◎婁 瑋 （浙江省杭州市余杭區(qū)徑山鎮(zhèn)雙溪中心小學(xué)，浙江 杭州 310000）

一、前 言

圖形與幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的一個(gè)重要領(lǐng)域，這一領(lǐng)域主要研究的是圖形，而圖形也是空間形式的主要表現(xiàn)，所以圖形與幾何的教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀以及推理能力.幾何畫板非常適用于圖形與幾何的教學(xué)，使用現(xiàn)代信息技術(shù)教學(xué)圖形與幾何可以大大提高教學(xué)效率.接下來筆者談?wù)勅绾问褂脦缀萎嫲鍋砀淖儌鹘y(tǒng)教學(xué)手段和方法.

二、幾何畫板在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用

（一）幾何圖形的認(rèn)識

小學(xué)階段的學(xué)生思維形式以具體形象為主，不論是平面圖形、還是立體圖形都是從實(shí)物中抽象而來的.幾何圖形的概念都具有一定的抽象性，而幾何畫板能夠使抽象的知識變得形象具體.

“直線、射線、線段”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊的教學(xué)內(nèi)容，這一課的教學(xué)目標(biāo)之一是讓學(xué)生理解這三種線的區(qū)別與聯(lián)系.教師在準(zhǔn)備這一節(jié)課的時(shí)候會遇到一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)：如何幫助學(xué)生理解無限延長的概念.

無限延長是一個(gè)抽象的概念，現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生能觀察到的實(shí)物都是有長度的，因此教師就很難聯(lián)系現(xiàn)實(shí)來說明這個(gè)概念.但通過幾何畫板，教師可以讓學(xué)生明白什么是無限延長.利用幾何畫板的直線工具任意畫一條直線、一條射線和一條線段，此時(shí)在白板上出現(xiàn)了三種線（如圖1 所示）.教師可以讓學(xué)生先觀察這三種線，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出這三種線的相同之處和不同之處，讓學(xué)生體會三種線的特征.隨后從無限延長入手，讓學(xué)生知道為什么這三種線會呈現(xiàn)不同的特征，這是教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn).教師可以讓若干名學(xué)生上講臺操作課件：拖動(dòng)線段，它會消失不見.從一個(gè)方向拖動(dòng)射線，它會消失；從另一個(gè)方向拖動(dòng)射線，它依舊存在.從兩個(gè)方向拖動(dòng)直線，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)無論怎么拖動(dòng)，直線依舊存在于白板上.通過這樣的操作與觀察，學(xué)生明白了無限延長的概念，也體會到了這三種線的特征.

圖1

（二）圖形的運(yùn)動(dòng)與變化

小學(xué)階段要求學(xué)生掌握的“圖形的運(yùn)動(dòng)”的知識包括軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)以及圖形的放大與縮小.打開幾何畫板軟件，軟件界面的菜單欄中有一個(gè)“變換”菜單，點(diǎn)開“變換”菜單，在下拉欄中可以依次看到“平移”“旋轉(zhuǎn)”“縮放”“反射”這幾個(gè)選項(xiàng)，這些功能可以用來輔助教學(xué)“圖形的運(yùn)動(dòng)”的相關(guān)知識.

例如，我們可以借助幾何畫板來探究軸對稱圖形.軸對稱是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊的內(nèi)容.學(xué)生在二年級的時(shí)候已經(jīng)能夠辨認(rèn)對稱圖形了，而這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識軸對稱圖形以及其對稱軸，掌握軸對稱圖形的特征和性質(zhì).

用幾何畫板構(gòu)造軸對稱圖形是非常簡便的.在畫板上任意畫一個(gè)三角形以及一條線，雙擊這條線標(biāo)記為鏡面，然后選中三角形，下拉“變換”菜單，點(diǎn)擊“反射”，就可以出現(xiàn)一個(gè)與原三角形關(guān)于這條線對稱的三角形.

課堂教學(xué)中，教師首先通過展示諸如蝴蝶、門窗、五角星等軸對稱圖形喚起學(xué)生已有的關(guān)于軸對稱圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對折這些軸對稱圖形會出現(xiàn)一條折痕，這條折痕就是對稱軸.激活學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)以后，就要進(jìn)入課堂的探究環(huán)節(jié)，而本節(jié)課的重點(diǎn)就在于讓學(xué)生了解軸對稱圖形的性質(zhì).如圖2 所示，△與△′′關(guān)于直線對稱.點(diǎn)擊“演示”按鈕以后，△′′逐漸與△重合.動(dòng)態(tài)演示讓學(xué)生明白軸對稱圖形是可以完全重合的.分別連接′，′，′，發(fā)現(xiàn)連線與對稱軸交于三個(gè)點(diǎn)，，，并且連線與對稱軸也是相互垂直的.此時(shí)，可以利用幾何畫板的測量功能.教師可以請學(xué)生操作幾何畫板，讓學(xué)生點(diǎn)擊這條線段，點(diǎn)擊“測量”菜單中的“長度”，線段的數(shù)值就會顯示在畫板上，這個(gè)數(shù)值即為點(diǎn)到對稱軸的距離.再按照剛才的步驟測量出′到對稱軸的距離.通過對比可以發(fā)現(xiàn)對稱點(diǎn)到對稱軸的距離是相等的.用電腦測量出來的數(shù)值精確度比用紙、筆和尺子測量出來的高得多，教師通過較為精確的演示讓學(xué)生對對稱軸以及軸對稱圖形有了一個(gè)清晰的認(rèn)識和理解.借助幾何畫板進(jìn)行演示是為了更好地讓學(xué)生理解軸對稱圖形的特征，但是教師也需要讓學(xué)生動(dòng)手在紙上畫對稱點(diǎn)以及對稱軸，畢竟幾何畫板只是輔助教學(xué)的工具，給學(xué)生提供了感性材料，只有讓學(xué)生親手操作，他們才會對知識概念有更深的理解.

圖2

幾何畫板的“變換”菜單可讓學(xué)生體驗(yàn)圖形的不同運(yùn)動(dòng)，教師可要求學(xué)生在課后利用這些功能進(jìn)行自主設(shè)計(jì)，達(dá)到學(xué)以致用的效果，并提升學(xué)生的審美能力.

（三）平面圖形的面積計(jì)算

小學(xué)階段，平面圖形的面積推導(dǎo)公式是以長方形面積公式為基礎(chǔ)的，例如，平行四邊形的面積公式以及圓的面積公式的推導(dǎo)都是需要讓學(xué)生將圖形轉(zhuǎn)化為長方形去探索的.教師在教學(xué)過程中要善于讓新知識與舊知識之間發(fā)生相互作用，以轉(zhuǎn)化思想為指導(dǎo)，在原有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生去接受新知識，這樣能大大提高教學(xué)的效率，學(xué)生也會學(xué)得開心.面積的推導(dǎo)是以圖形的轉(zhuǎn)化為前提的，幾何畫板在圖形的轉(zhuǎn)化上能發(fā)揮比較大的作用.

筆者以平行四邊形的面積公式的教學(xué)為例.

探索環(huán)節(jié)先讓學(xué)生通過數(shù)格子的方式來計(jì)算出平行四邊形的面積，給學(xué)生后面的學(xué)習(xí)做鋪墊，再引導(dǎo)學(xué)生思考是否有更簡單的方法計(jì)算平行四邊形的面積.

圖3（1）為一個(gè)平行四邊形，其中線段為它的高.教師將這個(gè)課件展示出來，讓學(xué)生猜想平行四邊形與圖3（2）的長方形是否有關(guān)系.當(dāng)學(xué)生提出猜想，認(rèn)為平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長方形時(shí)，教師就用幾何畫板來驗(yàn)證學(xué)生的想法.

圖3

點(diǎn)擊“拼補(bǔ)”按鈕，一個(gè)三角形沿著平行四邊形的底邊緩緩從左邊平移到右邊，最終呈現(xiàn)的效果圖為一個(gè)長方形.通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生完整地見證了平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的神奇過程，也給學(xué)生的猜想提供了有力的證據(jù).了解了圖形的轉(zhuǎn)化過程后，下一步就是進(jìn)行面積公式的探索.學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn)，長方形的長就是平行四邊形的底邊，而長方形的寬就是平行四邊形的高，根據(jù)“長方形的面積＝長×寬”這個(gè)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)出“平行四邊形的面積＝底×高”，用字母表示即為＝.

在對面積公式探索的過程中，教師巧妙運(yùn)用幾何畫板，將書本上的知識用動(dòng)態(tài)演示展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓他們對整個(gè)過程有一個(gè)清晰的認(rèn)識，同時(shí)也滲透了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生運(yùn)用原有的知識結(jié)構(gòu)，積極主動(dòng)地去掌握新知識，使教學(xué)更具效率，也體現(xiàn)了“以生為本”的教育理念.

（四）立體圖形的表面積和體積計(jì)算

立體圖形表面積和體積教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)就是讓學(xué)生體會三維空間與二維平面之間的關(guān)系，能進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化.這是學(xué)生學(xué)習(xí)表面積的基礎(chǔ)，卻是教師教學(xué)設(shè)計(jì)中容易忽視的環(huán)節(jié)、學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱之處.

教師在教學(xué)如何計(jì)算立體圖形的表面積的時(shí)候，要讓學(xué)生明白需要計(jì)算哪些面.但是立體圖形存在于三維空間，它不像平面圖形那么直觀，當(dāng)一個(gè)立體圖形呈現(xiàn)在紙上，其特征是很難被學(xué)生觀察到的.而一些教師也會因?yàn)樽约簩I(yè)素養(yǎng)的缺失，使表面積和體積公式的教學(xué)僅僅停留在會用公式計(jì)算對應(yīng)的立體圖形，忽視了概念之間的聯(lián)系.這樣的教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生僅僅知道了立體圖形的定義，卻不知道平面圖形和立體圖形之間有著怎樣的聯(lián)系，無法形成一張知識網(wǎng)絡(luò)，因此教師需要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，使他們學(xué)會在平面圖形與立體圖形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.通過理解立體圖形是如何形成的，學(xué)生能自主地探索立體圖形的表面積和體積計(jì)算公式，而不是教師將公式硬塞給學(xué)生，使他們單純地通過解題的方式機(jī)械地記憶公式.

以圓柱的表面積與體積教學(xué)為例.

《圓柱的表面積》這節(jié)課滲透了空間觀念與數(shù)學(xué)建模思想，學(xué)生要經(jīng)過動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)圓柱的表面積與已經(jīng)學(xué)過的圖形的面積之間的聯(lián)系.圓柱的表面積的教學(xué)難點(diǎn)在于圓柱側(cè)面積的計(jì)算.學(xué)生看到圓柱的側(cè)面第一反應(yīng)是認(rèn)為它是一個(gè)曲面，曲面的面積非常難計(jì)算，因此教師需要引導(dǎo)學(xué)生將曲面轉(zhuǎn)化為平面.通常學(xué)生通過對一個(gè)圓柱形紙筒動(dòng)手操作并進(jìn)行猜測.而幾何畫板可以幫助學(xué)生驗(yàn)證其猜測是否準(zhǔn)確，如圖4 清晰地演示了圓柱側(cè)面展開的過程，進(jìn)一步加深了學(xué)生對圓柱側(cè)面圖形的認(rèn)識：如果沿著圓柱的高剪開側(cè)面的話，曲面展開圖就是一個(gè)長方形.教師還可以改變圓柱的底面圓的半徑大小，底面圓的半徑越小，展開的長方形的寬就越短，讓學(xué)生意識到側(cè)面展開圖與底面圓的大小是有關(guān)系的.掌握了這一點(diǎn)，圓柱的表面積的計(jì)算方法就可以放手讓學(xué)生自己思考推導(dǎo)了.

圖4

等分圓能夠拼接成一個(gè)長方形，圓柱的體積公式的推導(dǎo)就可以從圓的面積公式的推導(dǎo)出發(fā).通過點(diǎn)擊“增高”按鈕，平面圓逐漸增加厚度，變成了圓柱，對應(yīng)的用圓割補(bǔ)而成的長方形也逐漸增加了厚度，變成了長方體.這個(gè)動(dòng)畫演示十分有趣，它讓學(xué)生體驗(yàn)了平面圖形變換到立體圖形的過程，使學(xué)生將平面圖形與立體圖形的概念串聯(lián)起來.教學(xué)過程運(yùn)用了順向正遷移，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)更加完整.

圖5

三、幾何畫板在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

（一）動(dòng)態(tài)演示為突破數(shù)學(xué)概念的教學(xué)難點(diǎn)提供了解決方法

一般來說，數(shù)學(xué)概念比較抽象，小學(xué)階段的兒童思維以具體形象為主.數(shù)學(xué)概念若不通過具體形象的圖畫進(jìn)行演示，那么光憑文字解釋只會讓學(xué)生感到晦澀難懂.幾何畫板有“21 世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何”的美稱，當(dāng)我們用動(dòng)態(tài)圖來理解數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，會有一種豁然開朗的感覺.幾何畫板可以創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)的情境，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)學(xué)概念以具體形象的方式呈現(xiàn)出來，揭示出事物的本質(zhì)，幫助學(xué)生明確概念的內(nèi)涵.

（二）幾何畫板的使用有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念

有人指出：“空間觀念是一個(gè)人對周圍環(huán)境和實(shí)物的直接感知.對于二、三維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會和感知、圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面.”幾何畫板有非常強(qiáng)大的功能，教科書上所列出的幾何知識幾乎都可以利用幾何畫板來完美呈現(xiàn).通過幾何畫板進(jìn)行演示能豐富學(xué)生的幾何表象，而空間想象能力則是通過對表象的加工逐漸建立起來的.對于義務(wù)教育階段的學(xué)生來說，幾何畫板的使用能夠豐富他們的幾何表象，為將來的進(jìn)一步發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).

（三）幾何畫板為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境

幾何畫板能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境.使用幾何畫板以后，學(xué)生可以脫離煩瑣的作圖和計(jì)算過程，甚至可以隨意改變數(shù)據(jù)，在這一過程中，學(xué)生還可能會有其他的發(fā)現(xiàn).學(xué)生在幾何畫板制作的圓割補(bǔ)的課件中輸入“＝6”的時(shí)候，圓就被平均分成了24 份，通過拉動(dòng)圓心，就可展示出如圖6（2）所示的近似平行四邊形的圖形.學(xué)生可以嘗試改變數(shù)據(jù)，當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)越來越大的時(shí)候，他們會發(fā)現(xiàn)拼成的圖形越來越接近一個(gè)長方形.那么此時(shí)學(xué)生就會猜想，圓的面積公式是否可以與長方形的面積公式聯(lián)系起來.教師可以引導(dǎo)學(xué)生相互交流，分享經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在原有的知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上自主探索創(chuàng)造出圓的面積公式.這樣的教學(xué)方式極大地培養(yǎng)了學(xué)生對學(xué)習(xí)的熱愛.

圖6