浙江省寧波市海曙區(qū)集士港鎮(zhèn)中學(xué) (315171) 張 丹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)的“綜合與實(shí)踐”是以問(wèn)題為載體，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng).浙教版教材是通過(guò)設(shè)置“探究活動(dòng)”、“設(shè)計(jì)題”和“課題學(xué)習(xí)”等選學(xué)材料來(lái)體現(xiàn).但是，多數(shù)教師對(duì)教材中這些材料處理一般是“視而不見(jiàn)”，或讓學(xué)生“自主學(xué)習(xí)”，因此很少有學(xué)生去花時(shí)間研究在教師看來(lái)“毫無(wú)意義”的學(xué)習(xí)內(nèi)容.事實(shí)上，這些材料在教材中不是可有可無(wú)的，它有助于學(xué)生學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，是教材內(nèi)容的重要組成部分〔1〕.對(duì)于教材中選學(xué)內(nèi)容教學(xué)，教師可以采用拓展課的形式，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)：即在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的學(xué)習(xí)過(guò)程〔2〕.本文筆者從浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下的一道“設(shè)計(jì)題”出發(fā)，整合三角形、四邊形等相關(guān)知識(shí)，開(kāi)展了一節(jié)“反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)”的拓展課，現(xiàn)把執(zhí)教過(guò)程與思考予以展示，與同仁分享.

一、目標(biāo)設(shè)定

基于學(xué)情分析與設(shè)計(jì)題的表述，筆者設(shè)定以下的教學(xué)目標(biāo)：

(1)學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證和證明的全過(guò)程，理解反比例函數(shù)的圖象關(guān)于y=x和y=-x成軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，及雙曲線(xiàn)中直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線(xiàn)段保持等量關(guān)系的性質(zhì).

(2)學(xué)生通過(guò)一系列問(wèn)題解決，培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)思維、問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

(3)學(xué)生通過(guò)教師引領(lǐng)、獨(dú)立思考和合作交流，進(jìn)一步提升自身的幾何直觀、邏輯推理和模型思想等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、教學(xué)過(guò)程

1．呈現(xiàn)問(wèn)題，激發(fā)興趣

圖1

(1)求k的值；

(2)求a,b,c的值；

(3)求點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo).

2.深化問(wèn)題，探索性質(zhì)

師：從問(wèn)題1解決中，我們可以看到，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系是“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是互為相反數(shù)”，我們繼續(xù)探索以下問(wèn)題.

問(wèn)題2 觀察上題中A,B,C,D各點(diǎn)的坐標(biāo)特征，回答下面問(wèn)題：

(2)從圖形直觀上來(lái)看，點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)C，點(diǎn)P與點(diǎn)Q是否關(guān)于同一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？

生1：A坐標(biāo)為(1,6)，D坐標(biāo)為(6,1)，B坐標(biāo)為(2,3)與C坐標(biāo)為(3,2)，可見(jiàn)A與D，B與C的坐標(biāo)關(guān)系是“橫、縱坐標(biāo)互換位置”.

生3：點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)C，點(diǎn)P與點(diǎn)Q都關(guān)于第一、三象限的角平分線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

師：它們都關(guān)于第一、三象限的角平分線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，那么，怎樣證明“點(diǎn)P(a,b)和Q(b,a)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)”呢？

學(xué)生陷入沉思之中，很多學(xué)生處于惘然.略待片刻，教師緩緩提示：以前我們是怎樣證明“點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)(-a,-b)關(guān)于原點(diǎn)成對(duì)稱(chēng)”？

生4：如圖2，不妨設(shè)a,b都大于0，分別過(guò)點(diǎn)P、Q作PN⊥X軸，QM⊥Y軸,垂足為別為N、M.則OM=ON=b,QM=PN=a,∠PNO=∠QMO=90°,所以⊿PNO≌⊿QMO,于是，OQ=OP,∠QOM=∠PON,故∠QOG=∠POG,即PQ被直線(xiàn)y=x垂直平分，所以點(diǎn)P(a,b)和Q(b,a)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).

圖2

師：漂亮﹗生4完美證明了雙曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)y=x成軸對(duì)稱(chēng)圖形.那么，雙曲線(xiàn)除了直線(xiàn)y=x是對(duì)稱(chēng)軸以外，還有沒(méi)有其他的對(duì)稱(chēng)軸？

剛進(jìn)入興奮狀態(tài)的學(xué)生，一下懵住了，過(guò)了片刻，生5起來(lái)回答.

生5：老師，另一條對(duì)稱(chēng)軸會(huì)不會(huì)是第二、四象限的角平分線(xiàn)y=-x？

師：你猜得太對(duì)了，雙曲線(xiàn)與以前學(xué)習(xí)過(guò)的矩形、菱形一樣，有2條互相垂直的對(duì)稱(chēng)軸.它的證明過(guò)程與生4敘述的過(guò)程類(lèi)似.具體的證明，請(qǐng)同學(xué)們回去自己研究.

設(shè)計(jì)意圖：教師從學(xué)生已有的關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律出發(fā)，讓學(xué)生研究A(1,6)與D(6,1)、B(2,3)與C(3,2)、P(a,b)與Q(b,a)的坐標(biāo)關(guān)系，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念；再借助圖形直觀，讓學(xué)生直觀感受雙曲線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)；讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證和證明的學(xué)習(xí)活動(dòng)全過(guò)程，既提升了學(xué)生邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3.拓展問(wèn)題，應(yīng)用性質(zhì)

師：雙曲線(xiàn)既是一個(gè)以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是一個(gè)2條對(duì)稱(chēng)軸互相垂直的軸對(duì)稱(chēng)圖形.這個(gè)性質(zhì)與以前學(xué)習(xí)過(guò)的矩形、菱形的對(duì)稱(chēng)性比較類(lèi)似，下面我們繼續(xù)探討以下問(wèn)題.

圖3

圖4

師：真的嗎？你能否給我們說(shuō)一下“雙曲線(xiàn)中不存在菱形”的理由.

生7：因?yàn)榱庑蔚乃膫€(gè)頂點(diǎn)都在2條對(duì)稱(chēng)軸上，而雙曲線(xiàn)中有1條對(duì)稱(chēng)軸y=-x是在第二、四象限，所以它不可能與雙曲線(xiàn)有任何交點(diǎn).

師：說(shuō)得真好﹗在圖4的矩形ABCD中，隱去矩形的三邊BC、CD、DA，作直線(xiàn)AB與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，得到問(wèn)題3.

圖5

生8：取AB的中點(diǎn)P,聯(lián)接OP，則OP所在的直線(xiàn)為y=x.由于AB⊥直線(xiàn)y=x，易得△OPD、△OPC是等腰直角三角形，于是PD=OP=PC,所以AD=BC.

生9：點(diǎn)P既是AB的中點(diǎn)，也是CD的中點(diǎn).

教師操作幾何畫(huà)板，把直線(xiàn)l繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生探討問(wèn)題4.

圖6

于是，很多學(xué)生畫(huà)圖、測(cè)量、討論，也有幾個(gè)學(xué)生在靜靜地思考之中，過(guò)了一會(huì)兒，有一位學(xué)生起來(lái)回答.

生10：我一開(kāi)始就想，會(huì)不會(huì)盡管直線(xiàn)l繞點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)，而AD=BC的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有變化呢？畫(huà)圖測(cè)量之后，結(jié)果的確如此.

教師利用幾何畫(huà)板的測(cè)量工具，進(jìn)一步驗(yàn)證生10猜想的正確性.

圖7

師：證明兩線(xiàn)段相等，常用全等三角形方法，那么怎樣構(gòu)造兩個(gè)三角形呢？

生眾：過(guò)點(diǎn)A、B分別作y軸、x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為M、N.顯然∠AMD=∠BNC，∠MAD=∠BCN.還差一個(gè)邊相等條件，比如AM=CN.

師：在圖7中，已有AM∥CN，欲證AM=CN，聯(lián)接MN，則只需證四邊形ACNM是平行四邊形，那么這該如何證明呢？

在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，課堂以“學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，更加體現(xiàn)了歷史學(xué)融入語(yǔ)文課堂的必要性。歷史學(xué)的融入讓語(yǔ)文課本的人文性更加生動(dòng)風(fēng)趣，讓學(xué)生愿意去接受和理解原本晦澀難懂的語(yǔ)言和文字，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由原先“要我學(xué)”的教學(xué)模式變成了“我要學(xué)”的課堂模式，從而真正實(shí)現(xiàn)“以生為本”的課堂模式，實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育。

生眾：只要證明AC∥MN，考慮到反比例函數(shù)k的幾何意義，應(yīng)該用面積方法去證明.

生11：如圖7，聯(lián)接OA、OB、BM、AN.因?yàn)锳M∥x軸，所以S△OAM=S△NAM，同理S⊿OBN=S⊿MBN，由于S⊿OAM=S⊿OBN=k，故S⊿NAM=S⊿MBN，所以AB∥MN.于是，四邊形ACNM是平行四邊形，所以AM=CN，易證⊿AMD≌⊿CNB，所以AD=BC.

師(驚喜)：很好，生12用解析法證明AB、CD的中點(diǎn)重合，從而說(shuō)明AD=BC，是個(gè)好方法.我們繼續(xù)探討下面問(wèn)題.

圖8

(1)請(qǐng)?zhí)骄縊F與CE的數(shù)量關(guān)系；

(2)聯(lián)接OA、OB，請(qǐng)?zhí)骄卡SAOB與直角梯形AFEB的面積關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：本教學(xué)片段是讓學(xué)生從雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性聯(lián)想到平行四邊形、矩形、菱形和正方形的對(duì)稱(chēng)性，然后“從特殊到一般”探討直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)構(gòu)成線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，最后讓學(xué)生研究“原點(diǎn)三角形”與直角梯形面積關(guān)系.筆者遵循“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”、“從特殊到一般”規(guī)律設(shè)置問(wèn)題序列，旨在通過(guò)學(xué)生自主探究、合作交流和師生互動(dòng)的方式，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、展現(xiàn)思考過(guò)程、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

4.解決問(wèn)題，提升素養(yǎng)

圖9

例2 如圖10，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在x軸正半軸上，連接AC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D.AE為∠BAC的平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線(xiàn)，垂足為E，連接DE.若AC=3DC，⊿ADE的面積為8，求k的值.(2019年寧波中考第18題)

圖10

設(shè)計(jì)意圖：例1與例2是問(wèn)題6結(jié)論的兩個(gè)應(yīng)用，解決例2需要學(xué)生綜合運(yùn)用幾何和代數(shù)兩大內(nèi)容領(lǐng)域的知識(shí).設(shè)計(jì)這兩個(gè)例題是為了培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)、“轉(zhuǎn)化與化歸”思想及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題能力，而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用意識(shí)應(yīng)該是數(shù)學(xué)拓展課的首要目標(biāo).

5.反思小結(jié)，分享成果

圍繞以下問(wèn)題進(jìn)行反思：本課的研究過(guò)程是怎樣的？有哪些研究方法？

通過(guò)反思，讓學(xué)生主動(dòng)把雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性與矩形對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行類(lèi)比，在探索過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)中“變”與“不變”的關(guān)系，領(lǐng)悟研究數(shù)學(xué)從“簡(jiǎn)單到復(fù)雜”、從“特殊到一般”思維方法.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)反思小結(jié)，讓學(xué)生感悟知識(shí)間的聯(lián)系，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系；掌握數(shù)學(xué)研究方法，不斷積累學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

三、幾點(diǎn)思考

教師要開(kāi)展拓展課教學(xué)，應(yīng)該做好以下三個(gè)方面的工作.

1.關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實(shí)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

在本課中，筆者是從學(xué)生已有知識(shí)“雙曲線(xiàn)中心對(duì)稱(chēng)性”出發(fā)，圍繞“雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性”主題，讓學(xué)生經(jīng)歷探究“雙曲線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性”、“雙曲線(xiàn)中的四邊形”、“雙曲線(xiàn)中直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線(xiàn)段保持等量關(guān)系”等問(wèn)題過(guò)程.在探究過(guò)程中，有畫(huà)圖、測(cè)量、猜測(cè)和驗(yàn)證等學(xué)生動(dòng)手操作和自主探索過(guò)程；有師生合作交流中互相質(zhì)疑、釋疑和解疑的過(guò)程；在學(xué)生迷惑時(shí)，幾何畫(huà)板介入給學(xué)生探究提供幾何直觀支持的過(guò)程.

2.凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)置階梯問(wèn)題

在本課中，筆者以問(wèn)題為引領(lǐng)，從易到難依次設(shè)計(jì)6個(gè)階梯問(wèn)題.問(wèn)題從“雙曲線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)”、“雙曲線(xiàn)中的四邊形”、“雙曲線(xiàn)中的相等線(xiàn)段”最后到“原點(diǎn)三角形與直角梯形面積相等”，解決問(wèn)題所需的知識(shí)和思維層層遞進(jìn)，讓不同層次的學(xué)生都獲得成功的體驗(yàn).

3.提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)

在本課中，筆者依次設(shè)置問(wèn)題3、問(wèn)題4與問(wèn)題5的三個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生在探究中經(jīng)歷了兩次從“特殊到一般”過(guò)程，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；在問(wèn)題4探究中借助幾何畫(huà)板驗(yàn)證，培育學(xué)生的幾何直覺(jué)素養(yǎng)；在問(wèn)題5證明中的“幾何綜合”證明和“代數(shù)解析”證明，培育學(xué)生邏輯推理.本課最后2個(gè)例題的解決，是利用問(wèn)題6的結(jié)果作為數(shù)學(xué)模型，旨在通過(guò)問(wèn)題解決培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).