江蘇省宜興市丁蜀實(shí)驗(yàn)中學(xué) 滕萍萍

1 引言

初中數(shù)學(xué)主要培養(yǎng)學(xué)生七大關(guān)鍵能力，要求學(xué)生能夠通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，提高邏輯思維能力，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光和方法分析問(wèn)題，進(jìn)行知識(shí)遷移.只有具備了數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，才能提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人目標(biāo).

初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)面向的是全體學(xué)生.在學(xué)程設(shè)計(jì)上要關(guān)注學(xué)生的不同發(fā)展水平和認(rèn)知特點(diǎn)，注意慢化教育，關(guān)注學(xué)生的反饋，落實(shí)教學(xué)效果.教師首先要從知識(shí)的整體層面進(jìn)行思維建構(gòu)，關(guān)注核心知識(shí)，進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)和反饋；其次在教學(xué)過(guò)程中，從創(chuàng)設(shè)情境活動(dòng)、探究建構(gòu)知識(shí)聯(lián)系、拓展衍生思維發(fā)展、互相激發(fā)思維四個(gè)層面進(jìn)行學(xué)程設(shè)計(jì)；最后以學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，并結(jié)合知識(shí)拓展總結(jié)解決的思路、經(jīng)驗(yàn)等，以筆記或者手賬的形式進(jìn)行課堂展示.這樣的學(xué)程設(shè)計(jì)可以滿足學(xué)生的個(gè)性發(fā)展需求，提升邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力，在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上達(dá)到舉一反三的作用，使學(xué)生由一木見(jiàn)森林，提升關(guān)鍵能力[1].本文中以數(shù)學(xué)正切知識(shí)點(diǎn)為例進(jìn)行學(xué)程設(shè)計(jì)的研究，與各位同仁交流.

2 慢化學(xué)程模式的展開(kāi)過(guò)程

2.1 知識(shí)點(diǎn)檢測(cè)反饋

案例1如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4.對(duì)角線為BD，在對(duì)角線上有一點(diǎn)E，并且∠BAE等于22.5°，EF與AB垂直，垂足為點(diǎn)F，求線段EF的長(zhǎng).

圖1

解：在正方形ABCD中，

∵∠BAD=90°,∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=67.5°，

又∵∠ADB=45°，

∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADB=67.5°,

∴AD=ED=4.

∵EF⊥AB，∠ADB=45°，

∴△BFE為等腰直角三角形，

設(shè)計(jì)意圖：這道題改編自一道中考題，原題是作為試卷的壓軸題考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力.在新課講授中，筆者將其改編并作為新課的導(dǎo)入與知識(shí)點(diǎn)的檢測(cè)反饋，考查學(xué)生知識(shí)的掌握情況，以避免學(xué)生猜答案的可能性.由于這道題在解決過(guò)程中需要運(yùn)用到直角三角形的邊和角的關(guān)系，因此通過(guò)這道題引入新知，為本課研究銳角三角形的函數(shù)模型作了鋪墊，成為其中一種特殊的形式，從而為新概念的學(xué)習(xí)做好思維鋪墊.這樣的學(xué)程設(shè)計(jì)有利于新舊知識(shí)順利過(guò)渡，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力，提高知識(shí)應(yīng)用意識(shí).

2.2 自主學(xué)習(xí)

第一環(huán)節(jié):創(chuàng)設(shè)情境，搭建新舊知識(shí)過(guò)渡的思維橋梁，為新知的學(xué)習(xí)做好可以借鑒的知識(shí)準(zhǔn)備.

師：剛剛在解決問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用到直角三角形，大家想一想直角三角形除了直角以外還有哪些元素？在直角三角形的邊與邊以及角與角之間還有什么關(guān)系？我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些相關(guān)的知識(shí)？還需要研究哪些新的知識(shí)呢？

生1：直角三角形除了直角還有兩個(gè)銳角和三條邊.我們根據(jù)直角三角形的性質(zhì)已經(jīng)知道了兩個(gè)銳角的和為90°，兩條直角邊的平方和與斜邊的平方相等.但是，銳角與直角三角形的對(duì)邊、鄰邊以及斜邊的關(guān)系還不知道，需要進(jìn)一步研究.

師：我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)過(guò)哪些特殊的直角三角形？在這些特殊的直角三角形中，它們的邊和角有什么特定的關(guān)系？請(qǐng)同學(xué)們用圖形來(lái)表達(dá).

師：很好，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了特殊的直角三角形的邊角之間存在可以量化的關(guān)系，那么這樣的關(guān)系能不能推廣到一般的直角三角形呢？一般的直角三角形的邊和角之間又具有什么關(guān)系呢？有沒(méi)有規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)方式？下面我們就進(jìn)入到本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容“銳角三角函數(shù)——正切”.(教師板書本課的課題)

設(shè)計(jì)意圖：在這一環(huán)節(jié)中，教師整合各學(xué)習(xí)小組在預(yù)習(xí)過(guò)程中提出的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題進(jìn)行了反饋和補(bǔ)償.這些問(wèn)題涉及到的知識(shí)點(diǎn)分布在教材的各個(gè)環(huán)節(jié)中.學(xué)生通過(guò)小組合作，利用集體智慧突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，使新舊知識(shí)建立聯(lián)系，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有助于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，是進(jìn)行慢化教育課堂學(xué)程模式的基礎(chǔ)[2].學(xué)生課前的自主探究學(xué)習(xí)有利于為即將學(xué)習(xí)的新知做好思維鋪墊，并激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，有利于新知的學(xué)習(xí).

第二環(huán)節(jié):框架建構(gòu)，為建立數(shù)學(xué)模型搭建思維臺(tái)階.

師：同學(xué)們仔細(xì)閱讀課本，總結(jié)本課一共研究了哪些問(wèn)題？教材中是通過(guò)什么方法進(jìn)行研究的？你有其他的研究方法嗎？

圖2

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀教材，分析教材中知識(shí)點(diǎn)的講解方法從而理解編者的思路，進(jìn)而與自己的解題思路進(jìn)行連接，激發(fā)學(xué)生探索新的研究方法.教師從學(xué)生的角度進(jìn)行思維的重組和加工，為學(xué)生搭建思維的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與研究教材，在自主的思考中理解數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而學(xué)會(huì)如何使用數(shù)學(xué)知識(shí).教師為學(xué)生搭建的階梯使學(xué)生能夠一步步地水到渠成地理解正切的定義.同時(shí)，在教學(xué)中，教師將正切線的學(xué)習(xí)進(jìn)行前置，從而獲取了正切值的一般研究方法，并揭示了正切值在定義域內(nèi)增減的變化規(guī)律.這些思維方式在教學(xué)過(guò)程中得到了潛移默化的滲透，實(shí)現(xiàn)了這一學(xué)程模式建立的價(jià)值，使學(xué)生的思維能力逐步提高.

第三環(huán)節(jié):拓展延伸，為感悟數(shù)學(xué)建模思想提供有效的載體.

案例2如圖3，正方形網(wǎng)格中的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，AD邊的中點(diǎn)為點(diǎn)O，假設(shè)將四邊形ABCD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，嘗試解決以下問(wèn)題：(1)畫出四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)后的圖形；(2)求點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度；(3)設(shè)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B′，求tan∠DAB′的值.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：這道題作為聯(lián)系新知識(shí)的有效載體，是因?yàn)榻柚@道題可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.本題通過(guò)直觀的網(wǎng)格圖，發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維，并且滲透數(shù)學(xué)的構(gòu)造法和符號(hào)化表達(dá)，建構(gòu)起銳角三角函數(shù)模型.在慢教育的學(xué)程模式下，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的左右連接，上下貫通和知識(shí)的序列化，從而固化思維模型.

慢化數(shù)學(xué)學(xué)程模式，重視數(shù)學(xué)理論的講解，以豐富的活動(dòng)載體引導(dǎo)學(xué)生反思課堂.學(xué)生的自覺(jué)反思是深入學(xué)習(xí)的最好方式，促使學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思想方法，從而能夠營(yíng)造數(shù)學(xué)課堂的學(xué)術(shù)性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)慢教育的人文價(jià)值[3].

第四環(huán)節(jié):互動(dòng)交流，建構(gòu)數(shù)理體系的平臺(tái).

師：本課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？是通過(guò)什么方法進(jìn)行研究的？

生3：今天我們學(xué)習(xí)了有關(guān)銳角三角函數(shù)的正切概念和如何表示正切的值，并且學(xué)習(xí)了如何計(jì)算銳角的正切值，以及銳角正切值的變化規(guī)律.研究的方法是從特殊到一般，從生活的視角出發(fā)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想和數(shù)學(xué)建模思想以及相互轉(zhuǎn)化的方法.

師：很好，那么假設(shè)我們猜測(cè)編者的意圖，你們覺(jué)得接下來(lái)還會(huì)研究哪些問(wèn)題呢？

生4：我想還會(huì)繼續(xù)研究直角三角形中銳角的對(duì)邊與斜邊的比，以及鄰邊與斜邊，鄰邊與對(duì)邊的關(guān)系.

師：那么還會(huì)在一般三角形的研究嗎？請(qǐng)大家課后查找資料進(jìn)一步調(diào)查研究.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在反思和學(xué)習(xí)過(guò)程中結(jié)合教師的引導(dǎo)、點(diǎn)撥，推動(dòng)了學(xué)生學(xué)術(shù)能力的提高，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)研究回到了教育的本質(zhì)，即離開(kāi)課堂之后即使忘了數(shù)學(xué)知識(shí)還能留下數(shù)學(xué)思想.

3 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)程模式的建構(gòu)突出了學(xué)生的主體地位，使教師發(fā)揮出適度的引導(dǎo)、點(diǎn)撥的作用，在教學(xué)過(guò)程中逐漸滲透數(shù)學(xué)思想和方法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)長(zhǎng)期目標(biāo)的落實(shí).