丁 鋒,劉喜梅

(1.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇 無(wú)錫214122;2.青島科技大學(xué) 自動(dòng)化與電子工程學(xué)院,山東 青島266061)

系統(tǒng)辨識(shí)的基本方法包括投影辨識(shí)方法、隨機(jī)梯度辨識(shí)方法、最小二乘辨識(shí)方法、牛頓辨識(shí)方法。這些方法與一些新思想、新理論、新原理、新概念,如 輔助模型辨識(shí)思想、多新息辨識(shí)理論、遞階辨識(shí)原理、耦合辨識(shí)概念、濾波辨識(shí)理念等[1-7]相結(jié)合,誕生出許多辨識(shí)方法,如輔助模型投影方法、輔助模型隨機(jī)梯度方法、輔助模型最小二乘方法、輔助模型牛頓辨識(shí)方法等。

從2017年開(kāi)始在《青島科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》連載“信號(hào)建模”論文,從2018年開(kāi)始連載“傳遞函數(shù)辨識(shí)”論文26篇,即遍歷26個(gè)字母A,B,C,…,Z。最近的連載論文研究了線性回歸系統(tǒng)、方程誤差系統(tǒng)和輸出誤差系統(tǒng)的遞階遞推辨識(shí)方法和遞階迭代辨識(shí)方法[8-16]。有限脈沖響應(yīng)(FIR)模型在信號(hào)處理和濾波器設(shè)計(jì)中用得很多。這里考慮一類有色噪聲干擾的有限脈沖響應(yīng)系統(tǒng),其干擾是滑動(dòng)平均(moving average,MA)過(guò)程,即有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均模型(FIR-MA 模型)描述的一類最簡(jiǎn)單有色噪聲干擾的隨機(jī)控制系統(tǒng),連載論文研究了有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的遞階遞推參數(shù)估計(jì)[9]和遞階增廣迭代參數(shù)估計(jì)方法[10]。本研究利用濾波辨識(shí)理念,研究FIR-MA 系統(tǒng)的濾波增廣遞推辨識(shí)方法,即濾波增廣參數(shù)估計(jì)方法。

1 FIR-MA 系統(tǒng)及其濾波辨識(shí)模型

有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均(FIR-MA)模型又稱為受控滑動(dòng)平均模型(controlled moving average model,CMA模型)。

考慮下列有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均模型(FIRMA模型)描述的隨機(jī)控制系統(tǒng),

假設(shè)階次n b和n d已知,記n:＝n b＋n d。設(shè)t≤0時(shí),各變量的初值為零:u(t)＝0,y(t)＝0,v(t)＝0。

對(duì)應(yīng)于含有滑動(dòng)平均噪聲D(z)v(t)干擾的系統(tǒng)辨識(shí)方法稱為“增廣”辨識(shí)方法,即將噪聲模型的參數(shù)d i增加到參數(shù)向量中。因此,當(dāng)系統(tǒng)中涉及滑動(dòng)平均噪聲項(xiàng),即MA 噪聲干擾時(shí),對(duì)應(yīng)的辨識(shí)方法名稱中都有“增廣”二字,以示區(qū)別。

定義參數(shù)向量和信息向量:

注1 式(11)和(5)是經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)濾波后得到的兩個(gè)辨識(shí)模型,即FIR-MA 系統(tǒng)的濾波辨識(shí)模型(filtered identification model),一個(gè)包含了系統(tǒng)模型的參數(shù)向量b,另一個(gè)包含了噪聲模型的參數(shù)向量d,它們包含了系統(tǒng)的所有參數(shù)。

注2 濾波辨識(shí)模型(11)和(5)中只包含了白噪聲干擾v(t),但是濾波輸出yf(t),濾波輸入信息向量φf(shuō)(t),噪聲w(t)和噪聲向量ψ(t)都是未知的,因此必須利用可得到的觀測(cè)數(shù)據(jù){y(t),φ(t)},采用遞推或迭代方案,通過(guò)對(duì)這些未知變量yf(t),φf(shuō)(t),w(t),ψ(t)和v(t)進(jìn)行估算,從而提出相應(yīng)的濾波辨識(shí)方法。

2 基于濾波的增廣隨機(jī)梯度方法

3 基于濾波的多新息增廣隨機(jī)梯度方法

4 基于濾波的多新息增廣投影方法

下面利用最速下降法推導(dǎo)濾波多新息增廣投影辨識(shí)方法?？紤]從j＝t－p＋1到j(luò)＝t的數(shù)據(jù)窗里的p組數(shù)據(jù)。定義堆積噪聲向量:

假設(shè)步長(zhǎng)(step size)為μf(t)和μ(t)。使用最速下降法(負(fù)梯度搜索),極小化準(zhǔn)則函數(shù)J3(b)和J4(d),可以得到梯度遞推關(guān)系:

聯(lián)立式(58)～(63)和(46)～(57),就得到辨識(shí)FIRMA 系統(tǒng)參數(shù)向量b和d的基于濾波的多新息增廣投影辨識(shí)算法,簡(jiǎn)稱濾波多新息增廣投影算法(filtered multi-innovation extended projection algorithm,F-MI-EProj算法):

則式(70)～(85)構(gòu)成了簡(jiǎn)化的濾波多新息增廣投影算法(F-MI-EProj算法)。

5 基于濾波的遞推增廣梯度方法

根據(jù)式(6),(11)和(5),定義堆積輸出向量Y(t)和堆積輸入信息矩陣Φ(t),堆積濾波輸出向量Yf(t)和堆積濾波輸入信息矩陣Φf(t),堆積噪聲向量W(t)和堆積噪聲矩陣Ψ(t)如下:

根據(jù)式(11)和(5),定義二次準(zhǔn)則函數(shù):

6 基于濾波的多新息遞推增廣梯度方法

這個(gè)算法也稱為基于殘差的F-MI-REG 算法,讀者可以寫出基于新息的F-MI-REG 算法,并研究它們的收斂性[3]

7 基于濾波的遞推增廣最小二乘方法

極小化準(zhǔn)則函數(shù)J5(b)和J6(d),可以得到下列最小二乘遞推關(guān)系:

L1(t)∈?nb和L2(t)∈?n d為增益向量(gain vector),P1(t)∈?nb×nb和P2(t)∈?n d×n d為協(xié)方差矩陣(covariance matrix)。

8 基于濾波的多新息增廣最小二乘方法

當(dāng)p＝1時(shí),上述算法退化為濾波遞推增廣最小二乘算法(139)～(151)。

注3多新息辨識(shí)方法包含多新息遞推辨識(shí)方法和多新息迭代辨識(shí)方法。對(duì)于多新息遞推辨識(shí)方法,常常省略“遞推”兩個(gè)字,將多新息遞推最小二乘辨識(shí)方法簡(jiǎn)稱為多新息最小二乘辨識(shí)方法。如,濾波多新息遞推增廣最小二乘辨識(shí)算法簡(jiǎn)稱為濾波多新息增廣最小二乘算法,濾波多新息遞推增廣最小二乘辨識(shí)算法簡(jiǎn)稱為濾波多新息增廣最小二乘算法。

9 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)最簡(jiǎn)單的方程誤差滑動(dòng)平均(EEMA)系統(tǒng),即有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng),研究和提出了濾波(多新息)增廣隨機(jī)梯度辨識(shí)算法、濾波多新息增廣投影辨識(shí)算法、濾波(多新息)遞推增廣梯度辨識(shí)算法、濾波(多新息)增廣最小二乘辨識(shí)算法。盡管這些濾波增廣辨識(shí)方法是針對(duì)滑動(dòng)平均噪聲干擾下的有限脈沖響應(yīng)隨機(jī)系統(tǒng)提出的,但是其思想可以推廣到有色噪聲干擾下的線性和非線性多變量輸出誤差隨機(jī)系統(tǒng)中[17-31]。