：

式中：D為輻射路徑。a=(α1…αp)T∈CP是各輻射路徑的增益，假設(shè)各路徑增益相互獨(dú)立且αp～CN(0,1)。由于系統(tǒng)中天線數(shù)量巨大，降維矩陣可將大規(guī)模天線進(jìn)行有效合并，從而降低系統(tǒng)開銷。定義降維矩陣[8]：

假設(shè)在該系統(tǒng)中，基站側(cè)的天線數(shù)為M，同時(shí)給K個(gè)單天線用戶發(fā)送信息。第i個(gè)用戶的碼本記為Φi，其功率滿足E(|sit|2)≤ρi，其中sit是碼本Φi中的碼字，ρi是第i個(gè)用戶的功率。

基站傳送信息的方案如下：

（1）根據(jù)第i個(gè)用戶的需求在對(duì)應(yīng)碼本中選擇碼字sit∈Φi(t=1,2,…,T,i=1,2,…,K)，T為時(shí)隙數(shù)；

（2）將步驟（1）中獲得的碼字映射到信息矩陣S∈CN×T中；

（3）最后，利用基站側(cè)的M根天線，經(jīng)降維后在T時(shí)隙內(nèi)，對(duì)信息矩陣S進(jìn)行傳輸。

基于上述假設(shè)的信道模型，以第i個(gè)用戶的接收信號(hào)為例，則有：

式中：hi為第i個(gè)用戶的信道；Γ為M×N維的降維矩陣；wi∈C1×T為噪聲向量，且每個(gè)分量都為均值為0、方差為1 的復(fù)高斯變量，分量間相互獨(dú)立。

1.2 仿射投影及極分解基礎(chǔ)

假設(shè)U，V是某個(gè)向量空間中的兩個(gè)子空間，且U∩V=?，其中，U?span{u1u2…un}，{v1v2…vn}，記Z=U⊕V（表示子空間U和V的直和），其中{u1u2…un}和{v1v2…vn}分別為U和V的一組基底。<,>表示兩個(gè)向量的內(nèi)積，定義如下矩陣：

由于子空間U和V的交集為空，故這兩個(gè)空間的兩組基底必然線性無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)矩陣G11和G22可逆。此外，因空間Z=U⊕V，所以{u1u2…un,v1v2…vn}可作為Z的一組基底，因此矩陣G也是可逆的。對(duì)于任意給定的向量z∈Z，存在唯一一組分解使得z=u+v，其中(u∈U,v∈V)，可通過(guò)下述方法獲得這個(gè)線性組合的系數(shù)，假設(shè)：

因矩陣G可逆，故方程兩邊左乘G-1，可得到系數(shù)的矩陣形式。

針對(duì)極分解，可給出如下定理。

設(shè)J∈Cn×m，則存在酉矩陣X和唯一的半正定矩陣W，使得：

式（15）即為矩陣J的極分解，其中，矩陣W與X分別稱為矩陣J的Hermite 因子和酉因子。矩陣的極分解是根據(jù)復(fù)數(shù)的極形式作出的，其幾何意義是先旋轉(zhuǎn)，然后再沿著一組正交的方向作伸縮。

2 傳送方案以及相應(yīng)的解碼策略

2.1 基站側(cè)的傳送方案

2.1.1 傳送方案一

假設(shè)基站經(jīng)合并后的天線數(shù)與用戶數(shù)的比值為g（g為整數(shù)），即g=N/K，本文提出的傳送方案的主要思想是，將全部用戶需要傳送的信號(hào)送入到傳輸矩陣S中，而不同用戶的信號(hào)放入傳輸矩陣S的不同層中。假定N=T，所以此時(shí)傳送矩陣S∈CN×N是方陣，則其第i層記為，其定義為：

式中：[i+j-1]N表示i+j-1 對(duì)N取模運(yùn)算；([i+j-1]N,j)表示傳輸矩陣S的第[i+j-1]N行第j列，在本文中稱([i+j-1]N,j)為的第j個(gè)元素。

具體的傳輸方案如下：

（1）根據(jù)第i個(gè)用戶的需求在對(duì)應(yīng)碼本中選擇相應(yīng)的g個(gè)信號(hào)，記為si1,si2,…,sig(i=1,2,…,K)；

（2）將si1置于傳輸矩陣S第(i-1)×g+1 層的各個(gè)位置上，si2置于傳輸矩陣S第(i-1)×g+2 層的各個(gè)位置上，以此類推就可組成N×N維的信號(hào)傳輸矩陣S；

（3）利用基站側(cè)的M根天線，經(jīng)降維后在T時(shí)隙內(nèi)對(duì)信息矩陣S進(jìn)行傳輸。

2.1.2 傳送方案二

該傳送方案假定一個(gè)用戶僅接收一個(gè)信號(hào)，其核心思想是將全部用戶的信號(hào)送入一個(gè)傳輸矩陣S′中，具體傳輸過(guò)程如下：

（1）依據(jù)K個(gè)用戶所需發(fā)送的數(shù)據(jù)信息來(lái)選擇相應(yīng)的符號(hào)，記為s1,s2,…,sK；

（2）基站端在T=K=N個(gè)時(shí)隙內(nèi)傳輸信號(hào)矩陣S′，傳輸信號(hào)矩陣S′的具體形式如下：

2.2 基于仿射投影的解碼策略

基于傳送方案一，以第一個(gè)用戶為例，利用仿射投影策略對(duì)用戶進(jìn)行解碼，解碼過(guò)程如下文所述。這里為了便于推導(dǎo)，引入一個(gè)單位循環(huán)矩陣記為：

式中：y1為在N=T下第一個(gè)用戶接收到的信息。式（20）可改寫為：

通過(guò)這種方法消除了用戶間的干擾。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算，可令：

2.3 基于循環(huán)矩陣下的解碼策略

基于傳送方案二，以第一個(gè)用戶的接收信號(hào)為例，則有：

根據(jù)形式可知H為托普利茨矩陣，由文獻(xiàn)[11]知，可對(duì)該矩陣進(jìn)行分解得到：

式中：Λ為對(duì)角矩陣，且組成元素均為H的特征值。其各個(gè)元素的形式如下：

所以發(fā)送接收方程可改寫成：

3 基于仿射投影解碼的性能分析

3.1 基于仿射投影的可達(dá)速率域分析

以用戶一為例，經(jīng)降維矩陣與仿射投影相結(jié)合技術(shù)處理后，在信道確定時(shí)，在T個(gè)時(shí)隙內(nèi)傳輸N次就等價(jià)于信道系數(shù)為C1的加性高斯白噪聲信道。由信道容量公式可知，記用戶一的可達(dá)速率域?yàn)镽1，R1可表示為：

所以，R1也可表示為：

3.2 基于仿射投影的自由度分析

基于多用戶FD-MIMO 的下行系統(tǒng)，本文采用的降維矩陣與仿射投影相結(jié)合的解碼策略，這里考察其可達(dá)自由度，由文獻(xiàn)[12]可知，記該自由度為：

式中：? 為系統(tǒng)的容量域。

系統(tǒng)的最大自由度記為：

由文獻(xiàn)[10]可知：

由于N>1，所以可得：

所以可推出dmax≤1。

針對(duì)基站部署M=Mv×Mh根天線的系統(tǒng)，基于提出的降維矩陣將天線進(jìn)行合并可得到天線數(shù)為N(N

2344 在△ABC中，以BC中點(diǎn)M為圓心，BC為直徑作圓交AB、AC于F、E，連接FC，EB，其交點(diǎn)為D，F(xiàn)E交AD于P，BP、ME交Q，求證：QA∥BC．

4 仿真結(jié)果

仿真環(huán)境在前面所述的FD-MIMO 典型場(chǎng)景下，表1 給出了系統(tǒng)仿真時(shí)的參數(shù)

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)定

4.1 仿真1

圖2 中顯示了在K=2,4，M=24,32 情況下的誤比特率的仿真結(jié)果。從圖2 中可以看出，在基站天線數(shù)確定的情況下，隨著信噪比的增大，誤比特率在減?。辉谟脩魯?shù)確定的情況下，隨著基站天線數(shù)的增加，誤比特率也增大。

圖2 單天線下基于仿射投影解碼策略下的仿真結(jié)果

4.2 仿真2

圖3 中顯示了在K=2，SNR=10 dB 情況下，可達(dá)速率域的仿真結(jié)果。從圖3 中可以看出，在用戶數(shù)確定的情況下，可達(dá)速率域隨著基站天線數(shù)的增加而增大，且增加的幅度逐漸變小。

圖3 不同天線配置下的可達(dá)速率域

4.3 仿真3

圖4 中顯示了在K=4，M=32,16 情況下，誤比特率的仿真結(jié)果。從圖4 中可以看出，在用戶數(shù)確定的情況下，隨著基站天線數(shù)的增加，誤比特率也增大。在傳統(tǒng)方案中，誤比特率隨著信噪比的增加下降速度非常緩慢；而在所提出的傳送方案二的情況下，誤比特率隨著信噪比的增加，下降速度越來(lái)越快。

圖4 單天線下基于循環(huán)矩陣策略下的仿真結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究基于假定發(fā)送端對(duì)信道狀態(tài)信息完全不知道的情況，針對(duì)單天線的多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，在基站側(cè)利用降維矩陣將大規(guī)模天線進(jìn)行有效合并，在用戶端利用仿射投影技術(shù)提出了新的解碼策略。該策略充分利用了對(duì)角空時(shí)碼的特性，可將用戶間的干擾完全消除，進(jìn)一步解出各個(gè)用戶所需要的信息。與此同時(shí)，還提出了基于循環(huán)矩陣形式的傳送方案和解碼方法，并從理論上分析了所提出解碼策略的性能。最后，對(duì)所提出的方案進(jìn)行了仿真，其結(jié)果也與理論分析一致。