史格非

中山大學(xué)，廣州 510275

0 引言

空間系留電梯(Partial Space Elevator，PSE)概念源于“航天之父”齊奧爾科夫斯基提出的“太空電梯”構(gòu)想。其總體結(jié)構(gòu)如圖1。位于較高軌道的主航天器通過(guò)系繩將運(yùn)輸航天器系留于較低軌道，通過(guò)電力驅(qū)動(dòng)電梯艙內(nèi)部爬行機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)負(fù)載電梯艙沿系繩的快速移動(dòng)。該系統(tǒng)構(gòu)建靈活，運(yùn)輸成本低，安全性好，特別適于空間站物資運(yùn)輸及面向超大型航天器在軌組裝的大范圍跨軌道載荷交換。其相關(guān)技術(shù)擁有廣闊的應(yīng)用前景[1]。

圖1 空間系留電梯系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)

在載荷運(yùn)輸過(guò)程中，系統(tǒng)各剛體間的動(dòng)力學(xué)耦合將導(dǎo)致主航天器軌道參數(shù)發(fā)生變化，這不利于面向空間站及超大型航天器的貨物運(yùn)輸。因此，如何將主航天器保持在目標(biāo)軌道上，尤其是保持固定的軌道半徑，是空間系留電梯面向貨物運(yùn)輸工程實(shí)踐的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

在過(guò)去的幾十年里，許多學(xué)者都致力于空間系留電梯(PSE)的動(dòng)力學(xué)和控制方法的研究。Misra等[2]和Lorenzini等[3]給出了空間系留電梯的數(shù)學(xué)模型。Cohen等[4]、Woo等[5]和Williams等[6]研究了PSE的動(dòng)力學(xué)特性。Yamagiwa等[7]從工程角度研究了PSE。Kojima等[8]提出了“任務(wù)函數(shù)”控制方法，僅通過(guò)調(diào)整電梯艙移動(dòng)速度來(lái)抑制貨物運(yùn)輸過(guò)程中的系統(tǒng)擺動(dòng)。史格非等[9]借鑒文獻(xiàn)[10]，系統(tǒng)地研究了PSE的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)，提出了不使用推力的擺動(dòng)抑制策略。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[11]提出了一種控制非平衡欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的“并行優(yōu)化軌跡規(guī)劃與跟蹤”控制方法。上述工作皆假設(shè)主航天器錨定于固定軌道上。針對(duì)更為實(shí)際的情況，Jung等[12]建立了主航天器非錨定的PSE動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)主航天器軌道半徑的變化特性進(jìn)行了初步分析，但相關(guān)問(wèn)題依然有待進(jìn)一步研究。到目前為止，對(duì)于非錨定PSE的軌道半徑保持問(wèn)題的研究非常有限，但依然可以借鑒部分現(xiàn)有的控制策略。鐘睿和朱正宏[13]提出了一種分段最優(yōu)控制方法來(lái)控制電動(dòng)力繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的軌道參數(shù)和姿態(tài)。相關(guān)的優(yōu)化方法可用于處理欠驅(qū)動(dòng)空間多體系統(tǒng)，包括非錨定PSE。除了最優(yōu)控制方法外，模糊控制也是控制PSE的一種可能方法?？紤]到軌道和姿態(tài)控制的要求，Rao等[14]提出了一種基于模型預(yù)測(cè)控制的“三階段”控制策略，用于對(duì)欠驅(qū)動(dòng)繩系系統(tǒng)進(jìn)行離軌控制。由于這種方法的泛用性和可實(shí)現(xiàn)性，可以考慮將其用于PSE的軌道保持及擺動(dòng)抑制。

本文的研究目的是在不使用推力的情況下，實(shí)現(xiàn)對(duì)非錨定PSE在貨物運(yùn)輸過(guò)程中主航天器的軌道半徑保持。首先，擴(kuò)展經(jīng)典的“兩啞鈴模型”，建立空間系留電梯動(dòng)力學(xué)模型。在平衡特性分析的基礎(chǔ)上，提出了一種新的自穩(wěn)定修正律。進(jìn)一步，基于自穩(wěn)定修正律，提出了一種新的控制策略并與SHMPC融合，在抑制系統(tǒng)擺動(dòng)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了主航天器軌道半徑的保持。仿真結(jié)果表明，所提出的控制策略適應(yīng)貨物運(yùn)輸任務(wù)的特點(diǎn)，效果良好。

1 動(dòng)力學(xué)建模與分析

非錨定空間系留電梯簡(jiǎn)圖及狀態(tài)參數(shù)如圖2：

圖2 系統(tǒng)簡(jiǎn)圖及狀態(tài)參數(shù)

為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)系統(tǒng)處于一個(gè)無(wú)擾動(dòng)的中心引力場(chǎng)中，忽略大氣阻力、太陽(yáng)光壓、面外運(yùn)動(dòng)、系繩質(zhì)量和彈性[15]。動(dòng)力學(xué)模型建立在地心慣性系O-XY中。采用拉格朗日方程建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，得到系統(tǒng)的六自由度動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

將式(7)代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以得到如下關(guān)系式：

(8)

(9)

(10)

圖3 軌道參數(shù)平衡狀態(tài)

上述結(jié)果是基于系繩總長(zhǎng)度不變的假設(shè)下得出的，即，Lc=0。在系繩總長(zhǎng)度可變的條件下，對(duì)應(yīng)不同的L1，可以得到特定軌道狀態(tài)下的平衡解：

(11)

平衡點(diǎn)解集如圖4中的實(shí)線表示。如圖4(a)所示，對(duì)應(yīng)不同的L1，可以通過(guò)改變Lc進(jìn)行平衡，其變化范圍為系統(tǒng)初始總繩長(zhǎng)的45%～55%。在上述算例中，m1/m2=1/2，當(dāng)該比值更小時(shí)，即電梯艙質(zhì)量相比于下端系留飛船質(zhì)量更小時(shí)，平衡解中的Lc減小，見(jiàn)圖4(b)。

圖4 對(duì)應(yīng)固定軌道半徑的平衡點(diǎn)軌道狀態(tài)參數(shù)

綜上所述，在平衡狀態(tài)下，對(duì)應(yīng)電梯艙不同的位置，r/r0的變化量遠(yuǎn)大于ω/ω0。此外，可以通過(guò)改變Lc，實(shí)現(xiàn)對(duì)非錨定的PSE的軌道保持，基于該結(jié)論，開(kāi)展控制器設(shè)計(jì)研究。

2 控制器設(shè)計(jì)

(12)

(13)

如式(5)所示，通過(guò)調(diào)節(jié)T1主航天器軌道進(jìn)行保持的本質(zhì)是對(duì)軌道半徑動(dòng)力學(xué)方程的修正。因此，可以以T1為虛擬控制輸入，設(shè)計(jì)相應(yīng)的修正律，實(shí)現(xiàn)主航天器軌道半徑的自穩(wěn)定。將該自穩(wěn)定修正律寫(xiě)成滑模變結(jié)構(gòu)控制律的形式，得到：

(14)

上述自穩(wěn)定修正律可以看作是對(duì)控制輸入的一種約束。在該種約束下，通過(guò)調(diào)節(jié)u1和u2，可以對(duì)主航天器軌道半徑進(jìn)行保持，并抑制非錨定PSE的擺動(dòng)。由于貨物運(yùn)輸是一個(gè)過(guò)程任務(wù)，故，要求系統(tǒng)狀態(tài)在任務(wù)結(jié)束時(shí)收斂到平衡狀態(tài)。對(duì)此，本文采用面向任務(wù)的SHMPC對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。所預(yù)測(cè)的時(shí)域覆蓋從當(dāng)前狀態(tài)到任務(wù)結(jié)束的時(shí)間段，控制時(shí)域則始終與預(yù)測(cè)時(shí)域成相同比例，當(dāng)控制時(shí)域結(jié)束時(shí)，開(kāi)始新的預(yù)測(cè)時(shí)域。本文忽略計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)間。隨著控制近程的推進(jìn)，預(yù)測(cè)時(shí)域越來(lái)越短，相應(yīng)的控制時(shí)域也在縮減，這意味著越是接近任務(wù)結(jié)束，控制步長(zhǎng)及其對(duì)應(yīng)的周期就越短，控制精度也越高，這可以極好地應(yīng)對(duì)空間系留電梯運(yùn)輸任務(wù)所面臨的“面條”效應(yīng)[8]。當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)域小于一個(gè)設(shè)定閾值時(shí)，其對(duì)應(yīng)的控制時(shí)域直接與其相等，即控制進(jìn)入最后一個(gè)周期。在本文中，考慮PSE的運(yùn)輸任務(wù)與系繩長(zhǎng)度L1直接相關(guān)，因此控制時(shí)域直接以系繩長(zhǎng)度作為尺度以代替時(shí)間尺度。這樣，每個(gè)控制步長(zhǎng)結(jié)束時(shí)刻tf是浮動(dòng)的，則當(dāng)前控制周期的目標(biāo)函數(shù)為：

(15)

服從公式(1)、(2)、(5)、(6)、(13)、(14)以及

(16)

(17)

3 仿真校驗(yàn)

圖5 系統(tǒng)擺角變化

圖6 系繩長(zhǎng)度變化

圖7 主航天器軌道半徑變化

圖8 控制輸入與系繩張力

綜上所述，在自穩(wěn)定修正律和比例SHMPC的作用下，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非錨定PSE的軌道保持，同時(shí)，也可以對(duì)系統(tǒng)擺動(dòng)進(jìn)行抑制。通過(guò)調(diào)節(jié)控制輸入，在運(yùn)輸任務(wù)周期結(jié)束時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)將收斂到一個(gè)新的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，而相應(yīng)的，需要對(duì)下端飛船沿系繩向更低的軌道進(jìn)行一定的釋放。

4 結(jié)論

本文基于六自由度動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)非錨定空間系留電梯的平衡狀態(tài)進(jìn)行了分析。研究發(fā)現(xiàn)，為了保證對(duì)主航天軌道進(jìn)行保持并使系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)，可以沿系繩對(duì)下端飛船進(jìn)行一定的釋放。受這一發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)，本文提出了一種自穩(wěn)定修正律，通過(guò)直接給定T1的修正律，實(shí)現(xiàn)對(duì)主航天器的軌道半徑保持。在此基礎(chǔ)上，面向保持軌道半徑和抑制擺動(dòng)的需求，提出了一種新穎的控制策略。在此基礎(chǔ)上，考慮空間系留電梯貨物運(yùn)輸任務(wù)特性，設(shè)計(jì)了基于比例SHMPC的控制律。仿真校驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的控制策略能夠在不使用推力的情況下，有效地實(shí)現(xiàn)主航天器的軌道半徑保持，并對(duì)系統(tǒng)擺動(dòng)進(jìn)行有效抑制。