董 莉，莫曉成，楊子龍，劉思彤，呂 柳，修曉明

(渤海大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧 錦州121013)

0 引言

量子信息是量子力學(xué)與信息科學(xué)交叉的新興學(xué)科，量子信息同經(jīng)典信息相比具有潛在的巨大優(yōu)勢.量子通信被證明在原理上是絕對安全的，量子計算機的并行計算能力遠遠大于經(jīng)典計算機[1]．量子糾纏是量子系統(tǒng)中特有的現(xiàn)象，是完成量子信息處理任務(wù)的重要資源[2]．然而，在量子系統(tǒng)里，由于環(huán)境噪聲的存在，使得量子態(tài)很容易發(fā)生退相干，導(dǎo)致量子態(tài)由最大糾纏態(tài)演化為非最大糾纏態(tài)．這會嚴重影響完成量子信息處理任務(wù)的質(zhì)量，甚至會對量子信息任務(wù)的安全造成威脅．

為了保證完成量子信息處理任務(wù)的可靠性和安全性，人們思考各種辦法來獲得高糾纏度的量子糾纏態(tài)，減少環(huán)境噪聲的影響，糾纏濃縮方案也就應(yīng)運而生．

糾纏濃縮可以從糾纏度較低的糾纏態(tài)中提取出糾纏度較高的糾纏態(tài)，甚至是最大糾纏態(tài)．1996年，Bennett等基于Schmidt投影測量的方法提出了第一個糾纏濃縮方案[3]，此方案是針對Bell類非最大糾纏態(tài)|φ〉=α|00〉+β|11〉的糾纏濃縮，要求兩個參與者在執(zhí)行濃縮方案之前已知糾纏態(tài)的疊加系數(shù)α與β，根據(jù)系數(shù)設(shè)計投影測量．Bose推廣了Bennett的糾纏濃縮思想，提出了基于糾纏交換的Bell類非最大糾纏態(tài)的糾纏濃縮方案[4]，由于糾纏交換的特點，非最大糾纏態(tài)的疊加系數(shù)對于兩個參與者可以是未知的．2000年，Bandyopadhyay提出基于輔助量子比特和一個已知系數(shù)Bell類非最大糾纏態(tài)的糾纏濃縮方案[5]．之后，針對不同糾纏態(tài)和不同物理系統(tǒng)的糾纏濃縮方案相繼被提出[6-16]．2001年，Zhao[6]和Yamamoto等[7]分別利用極化分束器(PBS)等線性光學(xué)元件代替Schmidt投影測量，提出了基于線性光學(xué)元件的糾纏濃縮方案．2008年，Sheng等利用Kerr非線性介質(zhì)提出了一個更高效的糾纏濃縮方案[8]，方案基于Kerr非線性介質(zhì)提供的光子之間的非線性相互作用，實現(xiàn)非破壞測量和循環(huán)糾纏濃縮過程，從而達到提高成功率的目的．2012年，Sheng等又將PBS線性光學(xué)元件和Kerr非線性介質(zhì)分別引入到已知系數(shù)Bell類非最大糾纏態(tài)的糾纏濃縮方案，提出了兩個借助單輔助量子比特實現(xiàn)的光學(xué)系統(tǒng)中已知系數(shù)Bell類非最大糾纏態(tài)的糾纏濃縮方案[9]．

除Kerr非線性介質(zhì)之外，光學(xué)微腔與量子點耦合系統(tǒng)也可以實現(xiàn)光子與光子、電子與電子或光子與電子之間的非線性相互作用[17-22]．2014年，Ren和Long利用單邊光學(xué)微腔量子點耦合系統(tǒng)實現(xiàn)了Bell類超糾纏態(tài)的糾纏濃縮[21]．2017年，Zhao等利用雙邊光學(xué)微腔量子點耦合系統(tǒng)實現(xiàn)了Bell類糾纏態(tài)的糾纏濃縮[22]．

本文基于單邊微腔與量子點耦合系統(tǒng)，提出兩個Bell類糾纏態(tài)的極化糾纏濃縮方案．一個是未知系數(shù)非最大糾纏Bell態(tài)極化糾纏濃縮方案，另一個是已知系數(shù)非最大糾纏Bell態(tài)極化糾纏濃縮方案．

1 單邊微腔與量子點耦合系統(tǒng)

量子點結(jié)構(gòu)特殊，它的形狀和大小都是可以人為改變的，其能級結(jié)構(gòu)也可以同時改變，為更好地實現(xiàn)量子比特提供了更多可供選擇的方法．

圖1 (a)單邊微腔與量子點耦合系統(tǒng)的裝置結(jié)構(gòu)示意圖；(b)耦合系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

當g=0，也就是量子點與單邊光學(xué)微腔不耦合的冷腔，其反射系數(shù)為

(5)

在ω=ωX-=ωc，κ>>κs，g>>κ，γ的條件下，熱腔和冷腔的反射系數(shù)分別為rh(ω)≈1，r0(ω)≈-1，由此可以得到單邊量子點光學(xué)微腔系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系：

|R，↑〉→-|R，↑〉，|R，↓〉→|R，↓〉，|L，↑〉→|L，↑〉，|L，↓〉→-|L，↓〉

(6)

2 Bell態(tài)極化糾纏濃縮方案

|φ〉=α|RR〉+β|LL〉

(7)

這里疊加項的系數(shù)滿足|α|2+|β|2=1．

2．1 未知系數(shù)非最大糾纏Bell態(tài)極化糾纏濃縮方案

假定Alice和Bob不知道噪聲對糾纏態(tài)的影響情況，即不知道疊加態(tài)的系數(shù)α與β．如果糾纏源產(chǎn)生的多個糾纏光子對在傳送過程中可以看成經(jīng)歷相同的退相干作用，即集體噪聲的作用，則通信雙方可以獲得多個相同的非最大糾纏Bell態(tài)．應(yīng)用圖2所示的糾纏濃縮線路即可實現(xiàn)未知系數(shù)的非最大糾纏Bell態(tài)的極化糾纏濃縮．

圖2 基于單邊腔量子點耦合系統(tǒng)非線性實現(xiàn)的未知系數(shù)非最大糾纏Bell態(tài)糾纏濃縮

|φ〉12?|φ〉34?|+〉e

(8)

圓偏振光分束器(CPBS)的作用是透射右圓偏振光子，反射左圓偏振光．如圖2，當光子2和光子4通過CPBS1和CPBS3進入單邊腔量子點耦合系統(tǒng)，按照公式(6)的規(guī)則被反射出來，圓偏振光分束器CPBS2和CPBS4將重新合并光子2和光子4的路徑，系統(tǒng)態(tài)可以表示為

(9)

(10)

光子3和光子4分別通過圓偏振光的Hadamard門，其作用可以表示為

(11)

則(10)式所表示的系統(tǒng)態(tài)將演化成為

(12)

與僅通過線性光學(xué)元件實現(xiàn)的糾纏濃縮方案不同，沒有得到最大糾纏態(tài)并不意味著方案一定失?。瓵lice和Bob可以將得到的糾纏態(tài)重新送入線路，執(zhí)行下一次糾纏濃縮，即實現(xiàn)基于非線性光學(xué)的分級濃縮．

由上面的討論可知，經(jīng)過一次糾纏濃縮的成功概率是P1=2|αβ|2，經(jīng)過兩次糾纏濃縮的成功概率是P2=2|αβ|2+(|α|4+|β|4)2|αβ|4，經(jīng)過三次糾纏濃縮的成功概率是P3=2|αβ|2+(|α|4+|β|4)2|αβ|4+(|α|4+|β|4)(|α|8+|β|8)2|αβ|8，…，即通過分級濃縮可以提高糾纏濃縮的成功概率．

2．2 已知系數(shù)非最大糾纏Bell態(tài)極化糾纏濃縮方案

如果非最大糾纏Bell態(tài)|φ〉12=α|RR〉12+β|LL〉12的系數(shù)α與β是已知的，則可以通過輔助光子 |φ〉3=α|R〉3+β|L〉3實現(xiàn)非最大糾纏Bell態(tài)的極化糾纏濃縮．僅借助線性光學(xué)元件實現(xiàn)的糾纏濃縮的最大成功概率是2|αβ|2，借助單邊腔量子點耦合系統(tǒng)的非線性和分級濃縮思想可以提高糾纏濃縮的成功概率，方案如圖3所示．

圖3 基于單邊腔量子點系統(tǒng)非線性實現(xiàn)的已知系數(shù)非最大糾纏Bell態(tài)糾纏濃縮

系統(tǒng)的初態(tài)可表示為

|φ〉12?|φ〉3?|+〉e

(14)

光子2、光子3與量子點相互作用后，系統(tǒng)態(tài)可以表示為

(15)

如果Bob對量子點內(nèi)電子自旋測量結(jié)果是|+〉e，即系統(tǒng)態(tài)塌縮為非最大糾纏態(tài)α2|RRR〉123+β2|LLL〉123．通過對光子3執(zhí)行與上一結(jié)果類似的操作，Alice和Bob可以獲得非最大糾纏態(tài)α2|RR〉12+β2|LL〉12．Alice和Bob可以令兩個光子再次進入極化糾纏濃縮線路，執(zhí)行分級濃縮從而提高糾纏濃縮的成功概率．

3 總結(jié)

借助單邊光學(xué)微腔量子點耦合系統(tǒng)，我們提出了一個未知系數(shù)非最大糾纏Bell態(tài)的糾纏濃縮方案和一個已知系數(shù)非最大糾纏Bell態(tài)的糾纏濃縮方案．與僅應(yīng)用線性光學(xué)元件實現(xiàn)的糾纏濃縮方案相比，本文提出的方案因為應(yīng)用了光學(xué)非線性相互作用，可以通過增加分級糾纏濃縮環(huán)節(jié)提高方案的成功概率．

以上兩個方案也可以推廣為多方共享GHZ糾纏網(wǎng)絡(luò)的糾纏濃縮方案．多光子GHZ非最大糾纏態(tài) |φ〉12…n=α|RR…R〉12…n+β|LL…L〉12…n和Bell類非最大糾纏態(tài)|φ〉12=α|RR〉12+β|LL〉12都有兩個不相等的復(fù)系數(shù)α和β，因此可以應(yīng)用同樣的糾纏濃縮方法．此外，Bell類非最大糾纏態(tài)和多光子GHZ非最大糾纏態(tài)中所有量子比特都是對稱的，對糾纏態(tài)中任何一個量子比特執(zhí)行操作都是等價的，因此執(zhí)行糾纏濃縮的操作者可以由Bob換成參與糾纏共享的其他任意一人．