賀 晨 王丹萍 馮 筠 彭進業(yè) 任宇輝

(西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 西安 710127)

電磁學(xué)研究的是電場、磁場各自的性質(zhì)以及它們之間的相互作用，是物理學(xué)中的一個重要分支[1]。近年來，電磁學(xué)得到了高速發(fā)展，人們的研究方向也發(fā)生了質(zhì)的改變，從電磁宏觀轉(zhuǎn)向了電磁微觀[2]。因此在電磁理論與實驗中，存在很多理論性強且抽象的概念以及難以構(gòu)想的電場圖和磁場圖，這就不僅需要具有強大的數(shù)學(xué)知識儲備來支持，還需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、空間構(gòu)想能力等。比如在電磁學(xué)中，電場和磁場都是抽象的概念，學(xué)生沒有辦法用肉眼看到，這就給學(xué)生的理解造成了困難[3]。

目前，傳統(tǒng)的“電磁學(xué)”課程的教學(xué)方式主要集中于理論與概念的講授。但是在很多情況下，教師無法向?qū)W生展示抽象的電磁學(xué)物理模型。這就導(dǎo)致學(xué)生對基本概念的理解仍然存在一定的偏差，只注重數(shù)學(xué)層面的計算而忽視了物理實質(zhì)[4]。目前以計算機為基礎(chǔ)的可視化仿真技術(shù)在電磁學(xué)理論領(lǐng)域中已經(jīng)得到了普遍的應(yīng)用，這種技術(shù)使用特定的仿真軟件將電磁學(xué)的物理概念建模為數(shù)學(xué)模型進行科學(xué)計算，計算機再將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成靜態(tài)或動態(tài)的圖形顯示出來，從而實現(xiàn)電磁學(xué)理論問題的可視化[5]。由此可見，電磁學(xué)可視化的理念除了可以進行復(fù)雜度很高的計算以外，還具備將抽象概念具體化的能力，將我們?nèi)庋蹮o法看到的抽象事物轉(zhuǎn)變?yōu)榫_度很高的仿真模型[6]。這一理念的出現(xiàn)給教師和學(xué)生都帶來了巨大的便利，對于電磁學(xué)中無法觀察的物理過程，通過建模仿真轉(zhuǎn)化為圖像呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這樣就可以直接觀察到形象準(zhǔn)確的模型，以便更深刻地理解其物理實質(zhì)[7]。因此，電磁學(xué)可視化的出現(xiàn)對于教學(xué)的意義是不言而喻的。

為了使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，既能掌握“電磁學(xué)”課程中的理論，又能利用計算機代碼實現(xiàn)電磁學(xué)可視化仿真教學(xué)，結(jié)合人工分析計算和可視化仿真兩種方法對“電磁學(xué)”課程實驗中遇到的各類問題進行了建模計算和仿真。一方面希望在理解相關(guān)知識點的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和動手計算的能力；另一方面也希望利用易于理解的仿真實驗方法，深入對電磁學(xué)知識的理解，讓學(xué)生能夠具有分析和解決電磁學(xué)問題的基本能力[8]。

1 電磁學(xué)的靜態(tài)可視化

在分析電磁學(xué)問題時，我們需要具備一定的抽象思維。隨時間變化的電場能夠激發(fā)磁場，隨時間變化的磁場也能激發(fā)電場，但是這種變化以及其中涉及到的概念都是抽象的，它們都是看不見也摸不到的，沒有一定的形態(tài)、質(zhì)量等，因此很難直接被我們理解[9]。接下來我們通過分別繪制電磁學(xué)中的電場、磁場來說明如何利用建模仿真實現(xiàn)圖像的靜態(tài)可視化[10]。

1.1 等勢線和電場線的可視化仿真

問題描述：考慮如圖1所示的導(dǎo)體結(jié)構(gòu)和相應(yīng)電勢，試推導(dǎo)導(dǎo)體內(nèi)部的點(x,y)處的電勢表達式，并編寫一個程序繪制等勢線和電場線。

圖1 導(dǎo)體結(jié)構(gòu)及相應(yīng)電勢

首先通過分析計算，我們可以得到該導(dǎo)體電壓的拉普拉斯方程為

(1)

接下來需要根據(jù)該方程進行建模和仿真。繪制等勢線和電場線的偽代碼如算法1所示。

仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 在0

圖3 在0

1.2 磁場的可視化仿真

問題描述：如圖4所示，以z軸為中心的環(huán)形線圈帶有8.0 A的電流，匝數(shù)為200。內(nèi)徑為1.0 cm，外徑為3.0 cm。編寫程序計算并繪制在x-y平面上有界區(qū)域(-5.0 cm≤x≤5.0 cm和-5.0 cm≤y≤5.0 cm)的磁場大小。

圖4 帶有8.0 A電流的環(huán)形線圈

環(huán)形線圈的橫截面如圖5所示，這個問題要求我們在x-y平面上畫出磁場，也就是說需要計算x-y平面上每個點的磁場(實際上不是每個點，而是盡可能多的點)，并將這些值存儲到一個二維矩陣中。我們可以給線圈上的每個點都指定一個特殊的角度值。例如,如果一個點(在圓柱坐標(biāo)參數(shù))的角度φ為π/3，那么在計算第三匝角度時，給這個點指定的角度值是在一般情況下，φ′=φ+2(k-1)π。其中k∈Z,1≤k≤匝數(shù)且0≤φ≤π。已知φ′的大小，可以求出第k匝上點的直角坐標(biāo)：

圖5 環(huán)形線圈的截面視圖

(2)

(3)

(4)

(5)

現(xiàn)在沿著電流I的方向?qū)⒕€圈分成許多段，以便可以編寫程序計算磁場。假設(shè)要把這個線圈劃分成n段，那么需要在線圈上選取n+1個點。對于第i點，可以求出該點的角度，再利用坐標(biāo)公式計算該點處的磁場。

這一部分算法的偽代碼如下：

為了驗證仿真代碼的準(zhǔn)確性，以Matlab仿真軟件為例，運行結(jié)果如圖6所示，圖像展示了由以z軸為中心的螺線管產(chǎn)生的磁場線，可以看出通過引入Matlab強大的繪圖仿真功能，將大量的數(shù)據(jù)以仿真圖形的形式展現(xiàn)出來，更加直觀、清晰，容易接受，也進一步加深了學(xué)生對電磁場相關(guān)知識的理解。

圖6 環(huán)形線圈在x-y平面上產(chǎn)生的磁場線

2 電磁學(xué)的動態(tài)可視化

在“電磁學(xué)”課程的教學(xué)中，有很多物理概念僅靠靜態(tài)的圖像仍無法展示出其實質(zhì)，很多學(xué)生對這類問題還是無法深入理解。比如在電磁波的教學(xué)中，電磁波是由于電場與磁場在空間中以波的形式移動而產(chǎn)生的，因此它的傳輸狀態(tài)會隨著空間和時間的變化而改變。為了更好地理解電磁波的這種波動性，我們需要利用圖像的動態(tài)可視化來分析問題。

除此之外，在電磁波的教學(xué)中還存在一個重要的物理概念——極化。極化根據(jù)電場強度等物理量的不同可以分為很多種。這一部分知識由于內(nèi)容理論性強且較為抽象，常被視為教學(xué)上的重、難點。學(xué)生在學(xué)習(xí)該部分知識時，僅靠理論概念和靜態(tài)圖形仍然難以想象出極化波具體的傳導(dǎo)過程。利用常見的仿真軟件可以實現(xiàn)動態(tài)圖像的演示，不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且加強學(xué)生對電磁波和極化等概念的熟悉和理解。下面的例子說明了如何通過建模、計算演示電磁波及其極化[10]。

2.1 均勻平面波的可視化

問題描述：某種無損材料μr=9且εr=16，一個10 MHz的均勻平面波以速度Ex0=323 V/m沿ay方向傳播，t=60 ns時在點P(0.6,0.6,0.6)處有Ey0=Ez0=0。試編寫一個程序表示在區(qū)域0

設(shè)Emax是電場最大的振幅，可以得到

(6)

已知t=60 ns時在點P(0.6,0.6,0.6)處有：

(7)

所以電場最大振幅為

(8)

這樣一來，我們就得到了均勻平面波建模的必要條件，接下來通過具體算法對該問題進行建模仿真。算法的偽代碼如下表所示：

如圖7所示，我們得到沿y軸正半軸運動的均勻平面波四個不同時刻的捕捉動畫，縱軸是電場大小。通過建模仿真將抽象問題具體化，生成的動態(tài)圖像加強了我們對均勻平面波的理解。

(a)第一時刻

(b)第二時刻

(c) 第三時刻

(d)第四時刻圖7 均勻平面波的動態(tài)過程

2.2 均勻平面波的極化及其可視化

問題描述：在自由空間中存在一個均勻平面波，已知該均勻平面波的電場強度為E(z,t)=4.0cos(ωt-41.88z-30°)ax+9.0cos(ωt-41.88z+90°)ay，試編寫一個程序來顯示電場極化的動畫。

首先我們可以從t=0時開始追蹤z=0平面上電場的極化。從z軸正半軸向z軸負半軸看，可以看到電場在z=0平面上順時針旋轉(zhuǎn)，由于電磁波沿z軸正半軸的方向傳播，且振幅不同，因此根據(jù)極化的分類，可以得到極化呈左橢圓形。接下來我們需要借助計算機的仿真軟件實現(xiàn)電場極化的動畫演示，在這里我們選擇了具有強大圖像可視化功能的Matlab進行動畫演示，電場極化的偽代碼可以表示為：

圖8為捕捉極化任意時刻的動畫里的四個時刻畫面。圖中顯示的矢量即為例題中的電場。當(dāng)動畫運行時，該電場矢量將和我們分析的結(jié)果一樣，呈順時針旋轉(zhuǎn)。電場極化的動態(tài)可視化由此實現(xiàn)。

(a)第一時刻

(b)第二時刻

(c)第三時刻

(d)第四時刻圖8 極化的動態(tài)過程

3 結(jié)語

利用電磁學(xué)的可視化仿真教學(xué)，將抽象的物理概念轉(zhuǎn)化為靜態(tài)或動態(tài)的直觀圖像來解決電磁學(xué)中的問題。這種將可視化理念和理論分析相結(jié)合的方法，可以有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更深刻地理解電磁學(xué)中各種各樣的物理概念，同時也豐富了教師的教學(xué)方式和方法，給電磁學(xué)理論和實驗教學(xué)提供了一個新的思路。