?廣東省深圳市龍華區(qū)實驗學(xué)校 邱建濤

1 引言

“二次函數(shù)”屬于初中數(shù)學(xué)課程的半壁江山，其不僅考察了學(xué)生的思維能力、邏輯推理能力、建模能力、還有識圖觀察等能力.由此可見，二次函數(shù)問題需要一定的解題技巧，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格解讀動靜結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生從動、靜的角度思考二次函數(shù)問題，從而提高二次函數(shù)的學(xué)習(xí)效率.

2 初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的特點

2.1 識圖與觀察

二次函數(shù)突出了數(shù)形結(jié)合的思想.在“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)中，除了概念認(rèn)知，還有圖象解析，學(xué)習(xí)者需要將概念與圖形進(jìn)行辯證對應(yīng)，才能梳理出正確的解題方向.因此，“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)能夠幫助初中生增強(qiáng)抽象思維與直觀想象能力.除此之外，在識圖分析時，學(xué)生需要調(diào)動各項感官，通過自主觀察才能達(dá)成對知識的深層理解.

2.2 動手與推理

二次函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中的多種思想，精準(zhǔn)作圖與高效用圖是解析二次函數(shù)問題的關(guān)鍵，所以，學(xué)生在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”時需要參與到作圖實踐中，通過圖象建立模型，這也是動靜結(jié)合法的典型體現(xiàn).與此同時，學(xué)生需要借助已知條件分析圖象，從中獲取有益于解題思路的隱藏條件，這在潛移默化中考察了學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)建模意識和邏輯推理能力.

2.3 理論與應(yīng)用

眾所周知，數(shù)學(xué)來源于生活，且回歸于生活.“二次函數(shù)”作為初中數(shù)學(xué)課程中的一個重要內(nèi)容，自然與日常生活有著緊密的聯(lián)系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的最終目的是將知識內(nèi)容實踐于生活中，充分發(fā)揮出數(shù)學(xué)課程的價值.因此，教師在二次函數(shù)教學(xué)中，需要緊密結(jié)合相關(guān)的實踐問題，促使學(xué)生將靜態(tài)的理論知識應(yīng)用到動態(tài)的生活實際中，從而促進(jìn)學(xué)生的思維動靜交替發(fā)展，為構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂奠定基礎(chǔ).

綜上所述，教師在利用動靜結(jié)合思想開展“二次函數(shù)”教學(xué)時需要以激活學(xué)生的思維為切入點，并將實踐應(yīng)用作為出發(fā)點，由此才能促進(jìn)二次函數(shù)學(xué)習(xí)的順利展開[1].

3 動靜結(jié)合——“二次函數(shù)”的教學(xué)路徑

3.1 依據(jù)靜態(tài)抽象概念，打造動態(tài)生活情境

陶行知先生提出“教育是活的教育”，教育是生活的需要.二次函數(shù)概念具有較強(qiáng)的抽象性，倘若教師以單一的理論講授法展開教學(xué)，不但會引起學(xué)生的抵觸情緒，而且還會降低學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用認(rèn)知.因此，教師可以在函數(shù)概念教學(xué)的基礎(chǔ)上引入動態(tài)的生活化內(nèi)容，通過動態(tài)的生活情境化解抽象的定義內(nèi)涵，由此有效激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動態(tài)思維.

以北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊第二章“二次函數(shù)”為例，在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者引入生活化動態(tài)情境：

農(nóng)機(jī)廠第一個月水泵的產(chǎn)量為50臺，第三個月的產(chǎn)量為y臺，農(nóng)機(jī)廠水泵產(chǎn)量月平均增長率為x，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系如何表示呢？

計算物品產(chǎn)量是生活中十分常見的問題，學(xué)生會主動調(diào)取自己的生活經(jīng)驗與知識基礎(chǔ)思考問題.發(fā)現(xiàn)學(xué)生毫無思路時，筆者應(yīng)及時提醒學(xué)生依照正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的列式經(jīng)驗推理出本例的關(guān)系式.當(dāng)有學(xué)生列出的關(guān)系式中出現(xiàn)了x2后，借此契機(jī)在黑板上列出

y=50(1+x)2=50x2+100x+50

①

接著，繼續(xù)引出生活化問題：將一根長20 cm的鐵絲折成一個矩形，設(shè)矩形的一邊長為xcm，矩形的面積為ycm2，則y與x的關(guān)系式又是什么呢？

通過上一個問題的鋪墊，學(xué)生迅速列出

y=x(10-x)=10x-x2

②

這時，再引導(dǎo)學(xué)生觀察①②式的共同點，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)自變量的最高次數(shù)是2后，鼓勵學(xué)生嘗試運用以往的函數(shù)解析式經(jīng)驗列出與兩道習(xí)題相關(guān)的一般形式.通過自主性的動態(tài)化探究，學(xué)生順利列出y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c為常數(shù)).

最后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起學(xué)習(xí)二次函數(shù)的定義與自變量的取值范圍等內(nèi)容.

通過創(chuàng)設(shè)生活情境，學(xué)生能夠從動態(tài)的生活實際中自主提取出二次函數(shù)的定義，由此有效提升了學(xué)習(xí)質(zhì)量[2].

3.2 引導(dǎo)動手作圖分析，深化靜態(tài)圖形認(rèn)知

二次函數(shù)圖象平移問題在中考試題中出現(xiàn)的頻次較高，其技巧性較強(qiáng)，平移的過程完全突出了動態(tài)思想.所以，教師在開展相關(guān)內(nèi)容教學(xué)時可以引領(lǐng)學(xué)生自主作圖，通過作圖的方式，體會二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，由此深化學(xué)生的作圖能力和數(shù)形結(jié)合思想.

圖1

在學(xué)生經(jīng)歷了運用描點法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)y=2x與y=2x+1的圖象的關(guān)系，喚起學(xué)生對“平移”的認(rèn)知.接著，引導(dǎo)學(xué)生利用描點法作出二次函數(shù)y=2x2與y=2x2+2的圖象(如圖1所示)，并根據(jù)圖象分析兩者之間的關(guān)系.

接下來，要求學(xué)生根據(jù)靜態(tài)圖形分析這兩個函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)的異同之處，并鼓勵學(xué)生根據(jù)自身知識找出y=2x2與y=2x2+2的圖象之間的關(guān)系.

在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)提示學(xué)生從函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、增減性等角度進(jìn)行思考.

學(xué)生通過動手繪制圖象能夠直觀感受到點、線的平移方法.在問題層層解決的過程中，滲透動靜結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生在動手作圖的基礎(chǔ)上對兩個圖象進(jìn)行對比分析，由此鞏固學(xué)生動靜結(jié)合的學(xué)習(xí)能力，促使學(xué)生深化對靜態(tài)圖形的平移認(rèn)知[3].

3.3 結(jié)合實時動態(tài)討論，促進(jìn)函數(shù)靜態(tài)應(yīng)用

動靜思維相互轉(zhuǎn)化是二次函數(shù)知識學(xué)習(xí)的基本要求.二次函數(shù)是初中生今后學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，所以動靜結(jié)合思維的培養(yǎng)對初中生來說更加關(guān)鍵.小組合作模式是新的課程目標(biāo)改革背景下，眾多數(shù)學(xué)教師所倡導(dǎo)的小組合作模式，不僅可以將學(xué)生從被動的學(xué)習(xí)模式中解放出來，而且能夠促使學(xué)生在自主探究中加強(qiáng)對知識的深層理解，從而營造良好的教學(xué)氛圍.

在二次函數(shù)習(xí)題教學(xué)中，筆者依照學(xué)生以往的課堂表現(xiàn)、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)成績以及性格特點將學(xué)生劃分為水平相當(dāng)?shù)膸讉€小組，并告訴學(xué)生本節(jié)課以小組競爭機(jī)制展開，最快答對題目的小組將會獲得精美小禮品.然后，提出問題：

已知二次函數(shù)y=-x2+ax(-1≤x≤1)，分別求下面三種情況下函數(shù)的最小值：

(1)a<-2；(2)-2≤a≤2；(3)a>2.

競爭機(jī)制的提出將會迅速引起各小組的動態(tài)討論.針對學(xué)生討論中的問題，引導(dǎo)學(xué)生分析自變量的范圍，并且結(jié)合字母系數(shù)a的取值范圍和二次函數(shù)圖象的頂點進(jìn)行分析.各小組在討論中明確了解題方向，很快解決了問題.

小組合作的過程，不僅加強(qiáng)了學(xué)生的動態(tài)思維碰撞，而且點燃了學(xué)生的創(chuàng)新意識和合作精神，這與素質(zhì)教育的核心理念不謀而合.在本節(jié)課教學(xué)中，筆者通過組織動態(tài)溝通交流，有效增強(qiáng)了學(xué)生對靜態(tài)理論的認(rèn)知及應(yīng)用，從而構(gòu)建了高效的二次函數(shù)課堂[4].

3.4 鏈接動態(tài)圖象分析，提高靜態(tài)解題能力

隨著我國現(xiàn)代信息技術(shù)的快速發(fā)展，信息化教學(xué)手段為廣大教育工作者提供了便利.在二次函數(shù)教學(xué)中，不論是數(shù)學(xué)建模，還是圖象分析等，都離不開動態(tài)的圖象分析.以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師常常采用板書畫圖的方式，不僅會出現(xiàn)作圖誤差，而且浪費了課堂教學(xué)時間.基于此，教師可以借助電子白板引領(lǐng)學(xué)生對動態(tài)的圖象進(jìn)行分析，這樣不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的直觀認(rèn)知，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題思維.二次函數(shù)中的動點問題常常作為中考數(shù)學(xué)的壓軸題出現(xiàn)，所以教師在講解動點問題時應(yīng)當(dāng)積極融入多媒體技術(shù)，使學(xué)生動靜交替地看待問題，在思考探究的過程中逐步掌握以靜制動的方式，從而有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

圖2

本題是為后面重點內(nèi)容作鋪墊，筆者借助電子白板出示圖象，引導(dǎo)學(xué)生在分析題目時熟悉圖象.由于本題涵蓋了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，因此，提醒學(xué)生從拋物線對稱軸和銳角三角函數(shù)性質(zhì)思考.

通過自主思考，大多數(shù)學(xué)生有了解題思路.筆者帶領(lǐng)學(xué)生共同梳理解題步驟，最后求出tan∠ACD的值.此時，學(xué)生的思維已經(jīng)完全被調(diào)動起來.接著，引出本節(jié)的重點內(nèi)容.

筆者利用電子白板繼續(xù)出示圖象(如圖2)與例1的第(2)問：

(2)若動點P從點A出發(fā)沿著線段AB以1個單位長度每秒的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從點C出發(fā)沿線段CB勻速運動.請問，線段PQ是否能在某一時刻被直線CD垂直平分？若能，請求出此時的時間t(單位：s)和點Q的運動速度；如果不能，請說明理由.

該題是動點問題，引導(dǎo)學(xué)生將動靜結(jié)合的思想作為切入點，分析靜點與動點的關(guān)系，使學(xué)生明晰解題思路.通過分析靜止條件和動點的運動軌跡，學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)本題的突破口.之后，利用電子白板依次展示學(xué)生的思路，并從多個角度動態(tài)分析.最后，帶領(lǐng)學(xué)生一起梳理解題步驟：

設(shè)直線CD垂直平分PQ，連接DQ，利用∠PDC=∠QDC，PD=DQ，∠ACD=∠ADC可以得到∠ACD=∠QDC，從而可以得出t=5秒，線段PQ被直線CD垂直平分.再利用時間、速度、路程之間的關(guān)系便可以求到點Q的運動速度.

借助動態(tài)的圖象幫助學(xué)生一步步地細(xì)致分析，促使學(xué)生明確每一步的含義，由此在無形中幫助學(xué)生提高了解決問題的能力[5].

3.5 利用靜態(tài)問題引導(dǎo)，再探動態(tài)函數(shù)圖象

二次函數(shù)與初中階段的其他知識相比，除了表層知識的擴(kuò)充，更多的是思維難度的上升，所以教師應(yīng)當(dāng)積極貫徹以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.問題導(dǎo)學(xué)法能夠有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生將主動走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，從而逐步提升學(xué)習(xí)效果.因此，在二次函數(shù)教學(xué)中，教師可以利用問題導(dǎo)學(xué)法喚起學(xué)生的互動意識，促使學(xué)生在靜態(tài)的問題引導(dǎo)下呈現(xiàn)動態(tài)思維.

在確定的區(qū)間范圍內(nèi)二次函數(shù)最值問題分析的教學(xué)中，筆者采用循序漸進(jìn)的問題不斷引導(dǎo)學(xué)生展開分類討論，在分析到區(qū)間范圍限定部分時，及時引入二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

例2求函數(shù)y=x2+2ax+1，在區(qū)間[-1，2]上的最小值.

想要解決本道題目，學(xué)生需要分析出該二次函數(shù)的對稱軸.因此，筆者提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考：區(qū)間限定的劃分依據(jù)是什么？這樣一來，學(xué)生便會和二次函數(shù)圖象的對稱軸聯(lián)系起來，并依照現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)迅速得出該二次函數(shù)的對稱軸為x=-a.緊接著，繼續(xù)拋出問題：當(dāng)函數(shù)y=x2+2ax+1的對稱軸在區(qū)間[-1，2]時最小值是什么？明顯的提示使學(xué)生很快計算出-1≤-a≤2時，ymin=1-a2.在學(xué)生的思路被打開后，將時間完全交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)對稱軸處于區(qū)間右側(cè)和處于區(qū)間左側(cè)時的情況進(jìn)行討論，使學(xué)生在辯證分析的過程中形成分類討論的意識，明確定區(qū)間的動軸問題，并加深了對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的認(rèn)知.

在整個教學(xué)中，始終借助問題驅(qū)動學(xué)生的動態(tài)思考，不僅建立了新型的師生互動，而且能夠促使學(xué)生感受到解決數(shù)學(xué)問題的樂趣與成就感，從而夯實了動靜結(jié)合課堂的構(gòu)建[6].

4 結(jié)束語

總而言之，動靜結(jié)合思想在二次函數(shù)的教學(xué)中起到了非常關(guān)鍵的作用.數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)立足于學(xué)生實際，積極制定動靜結(jié)合的教學(xué)方案，讓學(xué)生在動靜交替的學(xué)習(xí)狀態(tài)下高效理解抽象的函數(shù)知識，從而構(gòu)建高效初中數(shù)學(xué)課堂.