摘要 闡述了教師在構建數(shù)學模型過程中，應幫助學生正確地認識生物世界、增強學生進行科學思維的意識;在檢驗數(shù)學模型過程中，理解生物世界、誘導學生科學思維的發(fā)生;在完善數(shù)學模型過程中，充分解釋生物世界、培養(yǎng)學生科學思維的形成;在應用數(shù)學模型過程中，科學地解決生物學問題、促進學生科學思維的發(fā)展。

關鍵詞 高中生物學 科學思維 數(shù)學模型 建構過程 培養(yǎng)路徑

中圖分類號G633. 91

文獻標志碼 B

數(shù)學模型構建是在尊重生物學事實和邏輯證據的前提下，正確精準地反映客觀事物本質及其規(guī)律的方法，是科學思維培養(yǎng)的有效載體。教師要遵從一定的邏輯規(guī)則，創(chuàng)造一切可以利用的機會，引導學生本著求真務實的求知態(tài)度，運用歸納與概括、演繹與推理、模型與建模、批判性思維等方法探討生命現(xiàn)象及規(guī)律，正確應用邏輯思維規(guī)律進行推理活動并不斷得到正確的結果，進而使學生能夠審視或論證生物學社會議題。

1 在構建數(shù)學模型過程中增強學生科學思維的意識

構建數(shù)學模型的目的在于發(fā)現(xiàn)和揭示生物學現(xiàn)象、規(guī)律及規(guī)律背后的本質和意義，并借助模型解決一個或一類問題，因此，模型往往需要不斷地完善修正，以普適于相似問題情境，解決類似問題?？茖W思維在具體→抽象→再具體→再抽象→……再具體中，實現(xiàn)了知識和能力螺旋循環(huán)上升的過程。

例如，在學習“種群數(shù)量變化規(guī)律”時，學生通過感受鮮活的生命現(xiàn)象，掌握了建立數(shù)學模型一般步驟（提出問題→作出假設→實驗數(shù)據→數(shù)學表達→檢驗或修正），引發(fā)了建模興趣。教師引導學生利用類比推理的方法繼續(xù)探究：①學生通過起始個數(shù)為1的二分裂細菌，建立“Nt=2n（n代表分裂的次數(shù)）”的數(shù)學模型公式。②教師通過將細菌起點個數(shù)由實驗中的“1”推廣到了任何初始數(shù)量N0個（N0≥1），引導學生對模型進行第一次修正。學生經過提示、討論后很快得到：Nt=No.2n。③教師提出將細菌種群的增長率設定為100%，學生進行第二次修正，得出“Nt=N0.（1+100%）n’。教師通過對原有公式中“2”的解讀和分解，加深了學生對原有模型的理解，為下一步模型轉換打下基礎。④在第三次修正中，學生尋找種群的增長率，并設定為常數(shù)a，得出“N=N0.（1+a）n’。轉換后的公式，大大拓寬了模型適用的范圍。⑤教師講授：種群增長率a=出生率一死亡率。當氣候適宜、食物和空間條件充裕、沒有敵害等完全理想條件下，種群的增長不會受種群密度增加等條件的影響，。值不變。此時，Nt=No.（1+。）”是指數(shù)函數(shù)。教師引導學生從細菌的實驗室培養(yǎng)條件，到澳大利亞野兔、美國島嶼上環(huán)頸雉的種群數(shù)量快速增長的條件進行分析，建立種群增長模型的“J”型曲線，實現(xiàn)數(shù)學模型的轉換，從而讓學生完善了該模型的適用條件。⑥教師介紹：氣候、食物、天敵、傳染病以及受人工控制的種群數(shù)量不斷增加，野生動植物種群數(shù)量不斷減少等條件下，出生率和死亡率在不斷地變化，種群的增長受種群密度增加的影響，種群增長率。也在不斷地變化。學生討論進行第四次模型修正：當a>0，a雖然在不斷變小，但種群數(shù)量依然上升;當a=0，種群數(shù)量不變達到K值，種群數(shù)量處于穩(wěn)定狀態(tài)，種群建立曲線模型就是“S”型曲線;a<0，意味著種群出生率<死亡率，種群數(shù)量下降。教師引導學生綜合分析，可以拓展出種群數(shù)量變化的類型有增長、穩(wěn)定、波動、下降等發(fā)展變化規(guī)律。教師引導學生由最初的細菌模型推廣到適合更多的生物種群，可為后續(xù)學習群落的結構、生態(tài)系統(tǒng)及其穩(wěn)定性、生態(tài)環(huán)境的保護打下基礎。最后，教師引導學生進行探究實驗“培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的變化”，討論分析實驗的結果與假設是否一致，幫助學生理解：推測的模型還需實驗的驗證，感悟建模價值。

在教學中，教師引導學生從具體的生物現(xiàn)象尋找規(guī)律后建立抽象的數(shù)學模型.又用抽象的數(shù)學模型來解釋具體的生物學現(xiàn)象與規(guī)律。學生用數(shù)學語言解釋種群數(shù)量增長的規(guī)律，始終圍繞“數(shù)學模型構建的程序”這一主線，對數(shù)學公式不斷地修正及模型的轉換，加深對數(shù)學模型的理解，體悟建立模型的科學研究方法，發(fā)展尊重實驗結果、事實求是的嚴謹態(tài)度，認同人類活動對生物種群數(shù)量變化的重要影響。教學過程真正體現(xiàn)了建構性、生成性、多元性的高度統(tǒng)一。

2 在檢驗數(shù)學模型過程中誘導學生科學思維的發(fā)生

檢驗數(shù)學模型就是引導學生運用數(shù)學的方法去思考問題、用數(shù)學的語言去解決問題。在解決問題的過程中，學生需要對數(shù)學模型的有效性進行合理評估，包括確認所建模型和研究對象之間一致性以及驗證模型在問題解決中的可用性兩部分內容。教師進行有效性評估時，要始終注重數(shù)學思維的邏輯。

細胞有氧呼吸反應式（以葡萄糖為呼吸底物）中，C6H12O6、O2、CO2三者間物質的量比例關系為1：6：6。該比例關系形象直觀，反映了物質變化的本質，簡化了有氧呼吸過程中物質變化的數(shù)學關系，提高了課堂教學的效率。教師引導學生驗證該數(shù)學模型，能夠激發(fā)學生的科學思維。從定性的角度，教師可以通過人教版教材《必修1.分子與細胞》中的“探究酵母菌細胞呼吸的方式”的實驗，配合顯色反應，證明有CO2產生;用真空袋分別裝加發(fā)酵粉的面團（留有空氣）和沒加發(fā)酵粉的面團（不留空氣），證明有氧呼吸過程中水的生成，進而讓學生嘗試建構酵母菌細胞有氧呼吸中物質變化的方程式。從定量的角度，教師可以采用2020版蘇教版教材《必修1.分子與細胞》中“探究酵母菌細胞呼吸的方式”實驗所建議的注射器進行定量分析。由于注射器的氣密性和活塞的摩擦力等影響因素，實驗結果必然存在誤差。教師可引導學生運用計算機數(shù)據采集系統(tǒng)自動迅速地采集并記錄錐形瓶溶液中溶解氧、空間中的CO2和O2濃度數(shù)值，并應用Excel軟件和Origin軟件作溶解氧、CO2和O2濃度的變化曲線，從而準確分析在有氧呼吸過程中O2消耗量與CO2產生量之間的關系，幫助學生領會有氧呼吸的變化實質。在學生建模成功后，教師引導學生運用模型解決問題。

（1）細胞呼吸類型的判斷。在以葡萄糖為呼吸反應物的情況下，通常分析02的消耗量和C02的生成量（以產生酒精的無氧呼吸為例）來判斷呼吸的類型。依據有氧呼吸與無氧呼吸反應過程中葡糖糖、氧氣和二氧化碳的系數(shù)關系，可進行判斷。①當有氧呼吸與無氧呼吸反應速率相等時，則共需吸收6分子氧氣，生成8分子二氧化碳，即CO2的生成量與O2的消耗量的比值為4：3。②當CO2的生成量與O2的消耗量的比值為4：3，則有氧呼吸速率等于無氧呼吸速率。③當CO2的生成量與O2的消耗量比值大于4：3，則無氧呼吸與有氧呼吸共同進行，且無氧呼吸占主體地位。④當CO2的生成量與O2的消耗量比值小于4：3，則無氧呼吸與有氧呼吸共同進行，且有氧呼吸占主體地位。

（2）分析曲線（圖1）中細胞呼吸的方式（以葡萄糖為呼吸底物）。①Q點代表不消耗O2，產生CO2，只進行無氧呼吸;②P點及P點以后，消耗O2量等于產生CO2量，細胞只進行有氧呼吸過程;③QP段，產生CO2量大于消耗O2量，同時進行有氧呼吸和無氧呼吸。

（3）設計實驗探究細胞呼吸的方式。①實驗設計：為確認某生物的呼吸類型，應設置兩套呼吸裝置，如圖2所示（以發(fā)芽種子為例）;②實驗結果預測和做出結論。若裝置一液滴不移動，裝置二液滴不移動，說明種子只進行產乳酸的無氧呼吸或種子己死亡;若裝置一液滴不移動，裝置二液滴右移，說明種子只進行產生酒精和CO2的無氧呼吸;若裝置一液滴左移，裝置二液滴右移，說明種子進行有氧呼吸和產生酒精的無氧呼吸;若裝置一液滴左移，裝置二液滴不移動，說明種子只進行有氧呼吸或進行有氧呼吸和產乳酸的無氧呼吸。

3 在完善數(shù)學模型過程中培養(yǎng)學生科學思維的形成

教師引導學生基于同一個問題的模型，不斷地修飾和延伸，拓展出不同的模型，并應用到不同的實際問題中，從而對事物本身屬性背后的邏輯關系進行多角度、多層次的分析。

自由組合定律的“9：3：3：1”變式就是對原有數(shù)學模型進行不斷修飾、完善的過程，多對基因之間除了相互獨立遺傳之外，還有以下幾種情況：①如果只有在兩對非等位顯性基因同時存在時才能決定某一表型，則稱兩對基因存在基因互補作用（效應）。即兩顯性基因同時出現(xiàn)才為一種表型，其余的基因型中任意一對基因或兩對基因發(fā)生隱性純合均無法表現(xiàn)出這一表型。此時，自由組合的子代比率修飾為9（A—B一）：7（3A_bb+3aaB_+laabb），即9：7，測交后代比例為1：3。②兩對非等位基因作用相同，且表現(xiàn)型能夠疊加出現(xiàn)雙顯、單顯、雙隱三種表現(xiàn)型的基因累加作用（效應）。此時，自由組合的子代比率修飾為9（A—B一）：6（3A_bb+ 3aaB_）：laabb，即9：6：1，測交后代比例1：2：1?；蛘呤钱擜與B的作用效果相同，但顯性基因越多，其效果越強時，兩對基因存在基因累加作用（效應）。模型為1（AABB）：4（AaBB+AABb）：6（AaBb+AAbb+ aaBB）： 4（Aabb+ aaBb）：1（aabb），即1：4：6：4：1，測交后代比例1：2：1。③一對基因在隱性狀態(tài)下可抑制或掩蓋另一對非等位基因的表達，存在aa（或bb）時表現(xiàn)為一種表型的隱性上位作用（效應），其余正常表現(xiàn)。此時，自由組合的子代比率修飾為9A_B_：3A_bb：4（3aaB_+laabb）或9A_B_：3aaB_：4（ 3A_bb+laabb），即9：3：4，測交后代比例1：1：2。④一對基因在顯性狀態(tài)下（顯性純合或雜合）可抑制或遮蓋另一對非等位基因表達的顯性基因上位作用（效應），只有當顯性上位基因不存在時，下位基因才表達。此時，自由組合的子代比率為12（9A_B_+3A_bb）：3aaB_： laabb，即12：3：1，測交后代比例2：1：1。⑤由于一對等位基因表現(xiàn)顯性時（雜合或顯性純合），能抑制另一對基因表達的基因抑制作用（效應），所以雙顯性、雙隱性和一種單顯性表現(xiàn)為一種表型，另一種單顯性表現(xiàn)為另一種表型。此時，子代比率修飾為13（9A_B一+3aaB一+laabb）：3A_bb或13（9A_B_+3A_bb+laabb）：3aaB_，即13：3，測交后代比例3：1。⑥兩對非等位基因對表現(xiàn)型產生相同的影響，只要具有顯性基因其表型就一致，其余基因型為另一種表型，表現(xiàn)為基因重疊作用（效應）。此時，自由組合的子代比率修飾為15（9A_B_+3A_bb+3aaB_）：laabb，即15：1，測交后代比例3：1。⑦如果子代中各表型所占份數(shù)之和小于16，則可能存在致死情況。由組合的子代比率修飾為4：2：2：1，表示的是AA、BB均可以使個體死亡，即2AaBB、2AABb、1AABB、lAAbb、laaBB均死亡;孟德爾比率修飾為6：3：2：1表示的是BB（或AA）使個體死亡，即2AaBB、IAABB、laaBB（或2AABb、IAABB、lAAbb）死亡。⑧不同對的兩個基因相互作用，出現(xiàn)了新的表型，但孟德爾比率仍然為9：3：3：1，表現(xiàn)為基因互作作用（效應）。⑨10：3：3、10：6、12：4等數(shù)學模型在目前科學研究中還未發(fā)現(xiàn)。

在強化體悟遺傳規(guī)律數(shù)學模型完善的實踐活動中，教師利用有效的問題，引導學生主動開展論證型科學思維活動。在這種不斷修飾、完善、延伸和拓展中全面優(yōu)化學生的科學思維結構，逐步培養(yǎng)學生的生物學學科核心素養(yǎng)，最終全面提升學生利用科學思維來認識事物、解決問題的意識能力。

4 在應用數(shù)學模型過程中提高學生科學思維的發(fā)展

建構模型時，需要將構建好的數(shù)學模型應用到真實的學習情景中，用不同的科學思維方法循環(huán)往復地重新思考，提出新的假設，建立新的數(shù)學模型，直到預期結果與實際結果相符為止。教師要引導學生用一個己知的結論去推導一個新的結論，合理地完善和彌補原有模型存在的不足，將科學思維內化為能力，從而能解釋或預測某些生物學現(xiàn)象，創(chuàng)造性地解決一個或一類復雜多變的問題，從而提升思維的嚴密性。

DNA分子復制的特點之一是半保留復制。1個兩條鏈都被32p標記的DNA分子放在含3ip的培養(yǎng)基上培養(yǎng)。（1）若子代DNA分子數(shù)為28個，無論復制多少次，含32p的DNA分子始終是2個;含3ip的DNA分子有2“個，只含3ip的DNA分子有（28—2）個。（2）當子代DNA分子總鏈數(shù)為2“x2= 2n+l條時，復制n（n≥1）次，含32p的鏈永遠是2條;含3ip的鏈數(shù)是（2n+1—2）條。這個數(shù)學模型通常被用于解決細胞分裂過程中的同位素標記問題：①首先是結合染色體復制，解讀DNA分子半保留復制的圖像（圖3）;②分析有絲分裂中核DNA和染色體的標記情況，有絲分裂過程中核DNA復制一次細胞也分裂一次。如圖4所示是以一條染色體為例連續(xù)分裂兩次的過程。由圖可知，第一次有絲分裂形成的2個子細胞中所有核DNA分子均由一條親代DNA鏈和一條子鏈組成，以體細胞染色體數(shù)為2n為例，第二次有絲分裂后最終形成的子細胞中含親代DNA鏈的染色體條數(shù)是0-2n。③分析減數(shù)分裂中核DNA和染色體的標記情況，在減數(shù)分裂的過程中，DNA復制一次細胞連續(xù)分裂兩次。如圖5所示是以一對同源染色體為例的一次減數(shù)分裂的結果。由圖可知，減數(shù)分裂過程中細胞雖然連續(xù)分裂兩次，但DNA只復制一次，所以4個子細胞中所有核DNA分子均由一條親代DNA鏈和一條利用原料合成的子鏈組成。最后，教師利用例題幫助學生鞏固模型建構的成果。學生在運用數(shù)學模型、滲透模型思維解答習題過程中，體驗了從不同的角度和不同的維度去觀察、分析和思考生物學問題，把抽象問題具體化、解題過程規(guī)律化，進而有效地主動建構生物學知識，把握生物學科的遷移規(guī)律，推動和發(fā)展了認知水平，逐步推動科學思維的高階發(fā)展，發(fā)展創(chuàng)新型思維和創(chuàng)造性能力。

數(shù)學模型建構與生物學教育內容的相互滲透、多層次啟發(fā)。教師要建立并完善模型的過程，以促進生物學課堂煥發(fā)出生命活力，同時促進了學生學習方式改進和革新，有助于學生靈活運用合適的技能或手段解決現(xiàn)實問題，使學生終身需要的科學思維得以健康發(fā)展，推動實施立德樹人的素質教育。

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