閆志忠

（北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，北京 100081）

一、“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)現(xiàn)狀

成果導(dǎo)向教育理念（Outcomes-Based Education,OBE），簡稱OBE理念，強調(diào)以學(xué)生為中心，以學(xué)生發(fā)展為目的，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。基于OBE理念，不少學(xué)者和教師進行了OBE理念下“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)研究。例如，黃永輝等介紹了“數(shù)學(xué)分析”課程中的教學(xué)案例，挖掘了“數(shù)學(xué)分析”課程中蘊含的思政元素，探討了基于OBE理念下“數(shù)學(xué)分析”課程思政的教學(xué)研究。張愛清等深刻分析了“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)現(xiàn)狀，將OBE理念融入“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)，從教師教學(xué)理念的更新、教學(xué)目標的制訂、教學(xué)方法的改革、考核方式的完善等方面探討了“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)模式的改革。張杰等總結(jié)了“數(shù)學(xué)分析”課程的特點及在教學(xué)過程中存在的問題，然后將OBE教學(xué)理念應(yīng)用于這門課程教學(xué)中，從課程大綱制定、啟發(fā)式教學(xué)模式、基于MATLAB科學(xué)計算軟件的數(shù)學(xué)實驗和課程評價標準與方式等四個方面，闡述了OBE理念在“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)中的應(yīng)用。駱樺等探討了“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)與信科專業(yè)結(jié)合的教學(xué)模式。大類“數(shù)學(xué)分析”課程是理工科非數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)的一門重要的必修基礎(chǔ)課。如果把數(shù)學(xué)比喻成一個王國的話，那么數(shù)學(xué)分析就是這個王國的基礎(chǔ)語言。隨著人工智能、信息科技、科學(xué)計算及金融數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，“數(shù)學(xué)分析”的思想和方法幾乎滲入現(xiàn)代科技的所有領(lǐng)域，越來越多的行業(yè)迫切需要高深的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識，而要運用數(shù)學(xué)創(chuàng)造高技術(shù)，就必須掌握好“數(shù)學(xué)分析”這一重要的數(shù)學(xué)王國語言?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)正由工程層面的創(chuàng)新轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)理論層面的研究，而基礎(chǔ)理論層面的研究需要抽象思維、邏輯推理、科學(xué)計算和空間想象等能力。與其他學(xué)科相比，“數(shù)學(xué)分析”集中體現(xiàn)了對這些能力的培養(yǎng)。當今誰能占領(lǐng)數(shù)學(xué)最高地，誰就能占領(lǐng)技術(shù)的最高地。數(shù)學(xué)在現(xiàn)代技術(shù)進步中，扮演著越來越重要的角色。“數(shù)學(xué)分析”課程所講授的數(shù)學(xué)基本概念、理論和方法不僅為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)，而且有利于提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，在培養(yǎng)學(xué)生樹立科學(xué)的世界觀、增強學(xué)生分析問題和解決問題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識等方面，具有不可替代的作用。

目前，在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中，教學(xué)方面存在的問題是講解太細、太煩瑣、過于注重講授；學(xué)生方面的問題是被動接受知識、不愿意思考與交流，僅把“數(shù)學(xué)分析”課程學(xué)習(xí)當作一項任務(wù)來完成，缺少學(xué)習(xí)的主動性。由于“數(shù)學(xué)分析”課程主要講授傳統(tǒng)的經(jīng)典數(shù)學(xué)理論，學(xué)生和教師已經(jīng)習(xí)慣了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，因此，其課程本身的重要性和特點決定了教學(xué)改革難度比較大。而且，傳統(tǒng)的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)比較注重培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)思維和科學(xué)素養(yǎng)，重點講解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)模型和科學(xué)思路，很少將數(shù)學(xué)理論知識與專業(yè)知識相結(jié)合，導(dǎo)致學(xué)生在大一學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”時，由于缺少對自己專業(yè)課程的足夠認識，并未理解該課程的應(yīng)用價值，造成一些學(xué)生對“數(shù)學(xué)分析”課程重視程度不夠，學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)動力不足，學(xué)習(xí)效果不理想。因此，改革傳統(tǒng)的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式勢在必行。針對目前國內(nèi)大類書院制培養(yǎng)下的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)面臨的突出問題，基于OBE理念，本文提出了以項目為載體、以數(shù)學(xué)為工具的“數(shù)學(xué)分析”項目制課程教學(xué)模式，將“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)與專業(yè)課程進行有機結(jié)合，根據(jù)學(xué)生的專業(yè)要求更新教學(xué)內(nèi)容，堅持分層次教學(xué)，通過制訂不同的教學(xué)大綱，開展專題研究，合理決定教學(xué)側(cè)重點等措施，使“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)與專業(yè)培養(yǎng)目標緊密結(jié)合，為學(xué)生專業(yè)學(xué)習(xí)奠定堅實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，符合OBE教育理念和人才成長規(guī)律。

二、與專業(yè)結(jié)合的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)實踐

以數(shù)學(xué)知識教育為重點，以素質(zhì)教育為核心，以能力培養(yǎng)為手段，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科優(yōu)勢，將“數(shù)學(xué)分析”基礎(chǔ)知識融入學(xué)生的專業(yè)知識中，建立適合專業(yè)特點的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)課程內(nèi)容體系和案例，努力實現(xiàn)學(xué)生基礎(chǔ)知識、科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的全面提升。

（一）把“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)知識相結(jié)合

我們在設(shè)計“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容體系時，有目的將某一數(shù)學(xué)知識點進行外延，選擇專業(yè)相關(guān)例題，通過舉例將數(shù)學(xué)科學(xué)思維素養(yǎng)與專業(yè)知識有機融合，使學(xué)生理解“數(shù)學(xué)分析”課程在其專業(yè)課程中的實用價值，提升學(xué)生對“數(shù)學(xué)分析”課程的重視，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。如針對信控專業(yè)和機電專業(yè)的學(xué)生，結(jié)合電容式加速度傳感器進行授課，對傳感器件的數(shù)學(xué)模型進行分析。為培養(yǎng)學(xué)生的工程意識，近年來，在教學(xué)中嘗試引入工程實例，結(jié)合數(shù)學(xué)在工程技術(shù)中的應(yīng)用進行教學(xué)實踐。例如：通過熱力學(xué)中的波動方程進行“數(shù)學(xué)分析”課堂例題的真實化、專業(yè)化授課。

（二）以專業(yè)課程中的數(shù)學(xué)問題作為案例開展專題研究

在講授“數(shù)學(xué)分析”課程基礎(chǔ)知識之后，針對不同專業(yè)的學(xué)生有所側(cè)重地講述與專業(yè)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識模塊和專業(yè)實踐案例。通過數(shù)學(xué)概念引入、數(shù)學(xué)思想建立、數(shù)學(xué)方法的解決手段，以及數(shù)學(xué)與專業(yè)相對應(yīng)的專業(yè)案例，強調(diào)數(shù)學(xué)概念和專業(yè)知識的相通性，達到提高學(xué)生興趣、樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心、鞏固數(shù)學(xué)知識的目的。

（三）針對不同專業(yè)的學(xué)生制訂不同的授課計劃

根據(jù)各專業(yè)特點調(diào)整教學(xué)方法，擴充和刪減教學(xué)內(nèi)容，精選補充最基本、最必要、最實用的內(nèi)容，制訂不同的授課計劃?！皵?shù)學(xué)分析”課程通常分為近代模塊、極限和函數(shù)連續(xù)模塊、微分學(xué)模塊、積分學(xué)模塊、級數(shù)和微分方程模塊、數(shù)學(xué)實驗?zāi)K等。

1.力學(xué)、機械專業(yè)：在講述數(shù)學(xué)知識時，重視數(shù)學(xué)思想的滲透。例如，向工程力學(xué)和固體力學(xué)專業(yè)學(xué)生講授材料的強度、剛度和撓度等概念，以及風(fēng)阻尼器原理時，滲透數(shù)學(xué)分析微元法的思想。結(jié)合前沿研究課題，提煉并講授力學(xué)、機械專業(yè)中的數(shù)學(xué)問題。例如，聲子晶體在波調(diào)控領(lǐng)域展現(xiàn)了超出常規(guī)材料的力學(xué)性能，其最重要的特性就是波帶隙特性，在聲學(xué)二極管、聲學(xué)斗篷、熱力學(xué)斗篷等方面具有潛在的重要應(yīng)用，在求帶隙時，從數(shù)學(xué)方面提煉由偏微分方程控制的波動方程在聲子晶體中的傳播問題，探討偏微分方程的特征值的求解問題。此外，噪聲、振動與聲振粗糙度控制技術(shù)（NVH技術(shù)）在現(xiàn)今的汽車制造技術(shù)中日趨重要，汽車的減振降噪是國內(nèi)各大汽車制造廠商面臨的巨大技術(shù)難題，因此，我們可以從減振降噪材料的應(yīng)用方面探討如何更好地實現(xiàn)汽車的減振降噪。汽車的減振降噪材料是聲子晶體，其帶隙特性能夠在汽車減振降噪中發(fā)揮屏蔽特定頻率聲波的重要作用。聲波帶隙是指在一定頻率范圍內(nèi)完全禁止聲波在材料中的傳播，這個頻率范圍就稱為帶隙。從數(shù)學(xué)中提煉的問題就是對聲波方程，也就是偏微分方程進行計算，從而得到特征方程，由此得到頻散圖，進而對聲波帶隙進行研究。

2.信息科學(xué)、計算機專業(yè)：結(jié)合計算機相關(guān)課程，使學(xué)生逐漸掌握一些常用的數(shù)學(xué)軟件，如Matlab和Mathematica，學(xué)會使用這些軟件求解函數(shù)表達式的極限、微分與積分、代數(shù)方程的根等，從而使學(xué)生在大學(xué)低年級就具有較熟練使用計算機的能力，增強學(xué)生對課堂所學(xué)知識的理解，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并為信息科學(xué)、計算機專業(yè)后續(xù)課程“科學(xué)計算與信息處理”兩大方向的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。針對計算機專業(yè)學(xué)生，可以向其介紹蒙特卡羅方法，該方法應(yīng)用于求解微分方程，與電子計算機的發(fā)展有著很大的關(guān)系。在電子計算機出現(xiàn)以前，如果進行蒙特卡羅模擬需要重復(fù)進行很多次試驗，并記錄結(jié)果，十分浪費資源且效率低下，但是在計算機出現(xiàn)之后，這些試驗都可以通過生成隨機數(shù)在電子計算機上進行模擬，大大增加了蒙特卡羅方法的效率。

早在20世紀40年代，就有學(xué)者注意到了可以使用蒙特卡羅方法求解一些復(fù)雜的微分方程，尤其是求解關(guān)于描述核粒子在介質(zhì)中傳輸?shù)牟柶澛匠?、Fokker-Planck方程及薛定諤方程，并且討論了蒙特卡羅方法求解這些問題的可行性。在20世紀50年代，有學(xué)者應(yīng)用蒙特卡羅方法求解二維的位勢方程的初值問題，并與精確解做比較。隨著計算機科學(xué)的發(fā)展，使用電子計算機進行蒙特卡羅模擬越來越方便，運用蒙特卡羅方法求解問題不再像以前那樣缺乏效率，因此，運用蒙特卡羅方法求解微分方程越來越受到關(guān)注。在20世紀60年代，有學(xué)者使用蒙特卡羅馬爾可夫鏈方法在計算機上實現(xiàn)了求解拋物型偏微分方程的應(yīng)用，在一些文獻中，我們可以看到，在蒙特卡羅模擬的次數(shù)N=1000時，用蒙特卡羅馬爾可夫鏈方法得到的擴散方程的數(shù)值解和精確解的誤差是很小的，而且文章中也說明了這種蒙特卡羅模擬在當時的簡單計算機上十分容易實現(xiàn)。隨著計算機科學(xué)的進一步發(fā)展，蒙特卡羅方法在求解微分方程方面得到了更加廣泛的應(yīng)用，一些學(xué)者依靠蒙特卡羅方法求解決熱傳導(dǎo)問題，詳細地討論了在雙介質(zhì)條件下的格林函數(shù)，并且討論了在正弦熱源、均勻熱源及給定表面溫度時的熱傳導(dǎo)方程的求解并推廣到了三介質(zhì)情形，給出了相應(yīng)情形下的算例，可以看到蒙特卡羅方法適用于各種情形，而且蒙特卡羅方法計算的結(jié)果誤差都是可接受的，文章詳細討論了誤差的原因，同時展示了在電子計算機上是如何實現(xiàn)用蒙特卡羅方法求解熱傳導(dǎo)方程的。一些學(xué)者利用專用數(shù)字計算機進行蒙特卡羅模擬求解Poisson方程，并且通過算例表明，在專用計算機上使用蒙特卡羅模擬求解Poisson方程時，得到的結(jié)果會比一般的電子計算機求解相同問題時速度更快，并且解的精度會比一般的電子計算機上的解精度提高兩個小數(shù)點。通過引入蒙特卡羅方法與計算機發(fā)展的密切關(guān)系，使計算機專業(yè)的學(xué)生體會到數(shù)學(xué)方法與計算機的依賴關(guān)系，從而對計算機硬件方面的專業(yè)學(xué)習(xí)更有針對性和興趣性。

（四）合理規(guī)劃教學(xué)側(cè)重點

以往“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)由于兼顧各專業(yè)學(xué)習(xí)的局限性，就一些專業(yè)學(xué)生而言部分知識學(xué)非所用，并且存在理論脫離實際，重理論學(xué)習(xí)、輕能力培養(yǎng)等現(xiàn)象。這就需要在教學(xué)內(nèi)容的改革中注重專業(yè)知識及教學(xué)內(nèi)容的選擇，在保持“數(shù)學(xué)分析”課程內(nèi)容體系基本完整的前提下，在充分了解課程內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)專業(yè)課程的聯(lián)系情況的基礎(chǔ)上，針對不同專業(yè)的理工科學(xué)生，有所側(cè)重地安排“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建合理科學(xué)的“數(shù)學(xué)分析”與專業(yè)課程相結(jié)合的特色知識模塊。

三、實踐效果

教師結(jié)合各專業(yè)特點給出一些有意義和有價值的論文題目，這些題目是從專業(yè)中提取出來的研究課題，學(xué)生通過圖書館查閱文獻資料，分析、歸納、總結(jié)后寫成論文作為平時成績依據(jù)。通過結(jié)合專業(yè)情況進行“數(shù)學(xué)分析”實踐教學(xué)，取得了一定效果：（1）通過修訂教學(xué)大綱、制訂不同專業(yè)教學(xué)計劃、改革教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法等措施，滿足了不同層次、不同專業(yè)學(xué)生的需要。（2）“數(shù)學(xué)分析”課程教師與專業(yè)學(xué)院教師合作優(yōu)選出完整的專業(yè)實際問題，編制了包括數(shù)學(xué)問題提出、數(shù)學(xué)問題解決、對數(shù)學(xué)知識掌握和專業(yè)學(xué)習(xí)問題極大幫助的案例庫，對學(xué)生學(xué)好專業(yè)知識具有事半功倍的作用。（3）“數(shù)學(xué)分析”課程面向?qū)I(yè)、突出應(yīng)用的教學(xué)模式，為兄弟院校和物理等其他課程教學(xué)提供了借鑒。經(jīng)過一年的教學(xué)實踐，筆者對結(jié)合專業(yè)知識的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)效果進行了調(diào)查分析，調(diào)查對象是北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院、徐特立學(xué)院和求是書院大約1000名學(xué)生。調(diào)查結(jié)果顯示，絕大部分學(xué)生認為在“數(shù)學(xué)分析”課程中有機融合專業(yè)知識和案例，能夠調(diào)動上課積極性，提高學(xué)習(xí)效率，具體分析結(jié)果如圖1所示。

圖1 結(jié)合專業(yè)知識的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)效果調(diào)查結(jié)果

通過與專業(yè)有機融合的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)實踐，面向?qū)I(yè)，以專業(yè)為導(dǎo)向，突出應(yīng)用，倡導(dǎo)“從專業(yè)中來，到專業(yè)中去”的教學(xué)理念，極大方便了后繼專業(yè)課程的教學(xué)，促進了學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。