楊宇

（1.山西省交通科技研發(fā)有限公司，山西 太原 030032；2.山西省智慧交通研究院有限公司，山西 太原 030032）

0 引言

巖石強度理論可以表征巖石在破壞條件下的應力狀態(tài)和強度參數(shù)之間的關系，是巖土工程設計的理論基礎[1]。目前，大部分強度準則是基于巖石三軸壓縮試驗提出，即考慮巖石的3個主應力，主要反映巖石的抗壓和抗剪性能。但是，在一些工況下，需要巖石承受拉張應力，而且?guī)r石抵抗拉應力的能力很差。例如，在地質構造穩(wěn)定的山區(qū)進行硐室開挖，硐室上覆圍巖層理水平，在硐室開挖后，頂端圍巖在自重應力的作用下，會產(chǎn)生向兩側的拉應力，使得上覆巖層發(fā)生拉張斷裂，對硐室穩(wěn)定性造成影響。因此，在工程中，巖石抗拉強度是一個重要的力學參數(shù)。

目前，測試巖石抗拉強度的方法有很多，在現(xiàn)場主要通過點荷載試驗測定抗拉強度，但是這種方法測得的結果離散型較大，只能粗略反映抗拉強度，若要得到更準確的抗拉強度，還需要借助室內力學試驗進行測試。主要的室內測試方法有兩種，直接拉伸試驗和間接拉伸試驗，直接拉伸試驗可以精確地測得巖石抗拉強度，但是由于其試樣制備困難，沒有得到較廣泛的使用。間接拉伸試驗包括劈裂法和抗彎法，其中劈裂法應用最為廣泛。但是劈裂法也存在很多問題，譬如加載方式、試樣尺寸、計算方法等，國內外學者進行了相關的研究，這里不作贅述。

雖然關于巖石抗拉強度的研究逐漸深入，但是還存在諸多問題，巖石破裂形態(tài)與抗拉強度的關系尚不明確，間接拉伸法計算巖石抗拉強度中的誤差分析，考慮巖石各向異性的抗拉強度計算等。基于此，本文結合前人研究成果，對比不同破裂形態(tài)，對傳統(tǒng)抗拉強度計算公式進行了改進。此外，分別利用幾種不同強度準則預測了巖石的抗拉強度，通過與試驗數(shù)據(jù)進行對比，判斷了強度準則預測抗拉強度的適用性。研究結果可以為抗拉強度計算和預測提供一定的科學依據(jù)。

1 幾種強度準則

1.1 直線型Mohr-Coulomb準則

Mohr-Coulomb強度準則建立于1900年，直至現(xiàn)在仍然是工程設計的主要依據(jù)。該準則是基于巖土材料的剪切破壞提出的，沒有考慮中間主應力的影響，利用莫爾圓來表示應力狀態(tài)，其表達式為[2]：

式中：τ為剪應力；c為黏聚力；σ為正應力；φ為內摩擦角。

由式（1）可以推導得到主應力的表達式：

式中：σ1和σ3分別表示最大主應力和最小主應力。

令σ1=0，σ3=-σt，可以得到單軸抗拉強度σt的表達式：

1.2 拋物線型Mohr-Coulomb準則

通過大量試驗發(fā)現(xiàn)，巖土材料的包絡線并非是一條直線，因此佘成學等人[3]提出了雙參數(shù)的拋物線型M-C準則，具體表達式為：

其中，a、b可以表示為：

式中：σc為單軸抗壓強度。

式（5）可以用主應力表示為：

A和C可以通過線性回歸得到，由此可以計算單軸抗拉強度：

1.3 Griffith強度準則

Griffith強度準則最早出現(xiàn)在材料力學中，用于描述裂紋尖端效應，后來被引入巖土工程中，來描述巖體中微裂隙的擴展。Griffith認為，引起裂紋擴展的應力為拉應力，因此提出了關于拉應力的強度準則[4]：

利用式（9）便可以計算出巖土材料的抗拉強度。

1.4 Hoek-Brown準則

Hoek-Brown準則是在大量試驗基礎上提出的一種經(jīng)驗準則，狹義表達式為[5]：

式中：m為試驗參數(shù)。

令σ1=0，σ3=-σt，可以得到單軸抗拉強度的表達式：

1.5 Lade-Duncan準則

Lade依據(jù)于砂土的真三軸試驗結果，在1975年提出Lade-Duncan準則[6]，考慮了中間主應力的影響，并且在1984年進行了進一步修正，使其適用于更多的巖土材料[7]。這里用1984年修正后的L-D準則表達式進行計算：

式中：Pa為一個標準大氣壓；η1、m為材料參數(shù)；I1、I3分別為第一、三應力張量不變量。

當材料中存在拉應力時，需要加上I1+3αPa，αPa為材料抗拉強度。α為材料參數(shù)。通過進行推導得到：

通過進行數(shù)值回歸，可以得到材料的抗拉強度。

2 抗拉強度計算

一般計算巖石的抗拉強度有兩種方法，分別為直接拉伸和間接拉伸，由于直接拉伸試驗所需的試樣很難制作，因此目前大多工程和研究均采用間接拉伸法，常用的方法就是巴西劈裂試驗。根據(jù)國際巖石力學學會（ISRM）所提到的抗拉強度試驗與計算方法[8]，依據(jù)圖1中的幾何關系，得到了彈性力學平面應變問題解析。式（15）表示了A點的應力狀態(tài)。

圖1 圓盤應力狀態(tài)

在圓心處O點處，θ1=θ2，r1=r2。所以可以將式（15）簡化為：

式中，由于y方向的力是x方向的3倍，所以認為σx=σt。即巖石所受的拉應力為圓心處沿x方向的應力。

3 對比與分析

3.1 抗拉強度計算公式修正

ISRM建議的抗拉強度計算方法將圓盤中心點的水平應力作為抗拉強度，但是大量巴西劈裂試驗現(xiàn)象表明，很多試驗并不是中心起裂，還有其他形態(tài)的破裂方式，如圖2所示。并且研究發(fā)現(xiàn)，非中心起裂的破壞模式多見于層理發(fā)育的沉積巖中，層理巖石的橫觀各向同性特征導致了偏心破裂。此時用式（16）計算得到的抗拉強度與實際有偏差，該情況下抗拉強度的誤差有多大？是否在可接受范圍？基于此，考慮非中心破裂形式，對式（16）進行了修正。

圖2 巴西劈裂試驗的破裂跡線

基于此，考慮到非圓心破壞的破裂面形態(tài)，利用幾何數(shù)學對破壞跡線進行了分析。假設破裂面為一條半徑為r，弦長為D，圓心角為α的標準圓弧l，如圖3所示。圖中a為弧頂與圓心的距離，由此可以通過圖中的幾何關系得到l。當破裂面沿著直徑D破壞，此時l=D'。

圖3 破裂面的幾何關系圖

由此可以得到弧長，再通過式（18）：

可以得到裂紋為弧線條件下巖石的抗拉強度σt：

式（19）中，a、P可通過試驗直接得到。

以圖2中提到的4個非中心破裂的試驗結果為對象，分別利用式（16）和式（19）計算得到了抗拉強度（表1）。

從表1中可以看出，非中心起裂的抗拉強度要略低于中心點的抗拉強度，并且偏心距越大，強度降低越多。劈裂法測得的是圓心位置的抗拉強度，但是在出現(xiàn)非中心起裂時，實際抗拉強度應分布在破裂跡線上。計算結果表明，在巴西劈裂試驗中，按照傳統(tǒng)方法計算非中心起裂試樣的抗拉強度，其結果偏高。由此可得到一組計算抗拉強度的公式：

表1 修正前后試樣抗拉強度對比

黃耀光等人（2015）[14]研究表明圓盤上的水平應力偏離中心點越遠，其值越?。▓D4），本文計算結果符合這一規(guī)律。

圖4 巴西圓盤無量綱水平應力

3.2 強度準則適用性分析

為驗證以上強度準則的適用性，以太行山奧陶系泥質灰?guī)r為對象，分別開展了三軸壓縮和巴西劈裂試驗，試驗結果列于表2。

表2 奧陶系泥質灰?guī)r三軸試驗結果

結合張磊等人[15]以及本文的試驗結果，分別利用上述5種強度準則進行計算分析，得到了不同強度準則對比下的應力關系圖，如圖5所示。

圖5 應力關系曲線

通過將試驗數(shù)據(jù)與計算結果進行誤差對比，可以將擬合情況定量化，利用式（21）進行誤差分析：

表3 誤差分析對比結果

表3中可以看出，在高圍壓條件下，H-B準則是最接近試驗數(shù)據(jù)的，該結果與劉運思等人[16]的研究結果相符合。其次是Griffith準則，而兩個M-C準則的擬合程度較差，相比于直線型M-C準則，拋物線型的更接近實際數(shù)據(jù)。由于H-B準則是基于大量試驗數(shù)據(jù)的經(jīng)驗準則，并且其中有擬合參數(shù)，在本算例中該擬合參數(shù)是通過試驗數(shù)據(jù)擬合得到，所以最終的計算結果與實際最為接近。Griffith準則是針對于抗拉強度提出的強度準則，因此相比于其他強度準則，在計算抗拉強度時更為有效。而L-D準則與其他準則最大的區(qū)別是考慮了中間主應力的影響，為三維應力空間狀態(tài)，在本文的計算中，以假三軸狀態(tài)為背景，認為中間主應力與最小主應力相等，因此其最終的計算結果會有較大的偏差。而M-C準則，作為最早的強度準則，更多地考慮巖土材料的剪切破壞，不適用于計算拉張破壞，而Griffith準則更適用于低圍壓條件。

Griffith強度準則是基于裂隙擴展提出的巖石抗拉準則，其中不考慮剪切行為，巖石裂隙發(fā)育貫通是造成巖石受拉破壞的本質因素，這個結果解釋了地表出露高陡灰?guī)r邊坡豎直拉張節(jié)理發(fā)育現(xiàn)象。而H-B準則是巖石抗剪強度準則，拉張破壞本質上是剪切破壞的一種特殊情況，沒有考慮裂縫的擴展。在高圍壓下，巖石以剪切破壞為主，主要發(fā)生塑性變形。因此深部巖體潛在剪切面通常是連續(xù)的，并且具有較好的延伸性，常發(fā)生大型斷裂、斷層、深層滑動等。而淺表層巖體多出現(xiàn)短小的節(jié)理，以豎直方向為主，將巖體切割成大量塊體，常形成崩塌落石、楔形體滑動等。

4 結語

通過利用不同強度準則計算巖石的抗拉強度，得到了以下認識：

a）通過總結大量巴西劈裂試驗發(fā)現(xiàn)，巖石出現(xiàn)3種形式的破裂跡線：非貫通跡線、直線型貫通跡線、非直線型貫通跡線，造成這種現(xiàn)象的主要原因是巖石自身的橫觀各向同性。

b）圓盤的抗拉強度沿著水平方向自圓心向兩側逐漸降低，直觀表現(xiàn)為非中心起裂的試樣抗拉強度較低。利用本文提出的修正公式可以計算得到相應的抗拉強度。

c）通過對比5種強度準則，發(fā)現(xiàn)在高圍壓條件下，Hoek-Brown強度準則在預測抗拉強度時，與試驗結果有較好的擬合度，低圍壓條件下，Griffith準則更為適用。傳統(tǒng)的Mohr-Coulomb準則不適用于預測巖石抗拉強度。