梁云飛，張德權(quán)，彭周源

(河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401)

0 引言

工業(yè)機(jī)器人廣泛應(yīng)用于搬運(yùn)、焊接、噴漆和裝配等工業(yè)制造領(lǐng)域，其定位精度是工業(yè)界和學(xué)術(shù)界共同關(guān)心的問(wèn)題。影響工業(yè)機(jī)器人定位精度的不確定因素主要包括制造誤差[1]，核心零部件磨損[2]，控制信號(hào)遲滯和復(fù)雜作業(yè)環(huán)境[3]等。上述不確定因素可以分為隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性。隨機(jī)不確定性一般源于加工設(shè)備的誤差、材料不均勻性、環(huán)境隨機(jī)性等，可采用概率模型對(duì)其進(jìn)行描述。認(rèn)知不確定性往往源于某種程度上知識(shí)的不完備，對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，通常無(wú)法收集足夠的信息建立精確概率模型來(lái)評(píng)估其可靠性，可采用證據(jù)理論[4-5]對(duì)其進(jìn)行描述。

在研究隨機(jī)不確定性與認(rèn)知不確定性混合問(wèn)題方面，近年來(lái)公開(kāi)報(bào)道了一些研究成果。Du[6]運(yùn)用概率模型和證據(jù)理論提出了隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性混合的可靠性分析框架。姜潮等[7]針對(duì)同時(shí)包含概率變量和證據(jù)變量的混合不確定問(wèn)題，提出了一種高效的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法。Xiao等[8]在基于證據(jù)理論的可靠性分析中引入支持向量回歸模型顯著提高計(jì)算效率。

近年來(lái)學(xué)者們已在工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析的研究方面開(kāi)始進(jìn)行探索。許昌瑀等[9]基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型分析了關(guān)節(jié)間隙對(duì)工業(yè)機(jī)器人單點(diǎn)定位精度可靠性的影響。Rao和Bhatti[10]提出工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的概率建模方法，并研究不確定參數(shù)對(duì)末端執(zhí)行器定位精度的影響。Kim等[11]考慮連桿長(zhǎng)度和關(guān)節(jié)間隙研究工業(yè)機(jī)器定位精度的可靠性。Pandey和Zhang[12]采用最大熵原理獲得機(jī)器人位置誤差的極值分布及其概率密度函數(shù)，并對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析。Zhang和Han[13]考慮工業(yè)機(jī)器人連桿長(zhǎng)度和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為正態(tài)分布不確定變量，采用單變量降維積分法計(jì)算工業(yè)機(jī)器人單坐標(biāo)方向定位誤差的統(tǒng)計(jì)矩，并基于鞍點(diǎn)近似法分析工業(yè)機(jī)器人的單點(diǎn)定位精度可靠性。然而，對(duì)工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)內(nèi)隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性混問(wèn)題合的研究，目前仍鮮見(jiàn)報(bào)道。限制此類(lèi)研究發(fā)展的主要原因是其中涉及多層嵌套優(yōu)化，較低的計(jì)算效率限制了在實(shí)際工程問(wèn)題中的應(yīng)用。

為解決工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的一類(lèi)隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性可靠性分析效率低的問(wèn)題，本文引入Kriging代理模型代替復(fù)雜的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行定位精度可靠性分析。在此基礎(chǔ)上提出一種高效的概率-證據(jù)混合定位精度可靠性分析方法，能夠大幅度提高可靠性分析效率，通過(guò)工業(yè)機(jī)器人實(shí)例驗(yàn)證了所提方法的工程實(shí)用性。

1 工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型描述了本體結(jié)構(gòu)參數(shù)與末端運(yùn)動(dòng)響應(yīng)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)該函數(shù)關(guān)系可對(duì)工業(yè)機(jī)器人的定位精度進(jìn)行可靠性分析。工業(yè)機(jī)器人可看作是由一系列連桿通過(guò)關(guān)節(jié)連接構(gòu)成的，若各個(gè)關(guān)節(jié)的參數(shù)已知，便可從基座固定坐標(biāo)系通過(guò)連桿坐標(biāo)系的傳遞，推導(dǎo)出末端執(zhí)行器的位姿坐標(biāo)。工業(yè)機(jī)器人D-H運(yùn)動(dòng)參數(shù)示意圖如圖1所示。

圖1 工業(yè)機(jī)器人D-H運(yùn)動(dòng)參數(shù)Fig.1 D-H kinematic parameters of industrial robots

在圖1中，ai表示第i個(gè)連桿沿xi方向的長(zhǎng)度，αi表示第i個(gè)連桿兩關(guān)節(jié)軸線之間的扭角，θi表示兩連桿之間的夾角，di表示沿關(guān)節(jié)i軸線兩個(gè)公垂線的距離。連桿坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)和平移變換可通過(guò)這4個(gè)參數(shù)描述，每個(gè)關(guān)節(jié)連桿坐標(biāo)系的建立規(guī)則如下：

1) 坐標(biāo)軸x指向旋轉(zhuǎn)軸i-1和i的公法線方向，從關(guān)節(jié)i-1指向關(guān)節(jié)i；

2) 坐標(biāo)軸z與關(guān)節(jié)軸線重合；

3) 坐標(biāo)軸y按照右手螺旋法則確定。

建立好各個(gè)連桿坐標(biāo)系之后，便可通過(guò)連桿坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)相鄰連桿坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。連桿坐標(biāo)系沿坐標(biāo)軸的平移變換矩陣T(·)表示為

(1)

式中，x、y和z分別表示沿x軸、y軸和z軸移動(dòng)的距離。

坐標(biāo)系繞三個(gè)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣R(·)分別表示為

(2)

(3)

(4)

式中，R(x,θ)表示繞著x軸旋轉(zhuǎn)θ角度，R(y,θ)和R(z,θ)同理。

以坐標(biāo)系Oi-1變換到坐標(biāo)系Oi為例，過(guò)程如下：

1) 坐標(biāo)系Oi-1繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)θ角度，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為R(z,θ)；

2) 坐標(biāo)系Oi-1沿zi-1軸平移l距離，平移變換矩陣為T(mén)(0,0,l)；

3) 坐標(biāo)系Oi-1繞xi軸旋轉(zhuǎn)α角度，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為R(x,α)。

則總的變換矩陣Ai可表示為

Ai=R(z,θ)·T(0,0,l)·R(x,α)。(5)

對(duì)于本文所研究的六自由度工業(yè)機(jī)器人，依次右乘變換矩陣Ai可得到機(jī)器人末端坐標(biāo)系相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系的位姿矩陣T6：

T6=A1·A2·A3·A4·A5·A6=

(6)

式中，矩陣的前3列表示工業(yè)機(jī)器人末端的姿態(tài)，第4列表示末端中心點(diǎn)的位置。本文將末端中心點(diǎn)設(shè)為目標(biāo)點(diǎn)，分析工業(yè)機(jī)器人末端的定位精度可靠性。

2 證據(jù)理論基本概念

證據(jù)理論[14]可有效地描述工業(yè)機(jī)器人認(rèn)知不確定參數(shù)，采用可信度(Belief measure，Bel)和似真度(Plausibility measure，Pl)組成的區(qū)間來(lái)量化工業(yè)機(jī)器人不確定性。證據(jù)理論的一些基本概念如下：

識(shí)別框架(Frame of Discernment，F(xiàn)D)是所有相互獨(dú)立的基本命題的集合，通常用Θ表示。假設(shè)識(shí)別框架為Θ={s1,s2}，其中s1和s2表示相互獨(dú)立的基本命題或集合，則識(shí)別框架內(nèi)所有基本元素可以構(gòu)成冪集2Θ={?,{s1},{s2},{s1,s2}}，每一個(gè)命題對(duì)應(yīng)冪集中的一個(gè)子集。

基本可信度分配(Basic Probability Assignments, BPA)為確定識(shí)別框架后，根據(jù)信息進(jìn)行可信度分配，即描述命題的可信程度。若函數(shù)m:2Θ→[0,1]為Θ的冪集，且滿足以下性質(zhì)：

m(D)≥0,?D∈2Θ，

(7)

(8)

m(?)=0，

(9)

則稱m為識(shí)別框架Θ上的基本可信度分配，其中m(D)>0的集合D叫做焦元。

當(dāng)識(shí)別框架Θ中有多個(gè)證據(jù)變量S1,S2,…,Sn，且變量之間相互獨(dú)立，其聯(lián)合BPA可表示為

mS(Sk)=

(10)

采用Bel和Pl構(gòu)成的區(qū)間測(cè)度來(lái)描述命題的信任程度，可表示為

(11)

(12)

Bel(E)表示所有包含在命題E內(nèi)的焦元BPA之和，可認(rèn)為是對(duì)命題E一定成立的信任程度；Pl(E)表示所有與命題E有交集的焦元BPA之和，可認(rèn)為是對(duì)命題E可能成立的信任程度。本文中，Bel和Pl分別表示工業(yè)機(jī)器人定位精度可靠度的區(qū)間下界和上界。

3 常規(guī)的分析方法

針對(duì)工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的一類(lèi)隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性混合的情況,將工業(yè)機(jī)器人連桿長(zhǎng)度和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角此類(lèi)容易測(cè)得參數(shù)信息的變量考慮為概率變量；將連桿扭角等難以準(zhǔn)確獲得參數(shù)信息的變量考慮為證據(jù)變量。定義輸入變量為I=(X,Y)，假設(shè)所有輸入變量之間相互獨(dú)立，其中X=[X1,X2,…,XnX]T表示隨機(jī)不確定變量，nX為隨機(jī)不確定變量的維數(shù)，用概率模型描述;Y=[Y1,Y2,…,YnY]T表示認(rèn)知不確定性變量，nY表示認(rèn)識(shí)不確定性變量的維數(shù)，用證據(jù)理論描述。在證據(jù)變量的聯(lián)合空間Y中，用CYi(i=1,2,…,n)表示各焦元，其中n表示焦元個(gè)數(shù)。定義工業(yè)機(jī)器人x、y和z三個(gè)方向定位精度的功能函數(shù)分別為

gx(X,Y)=|Qx-Px|，

(13)

gy(X,Y)=|Qy-Py|，

(14)

gz(X,Y)=|Qz-Pz|，

(15)

式中，Q(Qx,Qy,Qz)是將所有不確定輸入變量代入工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得到的末端執(zhí)行器相對(duì)基坐標(biāo)系在空間中的坐標(biāo)點(diǎn)，P(Px,Py,Pz)為工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器的名義目標(biāo)點(diǎn)。

以x方向的定位精度可靠性分析為例，如圖2所示，由于證據(jù)變量和隨機(jī)變量同時(shí)存在，輸入空間被劃分為n個(gè)子空間CXYi=(X,CYi),i=1,2,…,n，gx(X,Y)

圖2 不確定變量輸入空間Fig. 2 Input space of uncertain variables

定義x方向的定位精度可靠度pr為

pr=Pr{gx(I)≤c}，

(16)

根據(jù)全概率公式，可靠度pr可展開(kāi)為

(17)

式中，證據(jù)變量Y屬于焦元CYi的概率等于相應(yīng)焦元的聯(lián)合BPA:

Pr{Y∈CYi}=mY(CYi)。

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

通過(guò)上述分析，可以獲得工業(yè)機(jī)器人x方向定位精度可靠度的上下邊界，即Pl和Bel：

(23)

(24)

同理，可采用相同步驟計(jì)算工業(yè)機(jī)器人在y方向Pr{gy(I)≤c}和z方向Pr{gz(I)≤c}定位精度可靠度，不再贅述。

由上述分析可知，采用常規(guī)方法對(duì)工業(yè)機(jī)器人定位精度進(jìn)行可靠性分析時(shí)，需在證據(jù)變量的每個(gè)焦元上進(jìn)行區(qū)間分析和概率可靠性分析，當(dāng)證據(jù)變量維數(shù)較多時(shí)，計(jì)算效率會(huì)非常低。為了提高工業(yè)機(jī)器人概率-證據(jù)混合的定位精度可靠性分析計(jì)算效率，本文提出一種高效的工業(yè)機(jī)器人定位精度可靠性分析方法。

4 本文所提方法

在實(shí)際工程中，工業(yè)機(jī)器人扭角的名義值一般為90°或者-90°，但是機(jī)器人受自身重量等外界因素的影響難以保證扭角為一個(gè)固定值。由于扭角值產(chǎn)生波動(dòng)難以通過(guò)測(cè)量方式準(zhǔn)確獲得，根據(jù)文獻(xiàn)[15]本文將工業(yè)機(jī)器人的扭角α1和扭角α3作為證據(jù)變量來(lái)研究，考慮到扭角波動(dòng)范圍很小，對(duì)應(yīng)的識(shí)別框架變化范圍較小，因此該識(shí)別框架內(nèi)的子集變化范圍也較小?；谝陨戏治觯疚募僭O(shè)證據(jù)變量扭角α1和扭角α3在每個(gè)子區(qū)間上都服從均勻分布[15]，由于每個(gè)子區(qū)間的變化都不大，該過(guò)程并不會(huì)造成較大的誤差。將證據(jù)變量均勻化后，工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)內(nèi)不確定參數(shù)輸入變量均為隨機(jī)變量，通過(guò)構(gòu)建Kriging代理模型替代原功能函數(shù)進(jìn)行可靠性分析，可在保證計(jì)算精度的前提下提高定位精度可靠性分析效率。

4.1 證據(jù)變量均勻化

證據(jù)變量均勻化[7]是將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量的過(guò)程，對(duì)于任意證據(jù)變量Yi，可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換

(25)

式中，fYi(y)為證據(jù)變量Yi均勻化處理后的概率密度函數(shù)，Aj是變量Yi的子區(qū)間，n(A)為子區(qū)間個(gè)數(shù)，Uj和Lj為子區(qū)間的上、下界，δj(yi)表示示性函數(shù)。當(dāng)yi∈Aj時(shí)，δj(yi)=1；當(dāng)yi?Aj時(shí)，δj(yi)=0。

4.2 建立Kriging代理模型

Kriging模型[16]由隨機(jī)過(guò)程和回歸模型共同組成，假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)值y(x)和自變量x之間函數(shù)關(guān)系表示為

y(x)=fT(x)β+z(x)，

(26)

(27)

式中，xi和xj表示樣本空間中的兩個(gè)樣本點(diǎn)，R(xi,xj)為樣本點(diǎn)xi和xj之間的相關(guān)函數(shù)，其表達(dá)式為

(28)

式中，n為設(shè)計(jì)變量的維數(shù)，θk為各向異性參數(shù)，一般采用極大似然估計(jì)法[17]優(yōu)化求解，dk表示數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離。

集合Y和系數(shù)矩陣F可表示為

Y=[y1(x),y2(x),…,yn(x)]T，

(29)

(30)

利用試驗(yàn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值，可以得到相關(guān)系數(shù)矩陣

(31)

式中，N為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)數(shù)量。

通過(guò)廣義最小二乘法[17]，可以得到Kriging模型的多項(xiàng)式參數(shù)

(32)

(33)

綜上，可利用已知的模型系數(shù)和相關(guān)函數(shù)預(yù)測(cè)未知點(diǎn)的響應(yīng)值

(34)

式中，rT(x0)=[R(x0,x1),R(x0,x2),…,R(x0,xN)]T，即為目標(biāo)點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)。

Lophaven等利用MATLAB軟件編寫(xiě)了Kriging模型的DACE工具箱，該工具箱利用輸入的實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)，可得到任意點(diǎn)處的響應(yīng)值。

4.3 計(jì)算可靠性區(qū)間

在證據(jù)變量的每個(gè)焦元上進(jìn)行區(qū)間和概率可靠性分析，根據(jù)式和求出工業(yè)機(jī)器人定位精度可靠度的Pl和Bel。

4.4 算法流程

綜上，本文提出的高效概率-證據(jù)混合工業(yè)機(jī)器人定位精度可靠性分析流程如下：

1) 根據(jù)工業(yè)機(jī)器人模型，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，確定D-H參數(shù)和目標(biāo)點(diǎn)，定義工業(yè)機(jī)器人定位精度的功能函數(shù)。

2) 對(duì)證據(jù)變量進(jìn)行均勻化處理，將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為概率變量，計(jì)算轉(zhuǎn)換后概率變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

3) 利用拉丁超立方抽樣，生成工業(yè)機(jī)器人不確定參數(shù)的初始樣本，構(gòu)建Kriging代理模型，并驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。

4) 分析工業(yè)機(jī)器人概率-證據(jù)混合定位精度可靠性，得到工業(yè)機(jī)器人定位精度可靠度區(qū)間的上、下界。

5 算例驗(yàn)證

將本文提出的高效混合可靠性分析方法應(yīng)用于某六自由度工業(yè)機(jī)器人以驗(yàn)證方法的有效性。工業(yè)機(jī)器人在長(zhǎng)期工作過(guò)程，會(huì)因裝配不當(dāng)或自身重力等因素導(dǎo)致扭角名義值偏大或者偏小。本文將針對(duì)這種情況假設(shè)連桿長(zhǎng)度和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為概率變量，連桿扭角α1和α3為證據(jù)變量，對(duì)兩種工況下某六自由度工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行定位精度可靠性分析。

5.1 工況1

如圖3所示，某六自由度工業(yè)機(jī)器人安裝在被加工工件的左側(cè)，長(zhǎng)期在該狀態(tài)工作會(huì)由于自身重力作用造成連桿扭角α1和α3偏大。如圖4所示，建立工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，其D-H參數(shù)如表1[15，18]所示。

圖3 工況1工業(yè)機(jī)器人虛擬樣機(jī)Fig.3 Virtual prototype of industrial robot in condition 1

圖4 工況1工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.4 Schematic diagram of industrial robot structure in condition 1

表1 工業(yè)機(jī)器人D-H參數(shù)Tab.1 D-H parameters of the 6-DoF industrial robot

證據(jù)變量相應(yīng)子區(qū)間的BPA通過(guò)概率模型獲得[15]，假設(shè)扭角α1和α3服從正態(tài)分布，均值μ1=μ3=1.576 mm，標(biāo)準(zhǔn)差σ1=σ3=0.002 mm。F(α1)為變量α1經(jīng)截?cái)嗪蟮睦鄯e概率分布函數(shù)，變量α1在每個(gè)子區(qū)間上對(duì)應(yīng)的BPA為[15]

BPA(i)=F(α1(i+1))-F(α1(i))，

(35)

式中，i=1,2,…,n，α1(i+1)和α1(i)為第i個(gè)子區(qū)間的端點(diǎn)值。該工業(yè)機(jī)器人的不確定參數(shù)信息如表2[18]所示。

表2 工業(yè)機(jī)器人不確定參數(shù)Tab.2 Uncertain parameters of the industrial robot

定義工業(yè)機(jī)器人的空間目標(biāo)點(diǎn)為P(1 183.1 mm，-353.5 mm，310.2 mm)，由第3節(jié)可知，通過(guò)改變閾值c，即可根據(jù)式(13)～(15)獲得相應(yīng)的功能函數(shù)，利用本文提出的混合可靠性分析方法求解，可以獲得對(duì)應(yīng)的Bel和Pl。連接相鄰閾值所對(duì)應(yīng)的Bel和Pl可獲得相應(yīng)的累積分布曲線。同時(shí)，利用蒙特卡羅模擬方法(樣本數(shù)105)計(jì)算每個(gè)功能函數(shù)所對(duì)應(yīng)的概率值，將其計(jì)算結(jié)果作為參考解，結(jié)果如圖5所示，部分可靠度結(jié)果列入表3。可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P(1 183.1 mm，-353.5 mm，310.2 mm)，x，y和z方向的定位精度不同。當(dāng)Bel達(dá)到0.99左右時(shí)，x，y和z方向?qū)?yīng)的閾值分別為4 mm，13 mm和1.2 mm。因此，在該工況下，z方向的定位精度最高，y方向的定位精度最低。在計(jì)算精度方面，以常規(guī)方法計(jì)算得到的結(jié)果作為參考解，本文提出方法和常規(guī)方法計(jì)算得到的Bel曲線和Pl曲線基本重合，表明本文提出方法具有較好的精度，且蒙特卡羅模擬法計(jì)算的可靠度曲線始終被包絡(luò)在Bel曲線和Pl曲線中間。在計(jì)算效率方面，本文提出方法有明顯優(yōu)勢(shì)，以x方向?yàn)槔?，常?guī)方法計(jì)算表3中6個(gè)不同閾值下定位精度可靠度的CPU耗時(shí)約為343 s，而本文提出方法的CPU耗時(shí)僅為8.77 s。

圖5 工況1定位精度可靠性分析結(jié)果Fig.5 Positioning accuracy reliability analysis results in condition 1

表3 工況1定位精度可靠性分析結(jié)果Tab.3 Reliability analysis results of positioning accuracy in working condition 1

5.2 工況2

如圖6所示，某六自由度工業(yè)機(jī)器人安裝在被加工工件的右側(cè)，長(zhǎng)期在該狀態(tài)工作會(huì)由于自身重力作用造成扭角α1和扭角α3的角度偏小。運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖7所示，D-H參數(shù)如表1所示。

圖6 工況2工業(yè)機(jī)器人虛擬樣機(jī)Fig.6 Virtual prototype of industrial robot in condition 2

圖7 工況2工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.7 Schematic diagram of industrial robot structure in condition 2

同樣，假設(shè)扭角α1和扭角α3均服從正態(tài)分布[15]，均值μ1=μ3=1.564mm，標(biāo)準(zhǔn)差σ1=σ3=0.002mm，證據(jù)變量相應(yīng)子區(qū)間的BPA按上節(jié)介紹方法通過(guò)概率模型獲得，扭角α1和α3的參數(shù)信息如表4[15]所示。

表4 認(rèn)知不確定參數(shù)信息Tab.4 Epistemic uncertainty parameters

根據(jù)上節(jié)所描述的方法，定義該工況下工業(yè)器人的空間目標(biāo)點(diǎn)為P(1 183.1 mm，-353.5 mm，310.2 mm)，通過(guò)改變閾值c，即可根據(jù)式(13)～(15)獲得相應(yīng)的功能函數(shù)，求解得到Bel和Pl的累積分布曲線。蒙特卡羅模擬方法的樣本數(shù)為105，計(jì)算結(jié)果如圖8所示，部分可靠度結(jié)果列入表5。當(dāng)Bel達(dá)到0.99左右時(shí)，x，y和z方向?qū)?yīng)的閾值分別為4.5 mm，16 mm和1.6 mm。在該工況下，z方向的定位精度最高，y方向的定位精度最低。在計(jì)算精度方面，以常規(guī)方法計(jì)算得到的結(jié)果作為參考解，本文提出方法和常規(guī)方法計(jì)算得到的Bel曲線和Pl曲線基本重合，再次表明本文提出方法具有較好的計(jì)算精度。在計(jì)算效率方面，本文提出方法有明顯優(yōu)勢(shì)，以y方向?yàn)槔?，常?guī)方法計(jì)算表3中的6個(gè)不同閾值對(duì)應(yīng)定位精度可靠度的CPU耗時(shí)約為406.82 s，而本文提出方法的CPU耗時(shí)僅需要9.34 s。

表5 工況2定位精度可靠性分析結(jié)果Tab.5 Reliability analysis results of positioning accuracy in working condition 2

圖8 工況2工業(yè)機(jī)器人定位精度可靠性分析結(jié)果Fig.8 Positioning accuracy reliability analysis results of industrial robot in condition 2

6 結(jié)論

本文針對(duì)一種常規(guī)的概率-證據(jù)混合可靠性分析方法計(jì)算效率低的問(wèn)題，提出一種高效的概率-證據(jù)混合可靠性分析方法。與常規(guī)方法相比，本文提出方法的優(yōu)勢(shì)在于通過(guò)引入證據(jù)變量均勻化，將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量，然后構(gòu)建Kriging代理模型進(jìn)行定位精度可靠性分析。通過(guò)工業(yè)機(jī)器人兩種不同工況的分析，表明本文方法在處理概率-證據(jù)混合可靠性問(wèn)題時(shí)，在保證具有較高計(jì)算精度的前提下，計(jì)算效率得到大幅提高，可以更高效地對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行定位精度可靠性分析。