溫 柔，孫惜媛，何 姿，顧鵬飛，丁大志

(南京理工大學 電子工程與光電技術學院，南京 210094)

0 引言

雷達信號的目標識別技術在軍事檢測防御系統(tǒng)中意義非凡，盲源分離(blind source separation, BSS)是解決雷達系統(tǒng)中混疊信號的有效途徑[1]。BSS最早是從“雞尾酒會問題”引申而來，其本質(zhì)上是一種功能強大的信號處理問題。該問題描述為：在若干個麥克風同時接收到若干個聲源的情況下，從混合的麥克風信號中恢復出各個聲源，欠定盲源分離(underdetermined blind source separation, UBSS)可以理解為麥克風數(shù)量小于聲源數(shù)量。本文在雷達系統(tǒng)的背景下，從接收到的微動群目標的混合信號中分離出各目標的回波信號。

自1985年Herault和Jutten[2]首次提出至今，BSS一直是研究的熱門方向，該領域中應用最廣泛的是Comon提出的獨立成分分析(independent component analysis, ICA)方法[3]。由于UBSS的不可逆性， ICA方法并不適用于此場景，因此Lewicki根據(jù)源信號的稀疏特性提出了稀疏分量分析方法(sparse component analysis, SCA)[4]，成為欠定領域中的前沿方法并被廣泛應用[5-6]。

2001年，Bofill和Zibulevsky基于SCA提出了經(jīng)典的“兩步法”[7]，該方法的許多參數(shù)設置雖然在當時沒有具體的理論支持，但仍具有重要的貢獻和參考價值。一般來說，兩步法首先通過未知的混合矩陣將若干個源信號混合得到回波信號，在該回波信號的基礎上對混合矩陣進行估計，然后利用前面估計出來的混合矩陣分離出各源信號。在第一步中，文獻[8]利用混合信號的局部協(xié)方差矩序列的非平穩(wěn)特性，將混合矩陣估計轉(zhuǎn)化為聯(lián)合近似對角化(joint approximate diagonalization, JAD) 最小化模型，文獻[9]將JAD最小化問題轉(zhuǎn)化為張量分解問題。文獻[10-11]使用合適的算法來檢測單源點，利用稀疏的單源點并結(jié)合聚類算法進行混合矩陣估計。文獻[12]提出了經(jīng)典的K-means聚類方法用于估計混合矩陣，該方法主要的不足之處在于源信號的個數(shù)要已知，這并不符合實際情況。由于欠定情況下的解混操作沒有唯一解，第二步將源分離問題建立為各種優(yōu)化模型。最經(jīng)典的方法為線性規(guī)劃算法中的l1范數(shù)最小化方法和最短路徑法[13-14]，l1范數(shù)最小化方法要求源信號足夠稀疏，最短路徑法只適用于在兩個觀測通道的情況下，因此這些經(jīng)典方法都具有非常大的局限性。文獻[15]提出了一種改進的l1范數(shù)最小化方法，以最小化源信號中分量值較小的部分元素為目標函數(shù)，采用線性規(guī)劃方法求解新的數(shù)學優(yōu)化模型的精確解，實現(xiàn)源信號重構(gòu)。文獻[16]基于源的拉普拉斯分布假設，提出了一種基于lp范數(shù)的源分離優(yōu)化模型，但是，當p小于0.75時，求得的解為局部極小值而非全局最優(yōu)解。第二步的另一種經(jīng)典方法是壓縮感知理論，文獻[17]在用壓縮感知理論解決欠定盲源分離問題時提出了一種基于分層耦合的字典訓練方法，通過對先驗信息的分層訓練，實現(xiàn)雷達信號的高精度重構(gòu)。

為解決上述問題，本文在“兩步法”框架的基礎上，以空中微動群目標為源信號[18]，雷達接收的回波為混合信號，提出了一種改進的兩階段混合矩陣估計和源分離方法。第一步，利用混合信號的局部協(xié)方差序列，將混合矩陣估計問題轉(zhuǎn)化為特征向量聚類問題。在聚類中，通過檢查數(shù)據(jù)集中每點的R鄰域來實現(xiàn)簇的分類。如果點I的R鄰域中數(shù)據(jù)點的個數(shù)多于P，即I點周圍密度較大時，則創(chuàng)建一個以I為聚類中心的簇，否則I點視為離群點，最后通過求得每一簇的均值來實現(xiàn)混合矩陣的估計。該方法優(yōu)點在于不需要預先輸入簇的個數(shù)，并能有效處理離群點。第二步，將源分離問題轉(zhuǎn)化為基于lp范數(shù)(0

1 盲源分離系統(tǒng)模型

BSS的系統(tǒng)模型可以劃分為線性和非線性兩種混合模型[19]，每種模型又分為瞬時、延時和卷積混合模型。本文主要研究的是線性瞬時混合模型。

在不考慮噪聲的情況下，線性瞬時混合模型的BSS過程可以表示為：

X(t)=HS(t)

(1)

Y(t)=WX(t)

(2)

式(1)中，S(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T為N維的未知源信號，H為M*N維的混合矩陣，X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T為M維的混合信號。式(2)中，W為N*M維的分離矩陣，Y(t)=[y1(t),y2(t),…,yN(t)]T為N維的分離信號。

以分離彈道中段的彈頭群目標為研究對象，當?shù)孛胬走_檢測到多個目標的混疊回波時，為了獲取目標的有用信息，需要從混疊回波中將每一個目標分離出來。如圖1所示，顯示了空中微動群目標的BSS模型圖。該模型由M個雷達系統(tǒng)接收N個目標的回波，從而獲得M個通道的混合信號，然后利用BSS算法分離出每一個目標的回波。

圖1 BSS模型圖Fig.1 The model diagram of BSS

為了解決上述模型的問題，本文的方法需要建立在兩個假設前提下：

1) 混合信號的數(shù)量小于源信號的數(shù)量，也就是說需要在欠定的情況下，即M

2) 每個源信號需要存在局部優(yōu)勢[20-21]，即在時域上至少存在一個子塊是僅由一個源信號起主導作用的。在不同的微動參數(shù)，例如微動頻率、微動形式等，以及不同的尺寸、樣式下，彈頭群目標的回波會存在局部優(yōu)勢，對于任意一個目標源信號僅需保證在某一時間段內(nèi)占主導作用，即可將該信號從混合信號中分離出來。如圖2所示，在三個源信號的電場實部圖中，紅色框中的每一塊在其時域中僅存在一個源信號有電場分量。

圖2 局部優(yōu)勢Fig.2 Local dominance

2 算法原理

2.1 整體框圖

本文將用一種改進的“兩步法”來解決圖2所示的BSS模型，該方法的原理框圖如圖3所示。

圖3 兩步法框圖Fig.3 The framework of ‘two-stage’

為了簡單起見，在下面的討論中X表示混合信號、S表示源信號、Y表示分離信號。在第一步中，先將混合信號X分塊，構(gòu)造每一塊的局部協(xié)方差矩陣，然后對每一個局部協(xié)方差矩陣進行特征值分解(eigenvalue decomposition, EVD)，提取出最大特征值對應的特征向量，最后將每一塊提取的特征向量進行聚類，得到混合矩陣。在第二步中，先對分離信號進行初始化，然后將混合信號與估計的混合矩陣進行列式分解，通過循環(huán)迭代得到分離信號。本文用密度聚類[22]的方法來完成第一步混合矩陣的估計，再用迭代拉格朗日乘子法[23]來完成第二步源信號的分離，以下章節(jié)將給出每一步的詳細講解。

2.2 混合矩陣估計

2.2.1 數(shù)據(jù)預處理

首先利用源信號的非平穩(wěn)特性引入局部協(xié)方差矩陣。將M*L維的混合信號X平均劃分為Q個相互獨立的子塊，每個子塊相當于一個M*[L/Q]維的矩陣。定義混合信號第q個子塊的局部協(xié)方差矩陣為：

(3)

(4)

(5)

對每一塊的局部協(xié)方差矩陣進行EVD為：

(6)

式(6)中，Vq是特征向量矩陣，∑q為特征值矩陣。提取Vq中最大特征值所對應的特征向量為aq，對所有Q個子塊進行如上所示的EVD，得到Q個特征向量，組成特征向量矩陣為A=[a1,…,aQ]。

對矩陣A的各列向量進行密度聚類，找出N個簇，將每一簇取均值求得混合矩陣。在(M,N)=(2,3)的情況下，將所有求得的特征向量降維映射到二維空間中，其散點圖如圖4所示。圖中共有3個簇，不同簇被標記成不同的顏色，每一個簇的均值對應估計的混合矩陣每個列向量，不在大密度區(qū)域中的點被標記為離群點。

圖4 聚類示意圖Fig.4 The diagram of the clustering

2.2.2 密度聚類算法

密度聚類算法核心思想是用一個點R鄰域內(nèi)的鄰點數(shù)量來衡量該點所在空間的密度，將大密度點及周圍密度可達的鄰點劃分為一簇，從而找出形狀不規(guī)則的簇，且不需要提前輸入簇的個數(shù)。

下面給出一些基本定義，對于特征向量矩陣A的每一列特征向量a，稱之為一個數(shù)據(jù)點。本算法重點考慮了兩個因素，定義密度時的鄰域半徑R和定義聚類中心點時的最小鄰域點數(shù)P。

1)R鄰域：定義NR(a)={b|d(b,a)≤R}為a的R鄰域，d(b,a)表示b與a之間的距離，顯然a,b∈A。

2)密度ρ：定義ρ(a)=|NR(a)|為a點的密度，它是依賴于鄰域半徑R的整數(shù)值。

3)聚類中心：若ρ(a)≥P，則稱a為聚類中心，由聚類中心構(gòu)成的集合為AC,ANC為非聚類中心點構(gòu)成的集合。

4)離群點：若ρ(a)

5)密度直達：若a∈AC,b∈NR(a)，則稱b是從a出發(fā)密度直達的。

6)密度可達：設a1,a2,…,am∈A，m≥2，若ai+1是從ai密度直達的，i=1,2,…,m-1，則am是從a1密度可達的。

密度聚類算法的過程基本描述為：任意滿足密度條件的聚類中心點I，數(shù)據(jù)集中所有從I點密度可達的點O所組成的集合構(gòu)成了一個完整的簇,接著繼續(xù)選擇另一個聚類中心點去尋找密度可達的數(shù)據(jù)集，構(gòu)成另一個簇，直到?jīng)]有新的點加到任何簇中。根據(jù)密度聚類算法估計混合矩陣的具體過程如下：

步驟一：輸入2.2.1節(jié)中的特征向量矩陣A，設置鄰域參數(shù)R和P，初始化聚類中心集，簇的個數(shù)。對于數(shù)據(jù)中的每個點，計算其對應的k個最近鄰域距離(一般k設置為4)，并將數(shù)據(jù)集中所有點對應的k個最近鄰域距離按照降序方式排序，繪制成“K-距離”曲線。R的值一般設定為曲線圖拐點位置的值。P值的設定需要滿足：P≥dim+1，dim表示數(shù)據(jù)的維度。例如，在本文算例中R設定為0.03，P設定為3。

步驟二：對于A中任意的a，通過歐式距離的度量方式，找到其R鄰域子集NR(a)，若子集個數(shù)|NR(a)|≥P，則將a加入聚類中心集AC，否則標記a為離群點。

步驟三：若AC=φ，則算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)入步驟四。

步驟四：在AC中選擇一個聚類中心a，建立新簇K，將a的R鄰域子集NR(a)所有的點加入K。并對NR(a)中所有未被處理的點b檢查其R鄰域子集NR(b)，若|NR(b)|≥P，則將NR(b)中未歸入任意簇的對象加入簇K。

步驟五：輸出N個簇：K1，…,KN，對每一個簇求均值，得到C1,…,CN，則C=[C1,…,CN]為估計的混合矩陣。

2.3 源信號分離

本文采用一種基于lp范數(shù)最小化的模型來實現(xiàn)源信號的分離，其目標在于根據(jù)線性瞬時混合模型式(1)找到Sd的最稀疏項，因此源分離的等效模型可以表示為[23]：

(7)

用拉格朗日乘子將式(7)轉(zhuǎn)化為一個新的無約束優(yōu)化問題：

(8)

式(8)中，α∈M為拉格朗日乘子。式(8)進一步展開為：

Sd=Ψ-1(Sd)CH(CΨ-1(Sd)CH)-1Xd

(9)

(10)

(11)

3 仿真分析

3.1 評價標準

本文通過相似度和相對均方根誤差(RRMSE)來衡量BSS系統(tǒng)的性能。

相似度是用來衡量兩個信號波形之間的相關程度的，表達式為：

(12)

相似度的范圍是0≤ρi≤1，ρi越大說明分離的效果越好，反之則越差，當ρi=1時表示分離的信號與源信號完全一樣，一般來說，相似度大于0.8時則可以認為分離效果較好。

相對均方根誤差(RRMSE)用來描述兩個信號之間的偏離程度，表達式為：

(13)

RRMSE越小說明分離的效果越好，分離出的信號數(shù)據(jù)與原始信號數(shù)據(jù)之間相差越小，相反的，分離效果越差。

3.2 仿真算例

本文算例采用球頭錐的模型來模擬真實彈頭結(jié)構(gòu)，利用旋轉(zhuǎn)對稱體球面等效源區(qū)域分解算法(EPA-BOR)[24]得到彈頭的回波信號，分別用本文提出的算法和文獻[25-26]提出的算法進行混合矩陣估計和源信號的分離。

考慮3個目標兩個通道的情況，設目標回波中有3個彈頭目標作進動，每個彈頭的大小各不相同，彈頭質(zhì)心為目標的中心，彈頭目標模型如圖5所示。

圖5 彈頭目標模型Fig.5 The model of the warhead targets

彈頭的尺寸和微動參數(shù)如表1所列。

表1 目標幾何和微動參數(shù)Tab.1 Target geometry and fretting parameters

雷達發(fā)射采用單頻脈沖信號，載頻為10GHz，采樣頻率為500Hz，雷達視線角為70°，觀測時間為 4s。一般來說，目標相對于雷達之間的運動有平動和微動兩種情況，本文研究的彈頭目標只考慮微動情況下的模型，暫時忽略平動的影響，利用EPA-BOR與電磁散射特性分析方法獲得3個目標的回波，如圖6所示。

圖6 三個源信號Fig.6 The three source signals

隨機生成的混合矩陣為：

(14)

由此，3個源信號經(jīng)過混合矩陣得到如圖7所示的兩個混合信號。

圖7 兩個混合信號Fig.7 The two mixing signals

由于在線性瞬時混合的模型中，混合矩陣是實數(shù)矩陣，混合信號的實部包含了有效信息，因此對混合信號的實部首先進行數(shù)據(jù)預處理再進行密度聚類，得到如圖8所示的聚類結(jié)果圖。圖中一共有3個不同的簇，不在大密度區(qū)域的點屬于離群點，然后對每一個簇求其均值，得到估計的混合矩陣為：

圖8 聚類結(jié)果Fig.8 The result of the clustering

(15)

采用文獻[25]中基于時頻分析的算法求得的混合矩陣為：

(16)

表2為兩種方法估計的混合矩陣的相似度和RRMSE，可見本文算法能夠更加準確地估出混合矩陣。

表2 混合矩陣的相似度和RRMSETab.2 Similarity and RRMSE of mixing matrix

采用基于lp范數(shù)最小化的算法與采用文獻[26]中基于壓縮感知的算法得到的分離信號與源信號進行對比，結(jié)果如圖9所示。

圖9 分離信號與源信號對比圖Fig.9 The contrast diagram of the separated signals and source signals

分別計算兩種算法與源信號的相似度和RRMSE，如表3所列。

表3 分離結(jié)果表Tab.3 The result table of the separation

結(jié)果表明，本文提出的算法得到的分離信號與源信號相似度較高，都達到99%以上，誤差也在一定范圍中，都在10%以下，與文獻[26]得到的分離結(jié)果比較，分離性能更加優(yōu)越。

4 結(jié)論

本文以空中微動群目標的BSS為研究目的，給出了一種基于密度聚類和lp范數(shù)最小化相結(jié)合的高效分離方法。實驗結(jié)果表明，本文提出的算法能夠有效應用在彈頭目標回波的盲分離中。利用該算法估算的混合矩陣精確度高，分離的信號與源信號相比誤差較小，在解決一些密度聚類算法中需要事先輸入類別個數(shù)問題的同時，避免一些源分離最優(yōu)化算法中出現(xiàn)局部極小值的問題，使分離性能大大提高，更加符合實際場景。當群目標之間距離較近時會存在耦合關系，因此未來的工作重點將解決群目標之間的相互耦合作用，存在耦合的群目標盲分離是一個有意義且具研究價值的問題。本文考慮的是一種理想的場景，未考慮噪聲對系統(tǒng)的影響，實際中噪聲是不可忽略的，如何在有效去除噪聲的情況下達到更好的分離效果是接下來的又一重點工作。