王子豪,王安國,冷文

(天津大學(xué)a.微電子學(xué)院;b.電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,天津 30072)

傳感器陣列信號(hào)處理在雷達(dá)、聲吶、醫(yī)學(xué)圖像處理和射電天文學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。波束形成技術(shù)是陣列信號(hào)處理中的一個(gè)重要分支?；趥鞲衅鞯牟ㄊ纬伤惴ㄊ沟幂敵鲂盘?hào)與干擾加噪聲功率之比最大化,在無失真地接收感興趣的期望信號(hào)的同時(shí),最大程度抑制干擾和噪聲的功率[1]。傳統(tǒng)波束形成算法在陣列流形和信號(hào)先驗(yàn)信息精確已知的前提下,性能極其優(yōu)越。但是在實(shí)際環(huán)境中,導(dǎo)向矢量失配、采樣快拍數(shù)過小、無法得到無期望信號(hào)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)等問題往往會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)波束形成算法性能急劇下降[2-5]。

為了提高波束形成算法的穩(wěn)健性和自適應(yīng)性,人們提出了許多改進(jìn)優(yōu)化的波束形成算法,其中包括采樣協(xié)方差矩陣求逆算法、對角加載算法、基于特征子空間投影算法和協(xié)方差矩陣重構(gòu)等多種算法。這些算法在特定的工作環(huán)境中針對某類誤差具有較好的效果。但傳輸過程中的信道誤差、信號(hào)的接收誤差和陣列的構(gòu)形誤差等因素會(huì)導(dǎo)致性能不佳,因此波束形成技術(shù)仍具有重要研究意義[6-8]。

Capon波束形成算法在滿足期望信號(hào)導(dǎo)向矢量無失配和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣精確已知的條件下,性能十分優(yōu)秀。但實(shí)際通信過程中,必然會(huì)存在各種誤差影響波束形成器的性能。Cox等人與Carlson分別獨(dú)立提出了對角加載波束形成算法。對角加載方法就是在樣本協(xié)方差矩陣的對角元素加上一個(gè)常數(shù),關(guān)于對角加載的研究關(guān)鍵在于加載量的選擇,但是加載量的選擇缺乏理論指導(dǎo)[5]。對角加載算法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單,計(jì)算量小,便于工程實(shí)現(xiàn)。Sergiy A.Vorobyov等人于2003年提出了最差情況性能最優(yōu)算法,該算法設(shè)計(jì)了一種針對任意失配情況甚至是多種失配并存的波束形成算法[4]。其使用范圍較廣,但該算法針對某類具體失配情況效果一般。Sergiy A.Vorobyov等人于2008年提出了基于序列迭代二次規(guī)劃的波束形成算法,該算法通過導(dǎo)向矢量優(yōu)化迭代,使得最終的估計(jì)導(dǎo)向矢量接近真實(shí)值[6]。該算法針對導(dǎo)向矢量失配具有較好效果,但是面對協(xié)方差矩陣誤差仍不具有穩(wěn)健性。Gu Yujie等人于2012年提出一種基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的波束形成算法,此后又有許多研究者對此算法進(jìn)行了更深入的研究和改進(jìn),此類方法對協(xié)方差矩陣誤差具有很好的穩(wěn)健性,但針對其它的誤差(例如導(dǎo)向矢量誤差等)也會(huì)出現(xiàn)性能下降的情況[8]。針對以上問題,研究提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)和導(dǎo)向矢量優(yōu)化的波束形成算法。所提算法具有較高的輸出信干噪比,能夠在一定程度上減弱協(xié)方差矩陣誤差和導(dǎo)向矢量失配等問題帶來的影響,同時(shí)在小快拍場景下也具有較好性能。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 信號(hào)模型

基于一維均勻線陣模型,陣列由M個(gè)各向同性的陣元組成。信號(hào)建模為窄帶遠(yuǎn)場信號(hào)。假設(shè)信號(hào)與干擾和噪聲互不相關(guān),根據(jù)文獻(xiàn)[1],則均勻線陣在k時(shí)刻的接收信號(hào)可以寫成式(1)

其中:xs(k)=s(k)a0∈CM×1;和xn(k)∈CM×1分別代表期望信號(hào),干擾信號(hào)和噪聲;s(k)代表期望信號(hào)的波形包絡(luò),a0代表期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量。al代表第l個(gè)干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量,sl(k)為其對應(yīng)的波形包絡(luò)。xn(k)為零均值,方差為的高斯白噪聲。根據(jù)陣列信號(hào)處理的相關(guān)理論,從θ處入射的信號(hào),其導(dǎo)向矢量寫作式(2)

其中:λ表示信號(hào)的波長;d表示2個(gè)陣元之間的間距;(·)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算。根據(jù)范數(shù)相關(guān)定理,可得導(dǎo)向矢量的歐幾里得范數(shù)具有式(3)的性質(zhì)。

將接收信號(hào)進(jìn)行復(fù)數(shù)加權(quán)得到最終的輸出,寫作式(4)

其中:w=[w1,w2,…,wM]T∈CM×1表示復(fù)加權(quán)矢量;(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。根據(jù)文獻(xiàn)[1],可將陣列輸出信干噪比(SINR,signal-to-interference-plus-noise ratio)定義為式(5)

最優(yōu)權(quán)重可以根據(jù)最大化輸出信干噪比的原則來求解。根據(jù)式(5)可得以下最優(yōu)化問題

通過拉格朗日乘子法可以求得上述優(yōu)化問題的解。該解就是最小方差無失真響應(yīng)(MVDR,minimum variance distortionless response)波束形成器的權(quán)矢量[9-12]。其值為式(8)

在實(shí)際場景中,無法得到準(zhǔn)確的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。根據(jù)信號(hào)的時(shí)間平穩(wěn)性,采用一批接收數(shù)據(jù)來估計(jì)協(xié)方差矩陣。用批量采樣快拍數(shù)據(jù)計(jì)算采樣協(xié)方差矩陣,再使用采樣協(xié)方差矩陣來代替干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。采樣協(xié)方差矩陣∈CM×M的表達(dá)式如下

其中K表示采樣快拍數(shù)。將采樣協(xié)方差矩陣代替MVDR波束形成器權(quán)矢量中的Ri+n,從而得到采樣協(xié)方差矩陣求逆(SMI,sample covariance inversion)算法的表達(dá)式[3]。

根據(jù)式(10)可以發(fā)現(xiàn),導(dǎo)向矢量和采樣協(xié)方差矩陣的對波束形成器的輸出性能影響很大,當(dāng)出現(xiàn)導(dǎo)向矢量失配或協(xié)方差矩陣誤差等情況,會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)波束形成算法性能嚴(yán)重下降[13-16]。

2 研究算法

2.1 協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法

由以上分析可知,當(dāng)接收信號(hào)中包含期望信號(hào)時(shí),接收到的采樣協(xié)方差矩陣中包含期望信號(hào)成分,會(huì)使得波束形成器性能下降。筆者提出了一種協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法,通過估計(jì)信號(hào)和干擾成分的功率及入射角,構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣,使其不包含期望信號(hào)成分或者包含極少的期望信號(hào)成分,從而減弱了協(xié)方差矩陣誤差帶來的波束形成器的性能下降,提高了輸出信干噪比。

根據(jù)式(1),求得接收的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為下式[3]

其中:A=[a0,a1,…,aL]∈CM×(L+1)表示陣列流形,是由期望信號(hào)和干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量組成的矩陣;s(k)=(s(k),s1(k),…sL(k))T∈C(L+1)×1表示信號(hào)和干擾的波形包絡(luò)構(gòu)成的向量。Rn∈CM×M代表噪聲協(xié)方差矩陣,根據(jù)高斯白噪聲假設(shè),有成立,I表示單位陣。Rs=E{s(k)sH(k)}∈C(L+1)×(L+1)為信號(hào)和干擾的互譜矩陣。顯然矩陣R為厄米特矩陣,利用矩陣分解知識(shí),有下式存在[4]

其中:λi(i=1,2,…,M)表示矩陣特征分解后得到的M個(gè)特征值。ei(i=1,2,…,M)表示第i個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量。∑=diag(λ1,λ2,…,λM)∈CM×M,表示矩陣特征值分解得到的M個(gè)特征值組成的對角陣。U=[e1,e2,…,eM]∈CM×M表示特征向量組成的矩陣。

根據(jù)較大的特征值對應(yīng)信號(hào)子空間,較小特征值對應(yīng)噪聲子空間的理論,式(12)可以重寫為

根據(jù)式(15)可知,信號(hào)子空間與噪聲子空間相互正交。

將式(16)和式(17)代入式(18),可得

通過矩陣運(yùn)算可以得到信號(hào)和干擾的互譜矩陣Rs為

根據(jù)其定義,Rs矩陣可寫作

很多經(jīng)典的波束形成算法都是基于信號(hào)源數(shù)目已知,或根據(jù)采樣協(xié)方差矩陣特征分解選取較大的特征值對應(yīng)的特征向量作為信號(hào)子空間,剩余特征向量作為噪聲子空間。但在實(shí)際應(yīng)用中信號(hào)源的數(shù)目往往無法得到。在波束形成技術(shù)中,信號(hào)子空間維數(shù)的確定是算法實(shí)現(xiàn)高性能的關(guān)鍵?？臻g場景中信號(hào)和干擾的變化嚴(yán)重影響著信號(hào)子空間的構(gòu)造和劃分。雖然可以用信息論準(zhǔn)則和輔助變量法等一些方法對信號(hào)源數(shù)目進(jìn)行估計(jì),進(jìn)而對空間進(jìn)行劃分,但是在低信噪比下仍會(huì)出現(xiàn)子空間模糊,輸出信干噪比下降等問題。筆者采用一種基于矩陣特征值分解的子空間確定法。采樣協(xié)方差矩陣特征值分解后,特征值對應(yīng)空間傳感器接收信號(hào)各分量的功率。空間某處接收到了信號(hào)或干擾,同時(shí)也受到了噪聲的影響,所以該處必然會(huì)對應(yīng)較大的特征值。根據(jù)疊加性,可知信號(hào)和干擾子空間所對應(yīng)的特征值會(huì)大于噪聲子空間對應(yīng)的特征值。在高信噪比下,信號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于噪聲功率,則采樣協(xié)方差矩陣特征值大小會(huì)相差很大數(shù)量級(jí),然而在低信噪比下,特征值相差不大甚至非常接近,這時(shí)就需要進(jìn)行計(jì)算從而確定信號(hào)子空間維數(shù)。

將特征值序號(hào)作為橫坐標(biāo),將降序排列的特征值模的平方進(jìn)行取對數(shù)運(yùn)算作為縱坐標(biāo),畫出特征值曲線,曲線形狀類似于字母“L”,稱其為L-曲線。曲線有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn),即膝點(diǎn)。其表示噪聲和其他信號(hào)成分的分界點(diǎn)。顯然可以發(fā)現(xiàn),在高信噪比場景下,膝點(diǎn)很容易找到,但在低信噪比下,轉(zhuǎn)折點(diǎn)難以直接確定,需要通過數(shù)學(xué)計(jì)算來確定膝點(diǎn)位置。具體方法如下:

1)計(jì)算相鄰2個(gè)特征值模平方取對數(shù)的差值,得到相鄰特征值取對數(shù)后的變化量;

2)計(jì)算上一步得到的相鄰變化量之間的差值,得到相鄰特征值取對數(shù)后的變化率,即曲線的曲率。

3)求曲率最大的點(diǎn),即為膝點(diǎn)。

膝點(diǎn)確定后,膝點(diǎn)右側(cè)的值為噪聲功率,從而劃分出信號(hào)子空間和噪聲子空間。通過該方法可以確定各空間維數(shù),從而得到Us和Un。

假設(shè)一個(gè)期望信號(hào)從3°入射,2個(gè)干擾信號(hào)分別從30°和50°入射,信噪比和干噪比均為-5 dB。陣元數(shù)為10,采樣快拍數(shù)為100。期望信號(hào)估計(jì)角度為0°。其對數(shù)特征值和特征值序號(hào)關(guān)系圖如圖1所示。

圖1 特征值曲線圖Fig.1 Curve of eigenvalue

根據(jù)膝點(diǎn)法求解的步驟,得到圖2。

圖2 相鄰特征值曲率圖Fig.2 Curvature graph of adjacent eigenvalues

根據(jù)圖2可以發(fā)現(xiàn)膝點(diǎn)位于特征值序號(hào)3的位置,信號(hào)及干擾源共有3個(gè)。膝點(diǎn)法對于信噪比比較低,特征值非常接近,子空間無法分辨的問題,具有很好的效果。

觀察式(20),求解Rs還需要得到較為精確的陣列流形A。在傳感器接收端接收數(shù)據(jù)時(shí),假定接收到期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量為a(θ0),該導(dǎo)向矢量可能與真實(shí)的導(dǎo)向矢量存在誤差。同時(shí)設(shè)置期望信號(hào)的觀測角扇區(qū)為Θs。利用求根MUSIC算法(Root-MUSIC)進(jìn)行求根運(yùn)算,代替?zhèn)鹘y(tǒng)MUSIC算法的譜搜索。

根據(jù)文獻(xiàn)[17],先定義如下多項(xiàng)式

其中:ei是采樣協(xié)方差矩陣特征值分解后,(M-L-1)個(gè)較小的特征值對應(yīng)的特征向量。

當(dāng)z=exp(jω)時(shí),多項(xiàng)式的根位于單位圓上,則p(exp(jω))為角頻率為ω所對應(yīng)的導(dǎo)向矢量的形式。當(dāng)該角頻率為信號(hào)角頻率時(shí),則其變?yōu)樾盘?hào)導(dǎo)向矢量。

根據(jù)信號(hào)處理相關(guān)理論,有下式成立

式(24)表明信號(hào)子空間與信號(hào)和干擾導(dǎo)向矢量張成的空間是同一個(gè)空間。同時(shí)由于信號(hào)子空間與噪聲子空間是正交的,所以信號(hào)和干擾導(dǎo)向矢量張成的空間也與噪聲子空間正交,從而信號(hào)導(dǎo)向矢量與噪聲子空間也是正交的。式(22)可修改為

通過求解式(25)多項(xiàng)式的根可以得到有關(guān)信號(hào)角度的信息。由于式(25)存在z項(xiàng),導(dǎo)致求零過程不是很簡單,為了提高計(jì)算效率,進(jìn)行下述修正

式(26)共有(M-1)對根,且相互共軛。如果不存在協(xié)方差矩陣誤差,那么將會(huì)有(L+1)個(gè)根落在單位圓上。實(shí)際場景中,考慮到協(xié)方差矩陣的誤差,求得式(25)中接近單位圓的(L+1)個(gè)根z1,…zL+1。對于一維等距均勻線陣,有下式

假設(shè)信源數(shù)為3,陣元數(shù)為8,3個(gè)信號(hào)分別從45°,60°和10°方向入射到陣列(此處認(rèn)為干擾也是信號(hào)),信噪比為20 dB。表1為采用Root-MUSIC算法估計(jì)出的信號(hào)角度。

表1 Root-MUSIC算法估計(jì)信號(hào)角度Table 1 The Root-MUSIC algorithm estimates signal angle

根據(jù)表1可以看出,該算法具有較好的角度估計(jì)能力,采用該方法能夠得到較為準(zhǔn)確的信號(hào)入射角度。

因?yàn)閰f(xié)方差矩陣存在誤差,所以采用Root-MUSIC算法求出的角度可能與真實(shí)的存在一定的偏差,表1也驗(yàn)證了存在一定的角度誤差。研究采取下式進(jìn)行約束選擇,確定期望信號(hào)的入射角度。

其中:B為信號(hào)主瓣帶寬。滿足式(28)的角度即為期望信號(hào)入射角度,剩下的角度即為干擾信號(hào)入射角度。為方便表述,假設(shè)θ1為期望信號(hào),θ2,…θL+1為L個(gè)干擾信號(hào)對應(yīng)的入射角度。于是陣列流形A可重寫為下式

將相關(guān)量代入式(20),可以求得互譜矩陣Rs。此時(shí)對角線元素即為與之對應(yīng)的信號(hào)和干擾功率。MVDR波束形成器要求接收信號(hào)中盡可能少的包含期望信號(hào)成分,所以基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)思想,重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣如下

即將采樣協(xié)方差矩陣較小的(M-L-1)個(gè)特征值求均值作為噪聲功率的估計(jì)值。然后根據(jù)式(30)求得優(yōu)化后的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣i+n。

2.2 導(dǎo)向矢量優(yōu)化

根據(jù)式(10)可以發(fā)現(xiàn),導(dǎo)向矢量誤差也會(huì)影響波束形成器的權(quán)矢量,從而影響輸出信干噪比。近些年相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者提出一些針對導(dǎo)向矢量優(yōu)化的算法,這些算法的主要思路是通過設(shè)置約束條件,利用范數(shù)約束通過二階錐規(guī)劃技術(shù)進(jìn)行迭代求解。也有算法通過設(shè)定誤差角度的不確定性集,通過求解優(yōu)化問題得到修正向量,從而修正假定的導(dǎo)向矢量。這些已有算法的應(yīng)用受限于其自身計(jì)算復(fù)雜度高、迭代次數(shù)多、收斂速度較慢和優(yōu)化問題求解復(fù)雜等因素,因而,導(dǎo)向矢量優(yōu)化算法仍有較大提升空間。研究基于空域積分和導(dǎo)向矢量投影思想進(jìn)行導(dǎo)向矢量優(yōu)化。傳統(tǒng)投影算法在低信噪比下出現(xiàn)子空間模糊,投影后導(dǎo)向矢量仍有較大誤差。在高信噪比下協(xié)方差矩陣失配,投影算法失效。針對上述問題,將投影思想與空域積分相結(jié)合,進(jìn)行導(dǎo)向矢量修正,所提算法思路簡單,便于實(shí)現(xiàn),同時(shí)具有較好的性能。

當(dāng)導(dǎo)向矢量存在失配時(shí),假定的導(dǎo)向矢量會(huì)使得波束形成器的輸出信干噪比下降。為了減小導(dǎo)向矢量失配帶來的性能損失。進(jìn)行導(dǎo)向矢量估計(jì)使得估計(jì)后的導(dǎo)向矢量更接近真實(shí)的導(dǎo)向矢量。首先構(gòu)造如下正定矩陣C。

其中:Θs為期望信號(hào)到達(dá)角落在的扇區(qū),且該區(qū)間僅包含期望信號(hào)而不包含任何干擾信號(hào)。該正定矩陣通過對期望信號(hào)波達(dá)角扇區(qū)范圍內(nèi)所有角度的導(dǎo)向矢量進(jìn)行空域積分運(yùn)算。積分運(yùn)算通過多點(diǎn)求和運(yùn)算進(jìn)行編程求解。定義如下空域功率譜

圖3 空域功率譜與角度的關(guān)系圖Fig.3 The relation chart of spatial power spectrum and angle

由圖3可知,對于期望信號(hào)角度區(qū)域中的導(dǎo)向矢量,空域功率譜的值很大,對于不在該區(qū)域的信號(hào),空域功率譜的值很小,所以該正定矩陣對于期望信號(hào)具有選擇加強(qiáng)性,對非期望信號(hào)具有極大的抑制作用。當(dāng)信號(hào)扇區(qū)很小,近似為一個(gè)點(diǎn)時(shí),則對該正定矩陣特征值分解,可以得到與假定導(dǎo)向矢量相關(guān)性最大的特征向量,不考慮范數(shù)約束,可以認(rèn)為是真實(shí)導(dǎo)向矢量的估計(jì)值。當(dāng)信號(hào)扇區(qū)變大時(shí),期望信號(hào)成分仍然占據(jù)主導(dǎo)地位,其主成分仍為期望信號(hào)導(dǎo)向矢量最佳近似估計(jì)。但存在一些其他成分在信號(hào)扇區(qū),前文假設(shè)該扇區(qū)不包括干擾成分,則干擾對該正定矩陣無貢獻(xiàn)。由于空間噪聲的存在,該正定矩陣會(huì)包含噪聲成分,但是其值很小,所以該正定矩陣主要由期望信號(hào)起主導(dǎo)作用。定義2個(gè)向量a,b的相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)系數(shù)用來衡量2個(gè)向量之間的相關(guān)性。利用相關(guān)系數(shù),來尋找上述正定矩陣特征分解后的特征向量中與假定信號(hào)導(dǎo)向矢量相似度最高的向量。

對矩陣Q進(jìn)行特征值分解,得到其特征分解如下式

假定接收到的導(dǎo)向矢量為a(θ0),定義下式

式(36)通過尋找與假定導(dǎo)向矢量相似度最高的特征向量來完成對導(dǎo)向矢量的估計(jì)?？紤]到范數(shù)約束,根據(jù)式(3),可得導(dǎo)向矢量修正值pro

其中sqrt為開根號(hào)運(yùn)算。通過式(37)可以得到較為精確的導(dǎo)向矢量修正值。但是隨機(jī)的陣列誤差,積分扇區(qū)的不當(dāng)選取,較低的信噪比環(huán)境等問題會(huì)導(dǎo)致矩陣Q特征分解后的主成分摻雜噪聲成分,導(dǎo)致修正后的導(dǎo)向矢量仍存在一定誤差。筆者將投影思想與上述修正方法結(jié)合,以應(yīng)對在復(fù)雜場景下出現(xiàn)的導(dǎo)向矢量預(yù)估不準(zhǔn)的問題。

根據(jù)信號(hào)處理中的子空間理論,真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量一定落在信號(hào)加干擾子空間中,可以通過向信號(hào)加干擾子空間投影的方法來降低信號(hào)導(dǎo)向矢量估計(jì)誤差。利用投影可以將假定的導(dǎo)向矢量的在噪聲子空間的分量去除,最大限度的提高導(dǎo)向矢量估計(jì)的精度。

投影算法的關(guān)鍵在于信號(hào)加干擾子空間和噪聲子空間的劃分,如果劃分不當(dāng),則投影后的導(dǎo)向矢量便不是完全落在信號(hào)加干擾子空間,無法減弱導(dǎo)向矢量失配帶來的性能下降。在此部分仍采用膝點(diǎn)法進(jìn)行子空間的確定和劃分。

根據(jù)式(13)可得信號(hào)子空間Us和噪聲子空間Un。根據(jù)投影分析相關(guān)理論,定義投影矩陣Es。其表達(dá)式如下

因?yàn)?/p>

于是投影矩陣可以寫作

將導(dǎo)向矢量向信號(hào)加干擾子空間投影后,得到投影后的導(dǎo)向矢量(θ0),其寫作下式

假定的導(dǎo)向矢量中包含了較多的期望信號(hào)先驗(yàn)信息,通過投影算法可將期望信號(hào)信息保留,將該方法得到的導(dǎo)向矢量與導(dǎo)向矢量修正值結(jié)合,能夠應(yīng)對各種場景的失配,同時(shí)可以最大限度的將期望信號(hào)導(dǎo)向矢量還原。具體公式如下

將式(30)和式(42)代入式(8),可以得到最優(yōu)權(quán)重如下

2.3 算法總體描述

為了表述更為清晰,將所提算法實(shí)現(xiàn)步驟總結(jié)如下:

2)通過膝點(diǎn)法確定信號(hào)子空間和噪聲子空間,利用Root-MUSIC算法確定干擾的入射角度和其對應(yīng)的功率值。

4)根據(jù)式(42)求得優(yōu)化后的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量anew。

所提算法復(fù)雜度集中在矩陣分解部分和空域積分部分。采樣協(xié)方差矩陣特征分解的運(yùn)算量為O(M3),空域積分的運(yùn)算量為O(SM2),其中S為求解積分所用離散點(diǎn)數(shù)目。所提算法相比于傳統(tǒng)算法具有低復(fù)雜度,高輸出信干噪比的特性,抗干擾能力強(qiáng),自適應(yīng)性好。是一種穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

對所提出的算法進(jìn)行了仿真分析,將其與采樣協(xié)方差矩陣求逆(SMI,sample matrix inversion)算法、對角加載SMI(LSMI,loading SMI)算法、基于特征子空間(ESB,eigenspace-based)算法、基于序列二次迭代(SQP,sequential programming)的波束形成算法、最差情況性能最優(yōu)(WCB,worst-case optimizationbased)波束形成算法和最少先驗(yàn)信息(LP,as little as possible prior information)波束形成算法進(jìn)行比較。同時(shí)最優(yōu)輸出信干噪比也展示在仿真結(jié)果中。在所有的仿真實(shí)驗(yàn)中,均采用陣元數(shù)M=10的均勻一維線性陣列,陣元半波長等距擺放,期望信號(hào)的假定入射角度θ=5°,2個(gè)干擾信號(hào)分別從-30°和50°入射到基陣,期望信號(hào)均存在于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中,即每個(gè)實(shí)驗(yàn)均存在協(xié)方差矩陣誤差。圖中的每個(gè)點(diǎn)均是由100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)得到的。所提算法中,期望信號(hào)的估計(jì)角度扇區(qū)Θs=[θ-5°,θ+5°],其中積分運(yùn)算采用100個(gè)均勻離散點(diǎn)求和代替積分值。在WCP算法中,設(shè)置ε=0.3M。在SQP算法中,范數(shù)修正小量δ=0.1,取正定矩陣C的8個(gè)主特征向量參與仿真。WCP算法和LP算法中求解最優(yōu)化問題均采用MATLAB中的CVX工具箱。SQP算法求解優(yōu)化問題采用SeDu Mi工具箱。具體實(shí)驗(yàn)中的額外條件將在每個(gè)具體實(shí)驗(yàn)中詳細(xì)敘述。

仿真實(shí)驗(yàn)1:期望信號(hào)導(dǎo)向矢量精確已知

在本仿真實(shí)驗(yàn)中,假定知道導(dǎo)向矢量的精確值,即不存在導(dǎo)向矢量誤差。盡管精確信息已知,但是訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號(hào)導(dǎo)致協(xié)方差矩陣存在誤差,相比于無期望信號(hào)的訓(xùn)練數(shù)據(jù),仍會(huì)導(dǎo)致波束形成算法性能下降。圖4仿真了無導(dǎo)向矢量失配情況下,不同算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖?？炫臄?shù)為50,信噪比從-20 d B到30 d B均勻產(chǎn)生,2個(gè)干擾信號(hào)干噪比均為10 dB。

圖4 輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖(無導(dǎo)向矢量失配)Fig.4 The curve of output SINR versus input SNR(no steering vector mismatch)

SMI算法通過采樣協(xié)方差矩陣求逆進(jìn)行波束形成,雖然其導(dǎo)向矢量無誤差,但是協(xié)方差矩陣帶來的失配使其在高信噪比環(huán)境下輸出信干噪比無法提升。本實(shí)驗(yàn)LSMI算法對角加載量選取為5倍的噪聲功率,在低信噪比下,LSMI算法性能相對優(yōu)越,主要原因是加載量抑制了小的噪聲特征值帶來的擾動(dòng),在高信噪比下,由于加載量過小,無法進(jìn)一步抑制噪聲特征值的在矩陣求逆后帶來的較大影響,所以該算法在高信噪比輸出信干噪比同樣無法提升。對于ESB算法,其在低信噪比下表現(xiàn)較差,主要原因?yàn)榈托旁氡认?易發(fā)生子空間纏繞和子空間模糊,這會(huì)導(dǎo)致基于特征子空間的算法對子空間維數(shù)的判斷出現(xiàn)誤差,從而導(dǎo)致其性能下降。在較高信噪比下,該算法性能相對得以提高,此時(shí)信噪比較高,信號(hào)子空間和噪聲子空間劃分明顯,其算法優(yōu)勢得以體現(xiàn)。WCP算法主要針對空間存在多種誤差的情況而設(shè)計(jì)的一種算法,其綜合性能表現(xiàn)也相對較好,尤其在高信噪比下,性能相比于其它算法優(yōu)勢明顯。SQP算法利用迭代思想,其針對導(dǎo)向矢量進(jìn)行不斷迭代求解,通過修正小量使得優(yōu)化后的導(dǎo)向矢量更加接近真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量,原參考文獻(xiàn)中SQP算法無協(xié)方差矩陣失配,對比該算法均假設(shè)存在協(xié)方差矩陣失配。該算法針對導(dǎo)向矢量無誤差的實(shí)驗(yàn)條件,其性能優(yōu)勢也無法體現(xiàn),較高的計(jì)算復(fù)雜度并沒有得到更優(yōu)的輸出信干噪比。

從圖4可以看出,所提算法幾乎與最優(yōu)輸出信干噪比重合,證明了所提算法在無導(dǎo)向矢量誤差情況下,通過協(xié)方差矩陣重構(gòu),得到了極為準(zhǔn)確的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣,此時(shí)的輸出信干噪比達(dá)到了與最佳輸出信干噪比水平相當(dāng)?shù)某潭?。所提算法輸出信干噪比在高信噪比?相比于WCP算法有3 dB左右的提高。由仿真實(shí)驗(yàn)1可以看出,所提算法無論在高信噪比還是低信噪比下,均具有較高的輸出信干噪比,是一種穩(wěn)健的波束形成算法。

仿真實(shí)驗(yàn)2:存在期望信號(hào)接收角度誤差

在本仿真實(shí)驗(yàn)中,存在期望信號(hào)導(dǎo)向矢量失配,即期望信號(hào)估計(jì)的接收角度與真實(shí)的角度存在誤差。真實(shí)角度為5°,假定接收角度為0°,存在5°的接收誤差。此時(shí)既存在導(dǎo)向矢量失配,也存在協(xié)方差矩陣失配。針對該假設(shè),進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。圖5仿真了該條件下,不同算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖?？炫臄?shù)為50,信噪比從-20 d B～30 d B均勻產(chǎn)生,2個(gè)干擾信號(hào)干噪比均為10 dB。

圖5 輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖(存在導(dǎo)向矢量失配)Fig.5 The curve of output SINR versus input SNR(steering vector mismatch)

WCP算法在低信噪比和高信噪比下均能保持較高的輸出信干噪比,主要原因是其針對多種失配進(jìn)行了聯(lián)合建模求解,將多種誤差都放到一個(gè)最優(yōu)化求解問題中,所以該算法不針對特定誤差,但對多種誤差并存的實(shí)驗(yàn)條件表現(xiàn)相對較好。LP算法需要極少的先驗(yàn)信息,在低信噪比下性能相比于其它算法表現(xiàn)較差,但高信噪比下性能得以提高。ESB算法主要影響因素是子空間的劃分,對于導(dǎo)向矢量誤差,該算法并不敏感,其也能保持一定的輸出信干噪比,但是在高信噪比下,受限于協(xié)方差矩陣誤差,其輸出信干噪比也出現(xiàn)下降。SQP算法雖然能夠針對導(dǎo)向矢量,進(jìn)行優(yōu)化求解,但是該算法對期望信號(hào)存在于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中,造成協(xié)方差矩陣誤差這一問題,并未進(jìn)行有效的解決,所以該算法在協(xié)方差矩陣誤差較大情況下,出現(xiàn)了性能下降較為嚴(yán)重的問題。LSMI算法仍然存在高信噪比下加載量無法起到加載效果的問題,從而導(dǎo)致輸出信干噪比下降。無法應(yīng)對導(dǎo)向矢量失配等問題。

由圖5分析可知,所提算法在導(dǎo)向矢量失配條件下,仍然具有很好的波束形成效果,其輸出信干噪比相比于最優(yōu)輸出信干噪比有較小差距。所提算法在應(yīng)對導(dǎo)向矢量失配和采樣協(xié)方差矩陣失配方面具有極佳的效果。

仿真實(shí)驗(yàn)3:固定信噪比,存在導(dǎo)向矢量失配

在本仿真實(shí)驗(yàn)中,固定信噪比為10 d B,干噪比也為10 d B,實(shí)際期望信號(hào)的接收角度為0°,即存在期望信號(hào)導(dǎo)向矢量失配,同時(shí)也存在協(xié)方差矩陣失配。該條件下的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 輸出信干噪比隨快拍數(shù)的變化曲線圖(存在導(dǎo)向矢量失配)Fig.6 The curve of output SINR versus the number of snapshots(steering vector mismatch)

從仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),所提算法始終具有很高的輸出信干噪比,在小快拍和大快拍場景下均具有很好的效果。其它對比算法隨著快拍數(shù)增加,輸出信干噪比會(huì)發(fā)生變化。說明快拍數(shù)對波束形成算法具有一定的影響。LP算法隨快拍數(shù)的增加,其輸出信干噪比也增加,ESB算法隨快拍數(shù)增加輸出信噪比增加明顯,說明大快拍下,該算法性能較好。其余對比算法受快拍數(shù)影響不大,但也有一定的變化。SMI算法在該實(shí)驗(yàn)條件下,無論在什么快拍場景,其性能都比較差,說明SMI算法對失配條件極其敏感。在快拍數(shù)50時(shí),所提算法相比LP算法有6 d B的性能提升,跟最優(yōu)輸出信干噪比相差1.5 d B左右。對比其它算法也更為優(yōu)秀。在雷達(dá)發(fā)射接收信號(hào)時(shí),有時(shí)候無法得到較多快拍數(shù)下的信號(hào)數(shù)據(jù),所以小快拍下,能夠保證較高輸出信干噪比的波束形成算法也是優(yōu)秀的算法。圖6結(jié)果證明了所提算法在小快拍場景下優(yōu)越性。

仿真實(shí)驗(yàn)4:固定信噪比,不存在導(dǎo)向矢量失配

固定信噪比為10 d B,干噪比也為10 dB,實(shí)際期望信號(hào)的接收角度為5°,導(dǎo)向矢量無失配,但存在協(xié)方差矩陣失配。該條件下的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化曲線圖(無導(dǎo)向矢量失配)Fig.7 The curve of output SINR versus the number of snapshots(no steering vector mismatch)

從圖7可以發(fā)現(xiàn),所提算法在無導(dǎo)向矢量失配情況下,輸出信干噪比曲線與最優(yōu)曲線幾乎重合,且不受快拍數(shù)影響,在小快拍場景下具有明顯的優(yōu)勢。其它對比算法受快拍數(shù)影響較大?？傮w趨勢為輸出信干噪比隨采樣快拍數(shù)增加而變大。SMI算法受快拍數(shù)影響最大,在導(dǎo)向矢量無誤差情況下,采樣數(shù)越高,則采樣協(xié)方差矩陣越精確,則輸出信干噪比越大。SQP算法和LSMI算法受快拍數(shù)影響較大,在小快拍下性能會(huì)出現(xiàn)下降?？傮w上SQP算法、LSMI算法和ESB算法在此仿真條件下性能相差不大。圖7仿真結(jié)果證明了所提算法具有很高的輸出信干噪比,適合在小快拍場景使用。

仿真實(shí)驗(yàn)5:存在局部相干散射導(dǎo)致期望信號(hào)導(dǎo)向矢量失配

本實(shí)驗(yàn)中,期望信號(hào)導(dǎo)向矢量因?yàn)榇嬖诰植肯喔缮⑸?導(dǎo)致與真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量存在誤差。實(shí)驗(yàn)快拍數(shù)為100,干噪比為15 dB。本仿真將期望信號(hào)導(dǎo)向矢量建模為5個(gè)信號(hào)的求和。具體形式為:。其中p表示直達(dá)波信號(hào),b(θi)(i=1,2,3,4)對應(yīng)局部相干散射路徑。方向角θi在每次仿真實(shí)驗(yàn)中由均勻隨機(jī)發(fā)生器獨(dú)立產(chǎn)生,其均值為3°,標(biāo)準(zhǔn)差為1°。ψi(i=1,2,3,4)為第i條路徑的相角。每次實(shí)驗(yàn)在[0,2π]上獨(dú)立均勻產(chǎn)生。方向角和相角在每次實(shí)驗(yàn)中是變化的,但每次實(shí)驗(yàn)的多次快拍內(nèi)保持不變。基于上述仿真條件,得到仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖(存在局部相干散射)Fig.8 The curve of output SINR versus input SNR(local coherent scattering)

所提算法由于具有極好的導(dǎo)向矢量優(yōu)化作用,針對局部相干散射場景,仍可以得到較為準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量,在該條件下,性能相比于參考算法有很大的優(yōu)勢。而對比的幾類算法由于無法針對局部相干散射帶來的誤差,導(dǎo)致輸出信干噪比不高,甚至出現(xiàn)急劇下降的情況。仿真結(jié)果證明所提算法具有很強(qiáng)的抗局部相干散射能力。

仿真實(shí)驗(yàn)6:存在波前失真

實(shí)驗(yàn)仿真了波前失真情況下的算法性能。干噪比為30 dB。在非均勻傳播介質(zhì)中,會(huì)導(dǎo)致波前失真,導(dǎo)向矢量出現(xiàn)扭曲,相位畸變由相位增量累計(jì)而成。假定每次實(shí)驗(yàn)中相位增量保持不變,相位增量的產(chǎn)生服從均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為0.08的高斯分布。仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 輸出信干噪比隨輸入信噪比變化曲線圖(存在波前失真)Fig.9 The curve of output SINR versus input SNR(wavefront distortion)

所提算法在該實(shí)驗(yàn)條件下輸出信干噪比較大,性能優(yōu)越。LSMI算法在信噪比大于5 d B后,輸出信干噪比下降,說明對角加載算法對于波前失真不具有穩(wěn)健性。ESB算法也是在高信噪比下出現(xiàn)曲線下降的問題,這是由于高信噪比下,協(xié)方差矩陣失配帶來的影響。WCB算法輸出信干噪比雖然不高,但是該算法也能保證一定的輸出信干噪比。由仿真結(jié)果可以得出結(jié)論,所提算法應(yīng)對波前失真具有魯棒性和穩(wěn)健性。

4 結(jié) 論

提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)和導(dǎo)向矢量優(yōu)化相結(jié)合的波束形成算法。通過估計(jì)干擾信號(hào)的功率和入射角,重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣,同時(shí)為了應(yīng)對導(dǎo)向矢量失配帶來的波束形成器性能下降的問題,采用了空域積分,尋找相似度最大的特征向量,結(jié)合子空間投影算法對導(dǎo)向矢量進(jìn)行修正。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果證明,所提算法在導(dǎo)向矢量失配和協(xié)方差矩陣誤差及其它誤差存在的條件下,具有較好的性能,能夠保證較高的輸出信干噪比。所提算法在快拍數(shù)固定且存在導(dǎo)向矢量失配情況下,其輸出信干噪比與最優(yōu)輸出信干噪比相差1 dB左右,在較高信噪比條件下,相比于WCP算法有5 dB的性能提升,相比于LP算法有4 dB的性能提升。在固定信噪比和存在導(dǎo)向矢量失配情況下,所提算法與最優(yōu)輸出信干噪比相差1.5 dB左右,但其隨快拍數(shù)增加變化不大,是一種穩(wěn)健的波束形成算法,相比于其它對比算法均有4 dB以上的性能提升。所提算法較為準(zhǔn)確的角度估計(jì)、協(xié)方差矩陣重構(gòu)和導(dǎo)向矢量優(yōu)化保證了其有效性和穩(wěn)健性。因此所提算法是一種比較好的自適應(yīng)波束形成算法。