盧志輝， 孫浩智， 王和， 楊洪濤， 武藝泳

(鄭州機械研究所有限公司， 河南 鄭州 450052)

0 引言

3個軸向轉(zhuǎn)動慣量是導(dǎo)彈彈頭等空間飛行體重要的物理參數(shù)，扭擺法是最常用的測量方法，該方法需要導(dǎo)彈彈頭分別以3個正交姿態(tài)放置在具有直立軸線的擺動轉(zhuǎn)臺上，通過測量圓周扭擺周期并與標準樣件的擺動周期進行比對，計算各個轉(zhuǎn)動慣量分量。

多數(shù)型號導(dǎo)彈彈頭外形呈圓錐狀或者類圓錐狀，由于導(dǎo)彈彈頭自身質(zhì)量分布特點，其橫向轉(zhuǎn)動慣量一般明顯大于軸向轉(zhuǎn)動慣量，同時2個橫向轉(zhuǎn)動慣量分量數(shù)值比較接近。前期被部隊定型批產(chǎn)的多個型號測量設(shè)備在測量橫向慣量分量時，需要在水平工裝的弧托或者支撐滾輪上轉(zhuǎn)動90°，不論是人工或自動驅(qū)動都會帶來操作或機構(gòu)配置的繁瑣，轉(zhuǎn)動過程還有可能造成軸向竄動，影響測量精度，使用部隊明確提出希望進行改進的要求。對于帶有舵機板的導(dǎo)彈彈頭或者非圓形截面的導(dǎo)彈彈頭還需要重新吊裝翻轉(zhuǎn)，測量過程更為不便。即使配置了空間姿態(tài)轉(zhuǎn)動機構(gòu)，也會使得機構(gòu)本身更復(fù)雜、運動副增多，造成擺動系統(tǒng)剛度降低，工裝初始轉(zhuǎn)動慣量增大，對測量精度不利。

上述定型設(shè)備采用集成測量機構(gòu)，在一個轉(zhuǎn)臺上實現(xiàn)質(zhì)量、質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動慣量、慣性積等多種參數(shù)的集成測量，機構(gòu)利用懸浮刀口和小量程傳感器或者平衡板簧組成一個直立刀口振復(fù)擺系統(tǒng)，可用于導(dǎo)彈彈頭質(zhì)心橫偏高精度測量和慣性積測量，利用扭擺系統(tǒng)測量三軸轉(zhuǎn)動慣量。利用設(shè)備直立軸系的自動轉(zhuǎn)動功能，可以對導(dǎo)彈彈頭2個方位實施直立刀口振復(fù)擺測量。

為了解決導(dǎo)彈彈頭橫向轉(zhuǎn)動慣量分量測量時彈頭水平姿態(tài)調(diào)整不便的問題，本文利用上述2個系統(tǒng)協(xié)同工作，提出導(dǎo)彈彈頭直立振復(fù)擺與圓周扭擺協(xié)同測量的方法，以避免彈頭水平狀態(tài)下的姿態(tài)調(diào)整工藝步驟。該方法的原理方法可以豐富細分行業(yè)測量理論，具體機構(gòu)具有較好的工程實用價值?；谠摍C構(gòu)的新型彈頭質(zhì)量特性測量設(shè)備已配用于多個部隊和科研院所。機構(gòu)組成見文獻[5]。

1 轉(zhuǎn)動慣量常用測量方法原理

1.1 扭擺法

扭擺法是測量轉(zhuǎn)動慣量常用的方法，國內(nèi)外對其具體實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、測量原理、誤差分析等都有大量的研究，對標準件賦值及設(shè)備標定等方面都有一定的研究，其結(jié)構(gòu)原理如圖1所示，被測物體放置在與扭桿固連的轉(zhuǎn)臺上，在外界激勵下做圓周扭擺運動。

圖1 扭擺法示意圖Fig.1 Schematic diagram of the circular pendulum method

系統(tǒng)圓周扭擺的運動微分方程為

(1)

式中：為扭轉(zhuǎn)角；為扭轉(zhuǎn)阻尼；為轉(zhuǎn)動慣量；為扭轉(zhuǎn)剛度。由(1)式求得

(2)

式中：為扭擺周期。實際測量過程中，擺動系統(tǒng)受到的阻尼可以忽略，從而推導(dǎo)出

(3)

即轉(zhuǎn)動慣量與扭擺周期的平方呈正比。實際測量過程中采用樣件比對測量，依次測出轉(zhuǎn)臺擺動系統(tǒng)的扭擺周期、標準樣件+擺動系統(tǒng)的扭擺周期(標準樣件自身轉(zhuǎn)動慣量為)、產(chǎn)品+擺動系統(tǒng)的扭擺周期，就可得出導(dǎo)彈彈頭的轉(zhuǎn)動慣量為

(4)

1.2 直立振復(fù)擺法

振復(fù)擺法同樣可以用來測量轉(zhuǎn)動慣量，只是沒有扭擺法應(yīng)用普遍，由于最終慣量值需要移軸處理，該距離數(shù)值基數(shù)大，其誤差引起的測量誤差比扭擺法明顯要大。文獻[14]建立了采用振復(fù)擺法直接測量轉(zhuǎn)動慣量的振復(fù)擺模型，推導(dǎo)了振復(fù)擺的計算公式，其結(jié)構(gòu)原理進一步簡化如圖2所示。圖2中，為被測物體質(zhì)心到振復(fù)擺中心的距離，為板簧到振復(fù)擺中心的距離。

圖2 直立振復(fù)擺法示意圖Fig.2 Schematic diagram of the compound pendulum method

空氣阻尼忽略不計的情況下，振復(fù)擺運動方程為

(5)

式中：為擺動角；為被測物體+擺動系統(tǒng)的相對振復(fù)擺中心的總轉(zhuǎn)動慣量；為彈簧剛度系數(shù)；為被測物體+擺動系統(tǒng)的總質(zhì)量；為重力加速度。

由(5)式求得

(6)

式中：為振復(fù)擺周期。(6)式是振復(fù)擺法測量物體轉(zhuǎn)動慣量的原理公式。同樣在實際測量過中可以采用樣件比對法，依次測量擺動系統(tǒng)的振復(fù)擺周期、標準樣件+擺動系統(tǒng)的振復(fù)擺周期、導(dǎo)彈彈頭+擺動系統(tǒng)的振復(fù)擺周期，疊加上移軸因素，求得導(dǎo)彈彈頭自身轉(zhuǎn)動慣量，具體計算公式如下：

(7)

式中：為標準樣件相對振復(fù)擺中心轉(zhuǎn)動慣量；、分別為標準樣件和導(dǎo)彈彈頭的質(zhì)量；、分別為標準樣件和導(dǎo)彈彈頭質(zhì)心到振復(fù)擺中心的距離。

2 協(xié)同測量方法的主體結(jié)構(gòu)與實現(xiàn)方法

文獻[3]對扭擺法和復(fù)擺測量轉(zhuǎn)動慣量的優(yōu)缺點進行了研究，對比了兩種方法的測量結(jié)果，并對兩種測量方法的不確定度進行了估計和計算。發(fā)現(xiàn)兩種方法的測量結(jié)果吻合較好，并且扭擺法的測量誤差比較小。復(fù)擺法測量的高不確定度是由測量裝置精度因素造成的，而不是由測量原理造成的。

在振復(fù)擺法實際計算時，由于設(shè)備結(jié)構(gòu)具有一定的復(fù)雜性，自身的參數(shù)難以精確確定，直接導(dǎo)致、數(shù)據(jù)精度不高，同時由于導(dǎo)彈彈頭軸向質(zhì)心測量精度相對橫向精度誤差更大，進一步加劇了的誤差，基數(shù)大，移軸中由的誤差δ引起的測量誤差為2··δ，該項將會帶來粗大誤差。利用圓周扭擺精度高的優(yōu)勢，結(jié)合直立刀口振復(fù)擺確定2個分量之間的關(guān)系，完成2個橫向轉(zhuǎn)動慣量的協(xié)同測量。綜合文獻[5]給出的結(jié)構(gòu)以及本文提出的測量原理和推導(dǎo)的計算公式，形成了直立刀口振復(fù)擺和圓周扭擺協(xié)同測量方法，為三軸轉(zhuǎn)動慣量測量提供了新的思路。

2.1 主體結(jié)構(gòu)

直立刀口振復(fù)擺與扭擺法協(xié)同測量結(jié)構(gòu)組成如圖3所示。圖3中示意的是直立工裝的使用狀態(tài)，主要包括主軸、主軸圓盤、刀口結(jié)構(gòu)、中心扭桿、鎖緊器、固定銷、支臂和板簧。導(dǎo)彈彈頭通過直立工裝或者水平工裝固定在主軸的圓盤上，實現(xiàn)相關(guān)直立和水平狀態(tài)特性參數(shù)的測量。主軸懸浮在一組刀口上面，與之垂直方向連接一組支臂，支臂和彈性元件板簧相連，組成直立刀口振復(fù)擺系統(tǒng)。測量橫向質(zhì)心時，鎖緊器松開、固定銷拔出，質(zhì)心隨著主軸轉(zhuǎn)動，支臂則沿刀口擺動，支臂處下方安裝有測距傳感器，可以測出質(zhì)心不平衡量引起的偏心位移量，可通過砝碼配平，直至偏心位移量為零，即總體質(zhì)心位于旋轉(zhuǎn)軸線上。固定銷插入后，直立刀口復(fù)擺運動被固定，主軸下方連接中心扭桿被鎖緊器緊固，形成一個圓周復(fù)擺系統(tǒng)。利用該結(jié)構(gòu)中的直立刀口復(fù)擺系統(tǒng)確定彈頭橫向轉(zhuǎn)動慣量和的關(guān)系，利用結(jié)構(gòu)中的圓周復(fù)擺系統(tǒng)測量彈頭軸向轉(zhuǎn)動慣量、橫向轉(zhuǎn)動慣量或。

圖3 扭擺法和振復(fù)擺協(xié)同法機構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the measuring device combing circular pendulum and compound pendulum

2.2 直立振復(fù)擺與扭擺法協(xié)同測量方法

結(jié)合圖3，在測量彈頭三軸轉(zhuǎn)動慣量(、、)時，一般方法是先把產(chǎn)品固定為直立狀態(tài)，用扭擺法測出，再水平放置，用扭擺法測出，然后產(chǎn)品水平翻轉(zhuǎn)90°測出。本文提出的直立刀口振復(fù)擺與圓周扭擺協(xié)同測量方法是彈頭在豎直狀態(tài)下，利用直立刀口振復(fù)擺法測出彈頭在0°和90°下的擺動周期(彈頭軸和軸分別平行于刀口母線，產(chǎn)品直立狀態(tài)下自動旋轉(zhuǎn)90°，設(shè)備擺動系統(tǒng)本身在兩個方向的振復(fù)擺周期經(jīng)調(diào)整已相等，相當于空盤狀態(tài)已經(jīng)平衡)，確定相應(yīng)轉(zhuǎn)動慣量分量和的關(guān)系，最后再通過水平扭擺法測出或者，通過相互關(guān)系計算出另一個橫向轉(zhuǎn)動慣量分量或者。這樣如何確定和的關(guān)系就成了直立刀口振復(fù)擺與圓周扭擺協(xié)同測量方法實施的關(guān)鍵所在。

2.3 計算方法

和為導(dǎo)彈彈頭+擺動系統(tǒng)沿軸和軸相對于擺動中心的擺動周期。結(jié)合(7)式可推導(dǎo)出：

(8)

(9)

(10)

式中：為多個參數(shù)的函數(shù)。比對(4)式，稱為當量樣件慣量，會因采用導(dǎo)彈彈頭的不同而變化，但是對于設(shè)備在測量對象相對固定情況下其數(shù)值是穩(wěn)定的，對其進行標定是可行的，非常適合交付部隊的這類專用設(shè)備。

3 試驗方法與試驗驗證

3.1 試驗方法

如圖4所示，2個質(zhì)量一致的小砝碼，按對稱位置分別安裝在樣件上下圓盤上，放置砝碼前后樣件的質(zhì)心位置無變化。圓盤上沿4個象限制有精密定位孔，小砝碼帶有定位銷與之配合保障位置精度并用膠水粘接，試驗后恢復(fù)原狀。試驗中規(guī)定樣件橫向轉(zhuǎn)動慣量為，樣件+砝碼的總橫向轉(zhuǎn)動慣量為(2個砝碼軸線位于擺動軌跡形成的平面)，樣件和砝碼均為外形規(guī)則的回轉(zhuǎn)體，和實際值可通過理論計算獲知。試驗時依次測量擺動系統(tǒng)振復(fù)擺周期、樣件+擺動系統(tǒng)振復(fù)擺周期、樣件+砝碼1+擺動系統(tǒng)振復(fù)擺周期，測量3次，利用3組數(shù)據(jù)的測量均值標定值。再將樣件+砝碼2作為導(dǎo)彈彈頭進行周期測量，計算得到，通過對比與理論值的一致性，判定該測量方法的測量精度。為驗證適用性，試驗在3臺試驗設(shè)備上進行，以下稱為設(shè)備1、設(shè)備2和設(shè)備3。

圖4 轉(zhuǎn)動慣量樣件試驗狀態(tài)示意圖Fig.4 Test status of the specimen

3.2 試驗結(jié)果與分析

321 樣件設(shè)計與理論值計算

樣件設(shè)計采用圓柱體組合，呈啞鈴形，疊加上2個小砝碼，模擬不同慣量值的導(dǎo)彈彈頭。采用軋制或鍛件加工樣件，其材料不均勻性引起的轉(zhuǎn)動慣量誤差不超過0033，采用理論計算值作為標準值是可行的。

理論上樣件設(shè)計采用4個小砝碼對稱布置更為合理，但是考慮到4個零件尺寸與質(zhì)量加工成一致難度較大，采用2個小砝碼如圖4所示布置，并不影響質(zhì)心位置，同時可以證明滿足振復(fù)擺運動微分方程(5)式，可以等效于4個小砝碼。

圓盤與圓柱體轉(zhuǎn)動慣量理論計算公式分別為=14、=112(3+)，為圓盤或圓柱體半徑，為圓柱體高度。同時需要對兩端圓盤和小砝碼加上移軸計算。計算得到的轉(zhuǎn)動慣量理論值如表1所示。

表1 3臺設(shè)備采用的樣件理論值與當量Jd標定結(jié)果

322 設(shè)備系數(shù)標定

采用樣件、樣件+砝碼1的理論值，分別測量擺動系統(tǒng)振復(fù)擺周期、樣件+擺動系統(tǒng)振復(fù)擺周期、樣件+砝碼1+擺動系統(tǒng)振復(fù)擺周期1，取3次均值，按照(10)式計算值，結(jié)果如表1所示。

由表1可知，不同設(shè)備值分散度較大，從值的構(gòu)成要素也可以看出，值呈非線性分布，對同一個設(shè)備因被測產(chǎn)品不同也存在一定的分散度。該方法對于專用設(shè)備而言，由于其測量產(chǎn)品相對固定，其值是穩(wěn)定的。

323 測量結(jié)果與分析

將樣件+砝碼2作為導(dǎo)彈彈頭測量轉(zhuǎn)動慣量值，每個設(shè)備測量3組數(shù)據(jù)，計算得到測量值，再與理論值比較，得到誤差值。測量數(shù)據(jù)如表2所示。表2中2為樣件+砝碼2的振復(fù)擺周期。

表2 3臺設(shè)備Jz測量結(jié)果與測量誤差

從表2中數(shù)據(jù)可以看出：最大絕對測量誤差值035 kg·m，滿足定型設(shè)備1 kg·m的誤差要求；最大誤差率為063，滿足通常慣量測量1的測量精度要求。

表3所示為采用3次測量均值得到的計算結(jié)果′0與理論值以及與表2中的計算值0分別對比的結(jié)果。由表3可見，取均值計算的′0和取單次測量值計算的0的9個數(shù)據(jù)差值均在±001之內(nèi)，與理論值相比最大絕對測量誤差值為036 kg·m，表明可以把擺動系統(tǒng)周期存儲起來，無需每次測量。

表3 Te取均值計算的J′z0和單次測量值計算的Jz0對比以及與理論值Jz對比

表4所示為值數(shù)據(jù)變化±5、±10后值準確度對測量結(jié)果的影響。由表4可見：值變化+5時，最大絕對誤差043 kg·m，相對原值最大變化008 kg·m；值變化-5時，對應(yīng)的2個數(shù)據(jù)分別為-034 kg·m、-007 kg·m；值變化+10時，對應(yīng)的2個數(shù)據(jù)分別為052 kg·m、017 kg·m；值變化-10時，對應(yīng)的2個數(shù)據(jù)分別為-040 kg·m、-016 kg·m。上述數(shù)據(jù)中最大絕對誤差052 kg·m，且絕大多數(shù)數(shù)據(jù)值變化5時不超出01 kg·m，值變化10時不超出02 kg·m。

表4 Jd值變化對測量結(jié)果的影響

從以上數(shù)據(jù)對比結(jié)果可以看出，雖然值是非線性的多變量函數(shù)，但其本身的標定誤差對另一分量測量結(jié)果的影響較小，采用標定值的方法進行協(xié)同測量能夠滿足測量精度要求，同時對于測量結(jié)果敏感度較低這一特點也預(yù)示著該方法具有良好的應(yīng)用推廣前景。

4 實際應(yīng)用

采用直立振復(fù)擺與圓周扭擺協(xié)同測量技術(shù)，研發(fā)了新型的質(zhì)量特性參數(shù)測量設(shè)備，避免了產(chǎn)品水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)90°的操作，經(jīng)過調(diào)試與精度檢定，達到了預(yù)期技術(shù)指標。測量用的水平工裝無需滾轉(zhuǎn)及定位機構(gòu)，既簡化了原水平工裝結(jié)構(gòu)，又提高了操作效率，節(jié)約了測量時間，去除了滾轉(zhuǎn)機構(gòu)帶來的測量誤差，進一步提高了測量精度。

設(shè)備交付用戶后，已成功應(yīng)用于某型號導(dǎo)彈彈頭實彈測試，得到了包括3個轉(zhuǎn)動慣量分量的所有質(zhì)量特性參數(shù)數(shù)據(jù)(具體數(shù)據(jù)從略)。產(chǎn)品3個慣量分量與產(chǎn)品設(shè)計理論值吻合，與原全部采用扭擺法測量值高度一致，且多發(fā)產(chǎn)品的測量結(jié)果分散度較小，一致性較高，測量精度滿足彈頭飛控參數(shù)要求，成功保障了多次飛試任務(wù)，證明協(xié)同測量技術(shù)是可靠的，具有較高的測量精度。

同時協(xié)同測量技術(shù)應(yīng)用在某型號帶翼彈體的轉(zhuǎn)動慣量測量，解決了產(chǎn)品水平狀態(tài)沿翼展直立方向無法支撐的難題，實現(xiàn)了異形體三軸轉(zhuǎn)動慣量的便捷測量。

5 結(jié)論

本文提出直立振復(fù)擺與圓周扭擺協(xié)同測量技術(shù)，給出了實現(xiàn)協(xié)同測量技術(shù)的具體機械結(jié)構(gòu)，根據(jù)測量原理推導(dǎo)出了相應(yīng)的計算方法，提出了當量慣量這一概念，同時提出了對進行標定這一思路，設(shè)計并進行了相關(guān)驗證試驗以及對試驗結(jié)果進行了誤差分析。得出以下主要結(jié)論：

1) 試驗數(shù)據(jù)和彈頭實測效果表明協(xié)同測量技術(shù)測量結(jié)果可靠，測量和計算方法可行，具有很好的工程應(yīng)用價值。

2) 采用協(xié)同測量技術(shù)，彈頭三軸轉(zhuǎn)動慣量測量操作更加便捷，更加適應(yīng)實戰(zhàn)化需求。

3) 當量慣量是多參數(shù)函數(shù)，本文通過標定獲取，標定誤差對測量精度影響較小，對于測量系統(tǒng)容易固化，可進一步建立參數(shù)庫，滿足多型號彈頭的測量需求。

[1] 盧志輝，孫志揚，李祥云，等.高精度質(zhì)心測量方法研究[J].兵工學(xué)報，2009，30(12):1748-1752.

LU Z H，SUN Z Y，LI X Y，et al.Research on high precision measurement of centroid[J].Acta Armamentarii，2009，30(12):1748-1752. (in Chinese)

[2] 張磊樂，武藝泳，時永華.基于立式旋轉(zhuǎn)平衡系統(tǒng)的慣性積測試方法研究[J].計量學(xué)報，2020，41(12A):124-128.

ZHANG L L，WU Y Y，SHI Y H.Research on the method of measuring inertial product based on vertical Rotating balance system[J].Acta Metrologica Sinica，2020，41(12A):124-128. (in Chinese)

[3] KLAUS L.Comparison of two experiments based on a physical and a torsion pendulum to determine the mass moment of inertia including measurement uncertainties[J].Measurement Science Review，2017，17(1): 9-18.

[4] 唐文彥，李慧鵬，張春富.扭擺法測量飛行體轉(zhuǎn)動慣量[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，32(1): 69-72.

TANG W Y，LI H P，ZHANG C F.Measurement of flight object's moment of inertia using torsion pendulum[J].Journal of Nanjing University of Science and Technology (Natural Science)，2008，32(1): 69-72. (in Chinese)

[5] 盧志輝，張磊樂，武藝泳，等.用于測量物體質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的測量裝置:CN104180940A [P].2016-08-17.

LU Z H，ZHANG L L，WU Y Y，et al.Measuring device for measuring center of mass，moment of inertia and inertial product: CN104180940A [P].2016-08-17. (in Chinese)

[6] 張磊樂.細長桿件質(zhì)量特性參數(shù)測量技術(shù)及設(shè)備研究[D].鄭州:鄭州機械研究所有限公司，2008.

ZHANG L L.Research on the measuring technique and equipment for measurement of quality characteristic parameters of slender bar[D].Zhengzhou:Zhengzhou Research Institute of Mechanical Engineering Co.,Ltd.,2008. (in Chinese)

[7] 李慧鵬，唐文彥，張春富，等.導(dǎo)彈轉(zhuǎn)動慣量測試系統(tǒng)及誤差分析[J].兵工學(xué)報，2007，28(2):206-208.

LI H P，TANG W Y，ZHANG C F，et al.A measuring system of inertia moment of missile and its error analysis[J].Acta Armamentarii，2007，28(2):206-208. (in Chinese)

[8] 車英，李占國，陳禮華，等.彈丸轉(zhuǎn)動慣量測試系統(tǒng)及其誤差分析[J].兵工學(xué)報，2000，21(1): 87-89.

CHE Y，LI Z G，CHEN L H，et al.Development and error analysis of an inspecting system for measuring the rotational inertia of bullets[J].Acta Armamentarii，2000，21(1): 87-89. (in Chinese)

[9] 王德民，吳紅剛，張健，等.基于扭擺法的三扭桿轉(zhuǎn)動 慣量測量裝置[J].機械設(shè)計與研究，2017，33(3): 131-133，137.

WANG D M，WU H G，ZHANG J，et al.Research on torsion pendulum based triple torsion bars device for measuring moment of inertia[J].Machine Design and Research，2017，33(3):131-133，137. (in Chinese)

[10] 盧志輝，支余吉.轉(zhuǎn)動慣量標準件標準值的不確定度研究[C]∥全國計量測試技術(shù)學(xué)術(shù)交流會論文集.北京:中國計量測試學(xué)會，2016: 256-261.

LU Z H，ZHI Y J.Research on uncertainty of standard value of moment of inertia of standard sample[C]∥Proceedings of Collection of Essays of National Symposium on Measurement and Testing Technology.Beijing: Chinese Society for Measurement，2016:256-261. (in Chinese)

[11] 孫寶光，劉春蘭，羅微.扭擺法測定物體的轉(zhuǎn)動慣量實驗中的標定研究[J].大學(xué)物理實驗，2017，30(6):53-56.

SUN B G，LIU C L，LUO W.Research on the calibration in measuring objects’ processional moment by torsion pendulum method[J].Physical Experiment of College，2017，30(6):53-56. (in Chinese)

[12] 張心明，王凌云，劉建河，等.復(fù)擺法測量箭彈轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)偏及其誤差分析[J].兵工學(xué)報，2008，29(4):450-453.

ZHANG X M，WANG L Y，LIU J H，et al.The measurement of inertia moment and centroidal deviation of rocket projectile with compound pendulum method and its error analysis[J].Acta Armamentarii，2008，29(4):450-453. (in Chinese)

[13] HOU W，ZHENG B，YANG R F.A measuring method on moment of inertia of large-scale ammunition[J].Journal of China Ordnance，2005，1(1):41-45.

[14] 徐向輝，陳平，唐一科，等.彈箭轉(zhuǎn)動慣量的振復(fù)擺法測量及誤差分析[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2016，36(1):149-153.

XU X H，CHEN P， TANG Y K，et al.The inertia moment of projectile measured by vibration pendulum method and error analysis[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2016，36(1):149-153. (in Chinese)

[15] 張心明，王德民，李俊燁，等.基于復(fù)擺測量法阻尼對轉(zhuǎn)動慣量的影響分析[J].長春理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2018，41(4):54-59.

ZHANG X M，WANG D M，LI J Y，et al.Analysis on the influence of rotational inertia by damping based on compound pendulum measuring method[J].Journal of Changchun University of Science and Technology (Natural Science Edition)，2018，41(4):54-59.(in Chinese)