張永坤

（91439部隊 大連 116041）

1 引言

裝藥在水中引爆后，變成高溫、高壓氣體，該氣體被周圍的水包圍形成氣泡。氣泡內(nèi)部高壓驅(qū)使周圍的流體以小于聲速的速度向外擴散，在此階段，一般把水看成不可壓縮介質(zhì)。由于慣性作用，氣泡將過度膨脹，內(nèi)壓力減小，直至僅占外部流體靜水壓很小一部分，氣泡表面的負壓差使氣泡的膨脹運動停止，并使氣泡產(chǎn)生收縮運動，收縮過程由流場中周圍流體靜壓力驅(qū)動，該過程將會繼續(xù)直至不斷增加的內(nèi)部氣泡壓力將該過程瞬間逆轉(zhuǎn)過來。氣體和水的彈性特性、水的慣性為氣泡振蕩提供條件，該過程被稱為氣泡脈動，脈動過程直至氣泡破裂為止。假定氣泡周圍水的密度不變，并且氣泡保持球形，這兩個假定在氣泡膨脹階段是可行的，隨著氣泡半徑達到最小值（此時形成很大的壓力與加速度）而越來越不正確。研究過程關(guān)注于第一次氣泡脈動周期內(nèi)氣泡的產(chǎn)生、膨脹、最大、收縮、最小，此過程氣泡上浮量很小，基本不用考慮氣泡上浮的情況。氣泡也只關(guān)注單個爆炸產(chǎn)生的大氣泡的情況，流體中群空泡、碎空泡等情況不加以考慮。

水下爆炸氣泡運動過程及分析，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究，主要包括理論分析、科研試驗、數(shù)值計算等方面［1～14］，為氣泡運動穩(wěn)定性分析奠定基礎(chǔ)。文獻［5］以勢流理論為基礎(chǔ)，忽略粘性影響，考慮氣泡遷移效應(yīng)、自由表面效應(yīng)，建立了水下爆炸氣泡脈動模型。文獻［6］沖量時間基線的選取以及沖量的計算方法值得借鑒。文獻［7］指出當(dāng)氣泡直徑與水池直徑比小于0.07，氣泡直徑與水深紙幣小于0.15 時滿足無限水域條件。炸藥量一定的情況下，氣泡脈動周期僅與靜水壓的5∕6 次方成比例。前期工作為本文研究奠定基礎(chǔ)。

2 Rayleigh方程及其推廣

早期氣泡運動理論模型假定流體不可壓縮、無粘和無旋的，忽略了壓縮效應(yīng)和粘性效應(yīng)，認為在第一個脈動階段，壓縮效應(yīng)和粘性效應(yīng)都是不重要的。在球?qū)ΨQ氣泡的發(fā)展和坍塌階段，可以通過對連續(xù)方程進行積分得到徑向速度場，產(chǎn)生預(yù)期的類似源——匯的流場。

1）理想的Rayleigh方程

Rayleigh 最早對空化現(xiàn)象進行理論研究，建立了不可壓縮流中理想球形氣泡的運動方程：

采用Rayleigh 方程進行空泡潰滅的研究，在氣泡半徑較大時，其得到的結(jié)果具有一定的準(zhǔn)確性，為研究氣泡運動以及空泡發(fā)聲奠定基礎(chǔ)。雖然當(dāng)空泡半徑很小時，由于沒有考慮空泡的氣含量、表面張力、粘滯性、可壓縮性等因素的影響，會導(dǎo)致一些不盡完善的結(jié)果，可以考慮通過相關(guān)參數(shù)、增減系數(shù)，使結(jié)果更趨于合理。

R 為氣泡半徑；R?為對時間的一階導(dǎo)數(shù)，徑向速度；R?為對時間的二階導(dǎo)數(shù)，徑向加速度；PR為氣泡表面壓力；P∞為無窮遠處壓力；ρ0為水密度。

2）考慮流體表面張力和粘性情況下得到的氣泡運動控制方程：

S為表面張力，μ為粘性系數(shù)。

3）考慮氣泡含氣量情況下的Nolting-Neppiras方程：

4）考慮流體可壓縮性時，根據(jù)Kirkwood-Bethe假設(shè)導(dǎo)出的Gilmore方程式：

c0為水中聲速。

Rayleigh 的理論令空泡外側(cè)的壓力與真空空泡內(nèi)部的壓力相等。事實上，一個靜空泡的表面壓力將使空泡內(nèi)的靜壓力比外部高，而且空泡也不會是真空的，它含有蒸汽和氣體。如果空泡是在成長或破滅的運動過程中，由于粘性的作用，運動邊界也要出現(xiàn)壓力降，因此要考慮一些影響因素的作用。粘性的作用是在空泡成長和破滅過程中產(chǎn)生阻抗可機械能的損失；表面張力使氣泡內(nèi)的壓力低于空泡壁外側(cè)的壓力，其對空泡起始有影響，但對空泡聲發(fā)生的作用可以忽略；壓縮性對空泡潰滅的最后階段起到降低速度的作用。在此主要討論永久氣體的影響。溶解于水中的氣體對水的張力強度起主要作用，因為它們控制著空泡的起始。此外，由于它們的存在對空泡潰滅起重要的緩沖作用，它們把空泡潰滅時的動能變?yōu)閯菽軆Υ嫫饋?，因而空泡不會潰滅到半徑等于零，而代之以一個最小的潰滅停止半徑，它大約等于最大半徑的1%到2%。然后，空泡又反彈，再次形成新的空泡和潰滅，通常重復(fù)此過程四到五次。

5）氣泡內(nèi)外壓力平衡方程

氣泡表面上的點的壓力等于初始氣體的壓力和表面張力分量的和。由于流體表面張力對水下爆炸氣泡的運動狀態(tài)影響很少，也可忽略表面張力的影響。

半徑為R=RE、內(nèi)部氣體分壓為pGE的空泡穩(wěn)定平衡方程。

pR為氣泡表面壓力；p∞為無窮遠處壓力（也可確定為靜壓P0）；S為表面張力。

初始時刻的平衡（半徑為最小R0）：

氣泡半徑的變化應(yīng)該關(guān)注以下兩種情況。

1）氣體分壓pGE保持不變

此種情況攝動發(fā)生的時間很長，要保證空泡在液體中進行充分的質(zhì)量擴散，這樣才能使氣體分壓保持不變，且壓力值與液體中溶融氣體濃度相平衡。

2）空泡中氣體質(zhì)量和溫度Tn不變

此種情況對于氣體擴散而言發(fā)生得非常迅速。水下爆炸氣泡屬于第二種情況。

水下爆炸氣泡在形成和發(fā)展過程中主要經(jīng)歷兩個階段。第一階段是爆炸后氣泡形成的初始階段，該階段時間極短、力學(xué)過程極其復(fù)雜。第二個階段是氣泡形成后在水中運動、變形的發(fā)展階段。由于第一階段經(jīng)歷的時間極短，可認為氣泡體積很小、壓力很高、保持球形、表面的擴張速度為零。在第二階段氣體膨脹和變形的過程中，一般近似作為絕熱過程處理。在氣泡的膨脹和壓縮及其變形過程中，考慮到氣體和水在密度上的巨大差異，忽略氣體運動對氣體壓力的影響，認為氣體的壓力僅和氣泡的初始狀態(tài)及其體積有關(guān)。即氣泡內(nèi)的壓力Pb與氣泡體積V 的關(guān)系：

或簡化為

γ為氣體的比熱，對于TNT 炸藥爆炸產(chǎn)生的水下爆炸氣泡，γ取1.25；對于理想氣體，γ取1.4；pG0初始內(nèi)壓，計算公式如下式，W 為裝藥質(zhì)量，V0為最小體積（或者是初始體積）。

3 Rayleigh方程穩(wěn)定性分析

采用Lyapunov方法進行氣泡運動穩(wěn)定性分析，首先給出Lyapunov 方法，說明方法的適用條件，然后將一個氣泡脈動周期的運動過程進行詳細分解，之后對氣泡的穩(wěn)定性進行分析得到其穩(wěn)定和非穩(wěn)定狀態(tài)。

3.1 Lyapunov 穩(wěn)定性（平衡點的穩(wěn)定性）分析方法

自治系統(tǒng)：

其中，f：D→Rn是定義域D ?Rn到Rn上的局部Lipschitz 映 射。假 定∈D 是 方 程 的 平 衡 點，即f(=0。

定義和定理都是對平衡點在Rn 上的原點，即xˉ=0 的情況而言的。通過變量代換可以把平衡點變換為原點。

設(shè)x=0 是方程（自治系統(tǒng)）的一個平衡點，D ?Rn是包含原點的定義域。設(shè)V：D→R是連續(xù)可微函數(shù)，如果V（0）=0，V（x）＞0 在D-｛0｝內(nèi)，?(x)≤0 在D內(nèi)，那么，原點x=0是穩(wěn)定的。

Lyapunov 定理也可另外表述為如果存在一個連續(xù)可微的正定函數(shù)V（x），使?(x)為半負定的，那么原點是穩(wěn)定的；如果為?(x)負定的，那么原點是漸進穩(wěn)定的。

采用Lyapunov 定理，可通過半徑的變化參數(shù)R、R?，分析說明氣泡的穩(wěn)定性，當(dāng)R?≤0，可認為半徑R的變化是穩(wěn)定的。

3.2 Rayleigh 方程所表示的氣泡運動的穩(wěn)定性及不穩(wěn)定性說明

氣泡運動過程只要是壓力場的變化導(dǎo)致的半徑、徑向速度、徑向加速度的變化，半徑的參數(shù)主要為R、R?、R?。不考慮慣性的影響，不考慮上浮的影響，氣泡各階段半徑參數(shù)的變化如表1所示。

根據(jù)能量守恒定律，以及氣泡運動特點，在第一個脈動周期內(nèi)，將空泡半徑的變化分為8 個節(jié)點，包括爆炸初始時刻、膨脹到一定時刻、膨脹至最大、最大氣泡半徑、開始收縮、收縮一段時間、收縮至最小、最小氣泡半徑等，如表1 所示。氣泡膨脹至最大后，一般會穩(wěn)定一段時間，也可將節(jié)點3、4綜合為一點來考慮。

半徑R 反映了氣泡的平衡狀態(tài)；半徑的變化R?反映氣泡的穩(wěn)定狀態(tài)以及半徑的極值情況；徑向速度的變化R?也反映徑向速度的極值情況。

表1 各個階段氣泡半徑的變化

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性分析方法，在氣泡膨脹階段（R?＞0），膨脹速度的變化R?均小于0，氣泡均處于穩(wěn)定膨脹狀態(tài)。在4 節(jié)點處R?=0，R 達到最大值。也可以說在4 節(jié)點（R?=0，R?=0），氣泡到達最大半徑時，氣泡處于穩(wěn)定膨脹、平衡狀態(tài)，也可認為是穩(wěn)定的平衡態(tài)。

膨脹階段R?＜0，R?＞0，說明氣泡半徑的變化是穩(wěn)定的膨脹；同樣，在氣泡收縮階段：R?＞0 ，R?＜0，說明氣泡半徑的變化是不穩(wěn)定的收縮。

半徑R 反映了氣泡的平衡狀態(tài)：在節(jié)點3、4 之間氣泡處于平衡狀態(tài)，其他節(jié)點之間均處于相對的不平衡狀態(tài)，也即相對運動的狀態(tài)。

收縮階段：半徑R 一直在減小，直至潰滅節(jié)點，氣泡均處于不平衡狀態(tài)；半徑的變化R?（收縮速度）均大于0，氣泡處于不穩(wěn)定狀態(tài)。徑向速度的變化R?在節(jié)點8 處可能為0，氣泡潰滅，R?出現(xiàn)極值。

最穩(wěn)定的情況發(fā)生在R?＞0 和R?＜0 時，這些情況發(fā)生在生長的空泡接近其最大尺寸時；

最不穩(wěn)定的情況發(fā)生在R?＜0 和R?≥0 時，這些情況僅發(fā)生在破裂的空穴反彈之前。

總地來講，膨脹階段氣泡逐漸趨于穩(wěn)定，到最大氣泡半徑氣泡穩(wěn)定平衡；收縮階段均處于不穩(wěn)定狀態(tài)，至最小半徑時最不穩(wěn)定。

4 氣泡半徑的計算

4.1 初始氣泡半徑

1）直接計算藥包半徑，作為參考參數(shù)。

其中m為藥包質(zhì)量，ρ為藥包密度。

2）根據(jù)能量守恒得到最大最小半徑的比值，然后通過最大半徑求解空化核尺寸。

當(dāng)空化氣泡從一個空化核生長到其初始尺寸的若干倍時，空泡將會在最大半徑Rm處開始破裂，此時空泡內(nèi)有一個很小的氣體分壓PGM，在典型空化流動中，Rm約為最初空化核尺寸R0的100倍。

輻射到液體中的壓力脈沖有一個最大壓力幅值PP，由下式近似給出：

3）由式（5），（8），（9）聯(lián)合可得初始半徑。

爆炸氣泡γ一般取1.25。

4.2 最大氣泡半徑

最大氣泡半徑Rm與藥包的裝藥量W 及爆心初始深度H之間的關(guān)系：

4.3 潰滅氣泡半徑

由表2 可知，在藥包質(zhì)量、入水深度確定的條件下，最大半徑、脈動周期以及藥包半徑為比較準(zhǔn)確的結(jié)果。最小半徑與藥包半徑之比為10 左右，潰滅半徑影響因素較多，結(jié)果不規(guī)律。

4.4 氣泡脈動周期

幾種水下爆炸試驗過程氣泡運動現(xiàn)象。

1）0.25kg 特屈兒藥包，爆炸深度為91.5m。當(dāng)氣泡最初迅速膨脹以后，脈動緩慢下來，這種緩慢使運動在爆轟結(jié)束0.014s后停止下來。然后，氣泡經(jīng)0.028s以不斷增加的速度壓縮至最小。

表2 氣泡半徑計算結(jié)果

2）0.062kgTNT藥包，爆炸深度為2m（海水深度為9m）。當(dāng)氣泡最初迅速膨脹以后，脈動緩慢下來，這種緩慢使運動在爆轟結(jié)束0.030s 后停止下來，穩(wěn)定約0.010s，然后，氣泡經(jīng)0.030s 以不斷增加的速度壓縮至最小。如圖1所示。

圖1 62gTNT炸藥氣泡脈動時間半徑曲線攝影圖片

3）0.2kgTNT藥包，爆炸深度為2m（海水深度為9m）。當(dāng)氣泡最初迅速膨脹以后，脈動緩慢下來，這種緩慢使運動在爆轟結(jié)束0.052s后停止下來，穩(wěn)定約0.013s，然后，氣泡經(jīng)0.067s 以不斷增加的速度壓縮至最小。如圖2所示。

圖2 200gTNT裝藥爆炸氣泡半徑隨時間變化曲線

62gTNT 當(dāng)量裝藥水下2m 爆炸氣泡最大半徑為0.68m（理論計算爆炸氣泡最大半徑為0.61m，氣泡脈動周期為91ms（理論值105ms）；200gTNT 裝藥水下2m爆炸氣泡最大半徑為0.83m（理論計算爆炸氣泡最大半徑為0.89m），氣泡脈動周期為140ms（理論計算爆炸氣泡脈動周期為152ms）。

比對分析可知，靜壓對于氣泡運動周期的影響比較大，深水中大氣壓在靜壓中占比較小，靜壓主要由水深產(chǎn)生，氣泡由最大壓縮至最小的時間比較緩慢。

爆炸深度相同的情況下，藥量的變換導(dǎo)致前半周期與后半周期存在一定的差異，兩種情況下基本以最大半徑為中心對稱分布，最大氣泡半徑存在一定的穩(wěn)定時段，藥量大的工況氣泡由最大衰減至最小的時間比較緩慢。試驗樣本量有限，更進一步的規(guī)律還需數(shù)據(jù)的進一步比對分析。

5 結(jié)語

通過本文研究得到以下結(jié)論。

1）根據(jù)Lyapunov方法以及氣泡運動理論分析，在氣泡第一個運動周期內(nèi)，氣泡運動的最穩(wěn)定狀態(tài)位于氣泡達到最大值的時段，其他狀態(tài)都不穩(wěn)定，最不穩(wěn)定的狀態(tài)發(fā)生在氣泡由最小至潰滅的時段。

2）在藥包質(zhì)量以及布深確定的條件下，藥包半徑、最大氣泡半徑、氣泡脈動周期值為精確值，最小半徑約為藥包半徑的10倍。

3）潰滅半徑影響因素比較多，變化不規(guī)則，從理論公式上可知，潰滅半徑與氣含量含氣量成正比，即隨著氣含量增加，收縮半徑的最小值變大，收縮越緩慢，含氣量的影響只能體現(xiàn)影響規(guī)律，用于計算存在很大的誤差。

4）結(jié)合試驗現(xiàn)象可知，在爆炸深度相同的情況下，藥量的變換導(dǎo)致前半周期與后半周期存在一定的差異，兩種情況下基本以最大半徑為中心對稱分布，最大氣泡半徑存在一定的穩(wěn)定時段，藥量大的工況下，氣泡由最大衰減至最小的時間相對比較緩慢。