◎廖永鳳 崔澤建(通訊作者)(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637000)

一、引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指出：教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教.在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想.為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).其中，對(duì)于剛進(jìn)入初中階段的初一學(xué)生而言，理解并掌握有關(guān)角度的算理是很重要的，這些知識(shí)的學(xué)習(xí)都是為后續(xù)的更加深入的探究打下基礎(chǔ).

三角板是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中一個(gè)重要的工具，在初一學(xué)習(xí)時(shí)，通過(guò)三角板組合求角度問(wèn)題是教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).在此之前，學(xué)生已經(jīng)簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)了角度的運(yùn)算和等角的相關(guān)性質(zhì)定理，對(duì)于角度的簡(jiǎn)單應(yīng)用有了初步的理解，但是在較復(fù)雜的求角度應(yīng)用題中還存在較大的問(wèn)題.探究簡(jiǎn)單的角度問(wèn)題能夠?yàn)楹罄m(xù)繼續(xù)探究三角形、四邊形、圓及其函數(shù)中出現(xiàn)的角度問(wèn)題奠定基礎(chǔ).解答有關(guān)角度的問(wèn)題時(shí)，主要用到了推理代換法和方程法，因此需要學(xué)生結(jié)合圖形，從圖形中提取解決問(wèn)題所需的條件，這就需要學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)感、邏輯思維和數(shù)學(xué)抽象思想.然而，初一學(xué)生的認(rèn)知能力較弱，故在教學(xué)過(guò)程中需要教師根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識(shí)基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生從多方面思考問(wèn)題.

三角板旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是初一學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，在初一學(xué)習(xí)中，教師主要應(yīng)讓學(xué)生掌握當(dāng)三角板組合之后繞著其中的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后角度之間的變化，目的是讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)角度問(wèn)題的理解，進(jìn)而為整個(gè)初中階段的幾何知識(shí)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).從生活中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)工具出發(fā)，能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.本文將對(duì)初一學(xué)習(xí)過(guò)程中三角板組合旋轉(zhuǎn)求角度問(wèn)題的相關(guān)題目進(jìn)行分析，講解相應(yīng)的解題技巧，希望能夠?qū)W(xué)生解決本階段求角度問(wèn)題有所幫助，并為后續(xù)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)奠定基礎(chǔ).

二、三角板旋轉(zhuǎn)求角度問(wèn)題

波利亞曾說(shuō)過(guò)從最簡(jiǎn)單的做起.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無(wú)論解決什么問(wèn)題都需要有相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與技能的支撐.三角板組合旋轉(zhuǎn)求角度問(wèn)題對(duì)于學(xué)生的要求較高，要求學(xué)生具備一定的計(jì)算能力、看圖能力、條件轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力等.在具體解題時(shí)，首先應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：第一，要熟記知識(shí)點(diǎn)、明晰算理；能夠理解并運(yùn)用三角板的特征及性質(zhì)；熟記角的有關(guān)概念與性質(zhì)；明晰解決相關(guān)問(wèn)題的方法；知道在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)該如何進(jìn)行等量代換及計(jì)算；能根據(jù)已知條件，找出解決問(wèn)題所需的條件.第二，需要總結(jié)歸納題目的大概解題過(guò)程.對(duì)于三角板組合求角度問(wèn)題，在經(jīng)過(guò)分析、解決問(wèn)題之后，需要總結(jié)解這一類(lèi)題的大概步驟.三角形組合求角度問(wèn)題可以作為初一階段學(xué)習(xí)的一個(gè)模型，同時(shí)，積累解決問(wèn)題過(guò)程中的學(xué)習(xí)方法與做題技巧，可以為今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ).將解決問(wèn)題的方法上升到思想層面，強(qiáng)調(diào)如果能運(yùn)用好方程思想、目標(biāo)和整體意識(shí)，就能優(yōu)化解題過(guò)程.第三，鍛煉計(jì)算能力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)邏輯推理等明確解題步驟和方法后，還需要通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算得出最終結(jié)果，若是計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)紕漏，那么最終的評(píng)閱分?jǐn)?shù)也不會(huì)很高.所以，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該鍛煉計(jì)算能力以保證做題步驟的正確性.

在初一階段，三角板組合求角度問(wèn)題是其中的難點(diǎn)，也是重點(diǎn).對(duì)于后續(xù)探究其他平面圖形(三角形、四邊形、圓等)與函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等)的性質(zhì)定理奠定基礎(chǔ).三角板組合求角度問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)以很多種方式出題，正是因?yàn)轭}目的靈活多變，常使學(xué)生無(wú)從下手.但是如果仔細(xì)總結(jié)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，解這類(lèi)題的關(guān)鍵是問(wèn)題轉(zhuǎn)換，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為已知的、能夠解決的問(wèn)題.其中角度問(wèn)題就是尋找其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系列方程并求解，或者對(duì)已知和未知的角度進(jìn)行推理代換，找出等量關(guān)系求解.所以，這類(lèi)題目雖具有一定的靈活多變性，但也具有其固定套路.

1.三角板旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

初一階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么是角，一些特殊的角，角的比較和運(yùn)算，以及角的一些性質(zhì)定理.對(duì)于角的學(xué)習(xí)，只是簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)，并不難，但是學(xué)生在運(yùn)用角的相關(guān)性質(zhì)定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)較大的問(wèn)題.對(duì)于角的應(yīng)用，其中較為常見(jiàn)的題型就是圖形組合求角度、線條相交求角度.這類(lèi)問(wèn)題在求解中應(yīng)該先明白哪些角度是已知的，哪些角度可以等量代換；然后，通過(guò)三角板的不同組合形式，從圖中找出已知角和未知角之間存在的等量關(guān)系；最后，通過(guò)推理代換法用已知角表示未知角，求出未知.

例1一副三角板OAB，OCD如圖1所示放置.(∠CDO=45°,∠OAB=30°)

圖1

(1)求∠DOB的度數(shù).

(2)將三角板OCD從圖1位置繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，若OM，ON分別平分∠DOA,∠BOC,則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MON如何變化？

圖2

(3)若三角板OCD從圖1繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，若其他條件不變，則(2)中的結(jié)論是否成立？

圖3

(4)若三角板OCD從圖1位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖4所示位置，若其他條件不變，圖2中的結(jié)論是否成立？

圖4

解析：(1)由圖1可知∠DOB=∠DOA+∠AOB，題中已知∠DOA=90°,∠AOB=90°-∠OAB,所以∠DOB=150°.

(2)由題可知∠DOC=90°,∠AOB=60°①

方法一：由圖2可知∠MON=∠MOA+∠AOC+∠CON

②

③

方法二：由圖2可知

∠MON=∠DOC+∠AOB-∠AOC-∠DOM-∠NOB

=∠DOC+∠AOB-(∠AOC+∠MON-∠AOC)

=∠DOC+∠AOB-∠MON

所以，2∠MON=∠DOC+∠AOB,∠MON=75°.

所以，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MON大小不變.

(3)由圖3可知∠MON=∠MOC+∠AOC+∠AON

④

可推出

⑤

⑥

解法三：由圖3可知：

所以，2∠MON=∠DOC+∠AOB,∠MON=75°.

所以，(2)的結(jié)論成立.

(4)由圖4所示：∠MON=∠MOA+∠BON+∠AOB,由題意可知

變式訓(xùn)練：將三角板如圖5所示繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖6所示位置，若OM，ON分別平分∠DOA,∠BOC,則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MON如何變化？旋轉(zhuǎn)至圖7所示位置，結(jié)論是否成立？

圖5

圖6

圖7

小結(jié)：三角板旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是求角度問(wèn)題中一個(gè)特殊的問(wèn)題，這類(lèi)題對(duì)于學(xué)生的看圖能力、推理能力要求較高，學(xué)生要知道在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)的物體形狀、大小、對(duì)應(yīng)的角度都不會(huì)改變，角平分線分得的兩個(gè)角大小不變.當(dāng)兩個(gè)三角板一邊完全重合時(shí)，繞著重合邊上的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，無(wú)論旋轉(zhuǎn)之后兩個(gè)三角板是重合還是分開(kāi)，如圖6和圖7中∠DOA,∠BOC被平分之后，兩角平分線所組成的角∠MON的度數(shù)都是∠DOA,∠BOC度數(shù)和的一半.分析此類(lèi)問(wèn)題時(shí)主要是通過(guò)讀圖形，從圖中找出已知角與未知角之間的關(guān)系，然后通過(guò)等量代換、角度運(yùn)算求出未知.在此過(guò)程中，教師應(yīng)先讓學(xué)生通過(guò)自主探究、合作探究試著分析、解決問(wèn)題，然后再?gòu)牟煌姆较蛩伎紗?wèn)題并學(xué)會(huì)總結(jié)，以此學(xué)生數(shù)形結(jié)合與邏輯推理的能力，為學(xué)生繼續(xù)探究幾何知識(shí)奠定基礎(chǔ).

2.一般的求角度問(wèn)題

三角板組合求角度問(wèn)題是初中階段求角度問(wèn)題的一種類(lèi)型，是為了一般的求解角度問(wèn)題奠定基礎(chǔ).這類(lèi)問(wèn)題我們一般使用推理代換法和方程法.

例2(1)已知∠BOC=120°，∠AOB=70°,求∠AOC的大小.

解析：(1)由題意繪制的大致圖像如下：

如圖8所示：∠AOC=∠BOC-∠AOB=50°.

圖8

如圖9所示：∠AOC=360°-∠BOC-∠AOB=170°.所以∠AOC=50°或170°.

圖9

(2)由題作圖如下：

圖10

圖11

例3已知∠AOB=80°，另作射線OC，且0°<∠AOC<180°，OD,OE分別平分∠AOC,∠BOC.

(1)如圖12所示，若OC在∠AOB內(nèi)部，求∠DOE的度數(shù).

圖12

(2)如圖13所示，若OC在∠AOB外部，(1)中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖13

解析：由題可知

(1)由圖12知：∠DOE=∠EOC+∠COD，∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以，∠DOE=40°.

(2)結(jié)論成立.由圖13知：

小結(jié)：在分析相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若題中沒(méi)有繪出圖像，就需要教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意作出圖像，將可能存在的每一種情況都表示出來(lái)，并對(duì)不同情況進(jìn)行分析，找到角度之間的相互關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題.在解題過(guò)程中，要注意題中已知的條件，如例2中強(qiáng)調(diào)了題中所說(shuō)的角都是小于平角的角，因此在解決例2時(shí)要注意計(jì)算出的角度是否滿足此要求.利用方程法解決問(wèn)題時(shí)還要注意所設(shè)的角度與要求的角度之間的關(guān)系，以及計(jì)算的正確率.有時(shí)候，一道題的解題方法有很多種，在教學(xué)過(guò)程中，教師要通過(guò)課堂中的一題多解和一題多變培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生從不同的方向思考問(wèn)題，用不同的方法解決問(wèn)題.傳授知識(shí)的目的是讓學(xué)生利用舊知接收新知，開(kāi)闊知識(shí)面，所以教師應(yīng)在已經(jīng)講解了特殊角度問(wèn)題的前提下，讓學(xué)生自主探究，通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)來(lái)解決問(wèn)題.

三、結(jié) 語(yǔ)

總之，求角度問(wèn)題是初一年級(jí)教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同時(shí)為以后學(xué)習(xí)幾何知識(shí)打下基礎(chǔ).

近幾年的中考題常常借助三角板來(lái)考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的掌握情況.將三角板作為一種操作性工具，與三角形、特殊四邊形、圓等內(nèi)容按某種方式巧妙地融合到一起，再結(jié)合圖形的變換——旋轉(zhuǎn)、平移或軸對(duì)稱(chēng)，讓其中的一個(gè)三角板的位置不斷變化引起圖形的變化的題目靈活多變，需要學(xué)生能夠靈活地將數(shù)和形互換，將代數(shù)知識(shí)與圖形的特點(diǎn)融合在一起進(jìn)行分析，此類(lèi)題目主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析的能力，并能在掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)運(yùn)用類(lèi)比轉(zhuǎn)化等方式將解題過(guò)程中使用的思想方法靈活運(yùn)用于其他知識(shí)的學(xué)習(xí)中.

以學(xué)生最熟悉的三角板為道具，以學(xué)生常見(jiàn)、熟悉的幾何圖形為載體，并輔之以運(yùn)動(dòng)變換等手段對(duì)三角板的運(yùn)用進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析能力、數(shù)形結(jié)合能力和邏輯推理能力，并在教學(xué)過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象美、簡(jiǎn)潔美，最終將習(xí)得的思想方法運(yùn)用于其他知識(shí)的學(xué)習(xí)中.