張富慶

【摘要】 課本是重要的數(shù)學(xué)資源，課本中的例題、習(xí)題是教材編者精心挑選的具有代表性的一些問(wèn)題，是理解概念、性質(zhì)、判定并學(xué)會(huì)運(yùn)用它們解決問(wèn)題的助推器，其蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，有廣闊的內(nèi)涵和外延，是中考乃至其他命題的重要題源，故應(yīng)該對(duì)一些重要的例題、習(xí)題進(jìn)行再思考，挖掘出一系列結(jié)論，感悟典型例題習(xí)題的再生性，體現(xiàn)課本習(xí)題的潛在功能，實(shí)現(xiàn)課本資源利用最大化.

【關(guān)鍵詞】 課本練習(xí);再思考

題源 有這么一道習(xí)題：如圖1，△ABC和△CDE是等邊三角形，△EBC可以看做是△DAC經(jīng)過(guò)平移、軸對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)得到，試說(shuō)明得到△EBC的過(guò)程.

這道數(shù)學(xué)練習(xí)題實(shí)際上是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想讓學(xué)生說(shuō)明△DAC是如何得到△EBC的！比較容易理解，我們可以對(duì)這道練習(xí)題進(jìn)行再思考，挖掘其他一些有價(jià)值的結(jié)論！

1 挖掘其他三角形全等

本題不管是運(yùn)用三角形全等還是旋轉(zhuǎn)知識(shí)去解釋?zhuān)寄艿玫浇Y(jié)論△ADC≌△BEC，事實(shí)上我們還可以挖掘出其他一些全等三角形，如△APC≌△BQC和△DPC≌△EQC（在這不贅述證明）

結(jié)論1 △APC≌△BQC和△DPC≌△EQC.

2 挖掘相關(guān)線段、角的結(jié)論

根據(jù)三角形全等性質(zhì)，很明顯容易想到一些線段或角相等的結(jié)論，由△ADC≌△BEC顯然容易得出：

結(jié)論2 AD=BE，∠1=∠2，∠3=∠4.

同理根據(jù)△APC≌△BQC和△DPC≌△EQC，也容易得出：

結(jié)論3 AP=BQ，PC=QC，PD=QE，

∠APC=∠BQC，∠DPC=∠EQC，

∠ACP=∠PCQ=∠QCE=60°，∠POQ=120°.

如果繼續(xù)再連接OC，根據(jù)△APC≌△BQC，所以△APC和△BQC的面積相等，又AP=BQ，顯然由等面積法可得出這兩邊上的高相等，所以根據(jù)角平分線的判定定理很顯然CO平分∠POQ.

結(jié)論4 OC平分∠POQ或∠POC=∠QOC=60°.

3 挖掘特殊三角形和線段的特殊位置關(guān)系

順著上面的思路，根據(jù)三角形全等知識(shí)，如果連接PQ，顯然可以發(fā)現(xiàn)△PCQ是等邊三角形，也就說(shuō)∠ACP=∠QPC=60°，

即PQ∥AE.

結(jié)論5 △PCQ是等邊三角形.

結(jié)論6 PQ∥AE.

4 挖掘四點(diǎn)共圓

我們知道，證明多點(diǎn)共圓，常有三種處理策略：

一是依據(jù)圓的定義，即證明動(dòng)點(diǎn)到某點(diǎn)是定值（定點(diǎn)對(duì)定長(zhǎng)）.

二是逆用圓周角性質(zhì)，即證明動(dòng)點(diǎn)對(duì)一定線段的張角為定值（定弦對(duì)定角）.

三是利用四邊形中如果對(duì)角互補(bǔ)，那么該四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.對(duì)于本練習(xí)題，我們進(jìn)一步思考挖掘，可以發(fā)現(xiàn)該圖形中蘊(yùn)含著多個(gè)四點(diǎn)共圓的知識(shí)（結(jié)論7、8）.

我們知道，在△PBO和△PAC中，∠1=∠2，∠BPO=∠APC，顯然根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，我們可以發(fā)現(xiàn)∠BOP=∠ACP=60°，

所以∠POQ+∠PCQ=120°+60°=180°，

即四邊形OPCQ的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

結(jié)論7 四邊形OPCQ的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

如圖6，連接OC，根據(jù)∠1=∠2，∠3=∠4，易得四邊形ACOB的四個(gè)頂點(diǎn)和四邊形DOCE的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

結(jié)論8 四邊形ACOB的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;四邊形DOCE的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

5 挖掘動(dòng)點(diǎn)軌跡

如果點(diǎn)C是線段AE上的一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），△ABC和△DCE在線段AE同側(cè)的等邊三角形，那么點(diǎn)C在線段AE上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段AD和BE的交點(diǎn)O的軌跡是怎樣的圖形？

如圖7，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠POQ=120°，所以根據(jù)圓周角性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)O對(duì)定線段AE的張角永遠(yuǎn)為定值，所以點(diǎn)O的軌跡是一段弧.

結(jié)論9 動(dòng)點(diǎn)O的軌跡是⊙M中，弦AE上方的一段弧（不含點(diǎn)A，E）.

動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題經(jīng)常在中考試題中出現(xiàn)，例如2016年山東日照市數(shù)學(xué)中考試題中，就出現(xiàn)一道類(lèi)似的試題：

原題（節(jié)選）：我們把滿(mǎn)足某種條件的所有點(diǎn)所組成的圖形叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡，如圖8，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連接AD，BC，交點(diǎn)為Q.

（1）求∠AQB的度數(shù);

（2）若AB=6，求動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng).

顯然第1問(wèn)，根據(jù)前面我們講解過(guò)的知識(shí)，雖然點(diǎn)P在線段AB上的位置不同，但是∠AQB=120°不變，

第2問(wèn)，同樣我們知道，點(diǎn)Q的軌跡是弦AB所對(duì)應(yīng)的一段劣弧AB（不包括端點(diǎn)A，B），如圖9，假設(shè)劣弧AB所在圓為⊙O，

因?yàn)椤螦QB=120°，

所以∠AOB=120°，

過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由垂徑定理可得

BE=AE=12AB=3，∠BOE=60°，

在Rt△OBE中，

OB=BEsin60°=332=23，

由扇形的弧長(zhǎng)公式可得劣弧AB的長(zhǎng)

L=120180π·OB=23×23π=43π3.

即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)為43π3.

6 挖掘其他結(jié)論

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當(dāng)然，對(duì)于該題我們還可繼續(xù)深思，如圖10，如果連接OC，且在AO上截取OH=OC，那么顯然根據(jù)前面的探究，我們?nèi)菀椎玫健鰿OH是等邊三角形;△AHC≌△BOC;AH=BO或AO=BO+CO等結(jié)論.

結(jié)論10 △COH是等邊三角形圖11

△AHC≌△BOC，

AO=BO+CO，

……

如圖11，如果點(diǎn)A，C，E不共線，其他條件保持不變，那么又會(huì)衍生出那些結(jié)論呢？原先的結(jié)論是否會(huì)成立呢？這里不再贅述，感興趣的讀者可以繼續(xù)探究.

顯然，我們通過(guò)對(duì)這道練習(xí)題的探究，可以發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，尤其在中考復(fù)習(xí)中，我們多對(duì)一些課本上重要的例題、習(xí)題進(jìn)行再思考，多角度多思維去挖掘習(xí)題應(yīng)有的深度和廣度，可以提高我們的學(xué)習(xí)效率.