曾 華， 許福友

(大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部， 遼寧 大連 116024)

模態(tài)參數(shù)(包括模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼等)是土木(工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的重要參數(shù)，通常通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力試驗(yàn)(包括強(qiáng)迫振動(dòng)、自由振動(dòng)和環(huán)境激勵(lì)下的隨機(jī)振動(dòng))獲得的振動(dòng)(位移或加速度)信號(hào)來(lái)識(shí)別。由于大型復(fù)雜土木工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)，對(duì)激勵(lì)設(shè)備和能量要求較高，且過(guò)大的強(qiáng)迫激勵(lì)會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)安全與運(yùn)營(yíng)造成，難以開(kāi)展強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)，因此常采用無(wú)需對(duì)輸入進(jìn)行測(cè)量的自由振動(dòng)試驗(yàn)或環(huán)境激勵(lì)下的隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，這種只對(duì)輸出進(jìn)行測(cè)量的模態(tài)識(shí)別一般被稱(chēng)作基于輸出的模態(tài)參數(shù)識(shí)別(output-only modal analysis, OMA)方法。

OMA方法一般可分為時(shí)域分析法、頻域分析法和時(shí)頻分析法三類(lèi)。其中，時(shí)域分析方法是對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)程響應(yīng)直接分析，如隨機(jī)減量技術(shù)(random decrement technique, RDT)[1]，隨機(jī)子空間法(stochastic subspace identification, SSI)[2]等；頻域分析方法一般通過(guò)傅里葉變換到頻域再進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，主要有峰值拾取法[3]，頻域分解法[4-5]等；時(shí)頻分析法一般有基于小波變換(wavelet transform, WT)[6]、基于希爾伯特變換(Hilbert transform, HT)[7-8]、基于經(jīng)驗(yàn)分解(empirical mode decomposition, EMD)[9-10]、基于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)模態(tài)分解(extreme-point symmetric mode decomposition, ESMD)[11]、基于變分模態(tài)分解法(variational mode decomposition, VMD)[12-15]等信號(hào)分析方法。其中，WT方法受母小波選擇的影響，人為因素較大，沒(méi)有通用的小波函數(shù)。EMD方法是一種自適應(yīng)的信號(hào)分解技術(shù)，它與HT方法結(jié)合成為一種強(qiáng)大的時(shí)頻分析技術(shù)，通常被稱(chēng)為希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform, HHT)[16]，廣泛運(yùn)用于機(jī)械土木等領(lǐng)域，并有不錯(cuò)識(shí)別的效果。王金良等在HHT基礎(chǔ)上提出一種自適應(yīng)分解的ESMD法，該方法通過(guò)極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)構(gòu)造內(nèi)部的局部對(duì)稱(chēng)均線(xiàn)，能夠降低插值帶來(lái)的不確定性，但同樣存在模態(tài)混疊問(wèn)題。VMD方法是通過(guò)迭代搜索變分模型最優(yōu)解來(lái)獲取每個(gè)分量的中心頻率與帶寬，克服了EMD方法的模態(tài)混疊等缺陷，并已應(yīng)用在非線(xiàn)性系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別及非平穩(wěn)信號(hào)分析等問(wèn)題中。

對(duì)于土木結(jié)構(gòu)的振動(dòng)系統(tǒng)，其模態(tài)參數(shù)往往表現(xiàn)為非線(xiàn)性函數(shù)。其中瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)阻尼比是非線(xiàn)性系統(tǒng)最為關(guān)注的模態(tài)參數(shù)。求解信號(hào)瞬時(shí)特性的常見(jiàn)方法有：相位差法，能量算子法，小波變換法，Hilbert變換法(HT)以及經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法。張賢達(dá)[17]提出相位差分法，對(duì)線(xiàn)性系統(tǒng)具有無(wú)偏估計(jì)、零延遲等優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)噪音過(guò)于敏感。Maragos等[18]利用能量算子將單分量信號(hào)分離為調(diào)幅和調(diào)頻分量，并總結(jié)了幾種有效的瞬時(shí)頻率估計(jì)方法，具有原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用[19]。但能量算子法基于線(xiàn)性相位假設(shè)，因此應(yīng)用于非線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)將會(huì)產(chǎn)生很大誤差。Staszewski[20]運(yùn)用系統(tǒng)響應(yīng)首先分解得到時(shí)程小波脊和小波骨架，然后求解信號(hào)的時(shí)程瞬時(shí)特性，最后識(shí)別非線(xiàn)性系統(tǒng)參數(shù)，具有較好的精度。Feldman[21-22]詳細(xì)論述了HT在非線(xiàn)性系統(tǒng)識(shí)別中的應(yīng)用，該方法會(huì)產(chǎn)生明顯端點(diǎn)效應(yīng)、負(fù)頻率等現(xiàn)象。

鄭近德等[23]基于經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解，提出了經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法(empirical envelope, EE)，并驗(yàn)證了EE在求解瞬時(shí)頻率具有計(jì)算量小，識(shí)別精度高，操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。不過(guò)，在整個(gè)求解過(guò)程中存在兩點(diǎn)不足：① 調(diào)幅調(diào)頻分解中，為了得到較純的調(diào)頻信號(hào)，需要多次包絡(luò)迭代，這樣將會(huì)導(dǎo)致樣條插值的累計(jì)誤差的增大；② 對(duì)信號(hào)求導(dǎo)時(shí)，由于信號(hào)不光滑，可能造成過(guò)包絡(luò)問(wèn)題，即包絡(luò)線(xiàn)與信號(hào)線(xiàn)相交，導(dǎo)致包絡(luò)誤差增加。因而，EE用于信噪比較小的非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)信號(hào)時(shí)，常出現(xiàn)識(shí)別結(jié)果不穩(wěn)定現(xiàn)象。

針對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題，本文采用滑窗閾值去噪思想與滑動(dòng)平均技術(shù)對(duì)其改進(jìn)，提出了改進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法(improved empirical envelope, IEE)。通過(guò)多種信號(hào)參數(shù)識(shí)別與分析，全面證實(shí)了該方法利用自由振動(dòng)試驗(yàn)識(shí)別模態(tài)參數(shù)的有效性。

1 經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解

任意單頻信號(hào)y(t)均可分解為調(diào)幅函數(shù)和調(diào)頻函數(shù)的乘積形式，即：

y(t)=a(t)cos(φ(t))

(1)

式中：a(t)為調(diào)幅函數(shù)；cos(φ(t))為調(diào)頻函數(shù)；φ(t)為瞬時(shí)相位。

經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解具體過(guò)程如下

步驟1對(duì)y(t)取絕對(duì)值|y(t)|，搜尋|y(t)|的所有極值點(diǎn)(ti,|yi|)(i=1,2…,N)，i為極值點(diǎn)編號(hào)，N為極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)

步驟2采用三次樣條擬合這些極值點(diǎn)(ti,|yi|)，得到|y(t)|的第一輪經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)函數(shù)曲線(xiàn)a1(t)

步驟3對(duì)|y(t)|歸一化為

y1(t)=|y(t)|/|a1(t)|

(2)

理想條件下，y1(t)應(yīng)小于等于1。由于y(t)可能存在明顯的噪聲甚至野點(diǎn)，因此并不能保證在任何時(shí)刻a1(t)>|y(t)|，即某些時(shí)刻y1(t)有可能大于1。此時(shí)，將y1(t)視為y(t)，重復(fù)步驟1～2，經(jīng)n次迭代

y2(t)=y1(t)/|a2(t)|

(3)

……

yn(t)=yn-1(t)/|an(t)|

(4)

直到y(tǒng)n(t)≤1，迭代結(jié)束，此時(shí)的yn(t)為y(t)調(diào)頻部分。存在φ(t)，使得：

yn(t)=cos(φ(t))

(5)

y(t)調(diào)幅部分可定義為

(6)

至此，原信號(hào)y(t)可以分解為調(diào)幅調(diào)頻兩部分乘積a(t)cos(φ(t))形式。

以上經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解至少存在兩方面不足：

(1) 由于噪聲的存在，為了得到純調(diào)頻信號(hào)，需要多輪包絡(luò)迭代，這樣將會(huì)導(dǎo)致樣條插值的累計(jì)誤差增大。

(2) 三次樣條插值存在端點(diǎn)效應(yīng)。

下節(jié)將針對(duì)這兩方面的不足進(jìn)行改進(jìn)，提高分解精度。

2 調(diào)幅調(diào)頻分解的改進(jìn)

2.1 包絡(luò)迭代的改進(jìn)

采用滑窗閾值去噪思想篩選剔除異常極值點(diǎn)。具體步驟如下：

步驟1搜尋|y(t)|的所有極值點(diǎn)，并確定其極值點(diǎn)(ti,|yi|)(i=1,2…,N)，i為極值點(diǎn)編號(hào)，N為極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)

步驟2對(duì)|y(t)|極值點(diǎn)集U={(ti,|yi|)}(i=1,2,…,N)，按“窗體”極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為W1進(jìn)行滑動(dòng)，并選取第1個(gè)子集Q1={(tj,|yj|)}(j=1,2,…,W1)

步驟3對(duì)子集Q1進(jìn)行最小二乘法擬合

(7)

擬合優(yōu)度定義為

(8)

步驟4搜索子集Q1內(nèi)所有異常極值點(diǎn)

η<ηc

(9)

步驟5“窗體”向前滑動(dòng)一個(gè)極值點(diǎn)，選取得到子集第2個(gè)Q2={(tj,|yj|)}(j=2,3,…,W1+1)，按同樣方法搜尋異常極值點(diǎn)集合ERR2

步驟6“窗體”繼續(xù)滑動(dòng)，直至選取最后一個(gè)子集QN-W1+1={(tj,|yj|)}(j=N-W1+1,N-W1+2,…,N)，并搜尋異常極值點(diǎn)集合ERRN-W1+1

后續(xù)過(guò)程與調(diào)幅調(diào)頻分解相同，此處不再贅述。需要說(shuō)明的是，“窗體”大小W1和閾值因子ηc應(yīng)該選擇適當(dāng)，過(guò)大過(guò)小都會(huì)影響最后結(jié)果?！按绑w”(閾值因子)過(guò)大將會(huì)舍去大量的極值點(diǎn)，出現(xiàn)欠包絡(luò)現(xiàn)象，從而導(dǎo)致調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)的失真；“窗體”(閾值因子)過(guò)小會(huì)導(dǎo)致極值點(diǎn)篩選不充分，出現(xiàn)過(guò)包絡(luò)現(xiàn)象，從而導(dǎo)致調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)不穩(wěn)定。一般而言，對(duì)于信噪比較小、質(zhì)量較差的信號(hào)，可適當(dāng)增加W1與ηc的值；對(duì)于信噪比較大、質(zhì)量較好的信號(hào)，可適當(dāng)減小W1與ηc的值。通過(guò)對(duì)大量理論模擬信號(hào)分析可知，“窗體”大小可以在(8～20)范圍內(nèi)取值，閾值因子可在(0.3～0.9)范圍內(nèi)取值。在此范圍內(nèi)，W1與ηc的選取對(duì)結(jié)果影響較小。

2.2 端點(diǎn)效應(yīng)的改進(jìn)

本文采取極值點(diǎn)向外線(xiàn)性延伸手段，來(lái)抑制端點(diǎn)效應(yīng)，具體步驟如下：

步驟1取待擬合的極值點(diǎn)的前兩個(gè)極值點(diǎn)(t1,|y1|)與(t2,|y2|)；

步驟2令Δ=(|y1|-|y2|)/(t1-t2)，計(jì)算Δy=|y1|-t1Δ；

步驟3如果Δy>|y(0)|，則首部向外延伸點(diǎn)為(0，Δy)，否則為(0，|y(0)|)；

步驟4尾部向外延伸點(diǎn)可按類(lèi)似方法計(jì)算，此處不再贅述。

3 經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法

獲得調(diào)幅調(diào)頻函數(shù)后，對(duì)調(diào)頻函數(shù)求導(dǎo)可以獲得新函數(shù)，然后再對(duì)該新函數(shù)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解，最終獲得原始信號(hào)y(t)的瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)振幅。具體步驟如下：

步驟1對(duì)F(t)=cos(φ(t))求導(dǎo)可得F′(t)=-φ′(t)sin(φ(t))，y(t)的瞬時(shí)頻率f(t)可表示為

(10)

步驟2再對(duì)-φ′(t)sin(φ(t))進(jìn)行調(diào)幅調(diào)頻分解可得

F′(t)=b(t)cos(φ(t))

(11)

式中，b(t)可看作φ′(t)。因此原信號(hào)的瞬時(shí)頻率為

(12)

經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法相對(duì)小波變換法、Hilbert變換法有計(jì)算量小，識(shí)別精度高，操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)[24]。但仍存在問(wèn)題：對(duì)信號(hào)求導(dǎo)，如果信號(hào)不光滑，可能造成過(guò)包絡(luò)問(wèn)題，即包絡(luò)線(xiàn)與信號(hào)線(xiàn)相交，導(dǎo)致包絡(luò)誤差增加。

4 經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法的改進(jìn)

本文采用滑動(dòng)平均算法對(duì)經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法步驟2中調(diào)幅調(diào)頻分解求導(dǎo)后的信號(hào)F′(t)進(jìn)行滑動(dòng)平均處理，去除因求導(dǎo)之后信號(hào)混有不光滑的成分。具體操作步驟如下：

步驟1將F′(t)看作采樣信號(hào)S(t)；

步驟2選取固定長(zhǎng)度為W2的采樣數(shù)據(jù)隊(duì)列；

需說(shuō)明的是，應(yīng)選取合適的W2，其值越大平滑效果越好，識(shí)別結(jié)果越穩(wěn)定，但過(guò)大會(huì)導(dǎo)致信號(hào)失真。一般而言，對(duì)于采樣頻率較高、信噪比較小、質(zhì)量較差的信號(hào)，可適當(dāng)增加W2的值；采樣頻率較低、信噪比較大、質(zhì)量較好的信號(hào)，可適當(dāng)減小W2的值。通過(guò)對(duì)大量理論模擬信號(hào)分析可知，W2可在(2～20)內(nèi)取值。

為了說(shuō)明對(duì)調(diào)幅調(diào)頻分解與經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法改進(jìn)后的效果，現(xiàn)給出示意圖加以說(shuō)明。如圖1所示，給出了異常極值點(diǎn)分別采用調(diào)幅調(diào)頻分解與改進(jìn)調(diào)頻調(diào)幅分解得到的包絡(luò)誤差影響的示意圖。由圖1可知，通過(guò)對(duì)異常極值點(diǎn)的剔除，避免了過(guò)包絡(luò)現(xiàn)象，減小了包絡(luò)誤差，進(jìn)而減少了包絡(luò)迭代次數(shù)。圖2給出了求導(dǎo)后信號(hào)不光滑性對(duì)包絡(luò)誤差的影響的示意圖。由圖2可知，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)后信號(hào)的滑動(dòng)平均處理，可以有效的減小包絡(luò)誤差。

(a) 調(diào)頻調(diào)幅包絡(luò)

(b) 改進(jìn)調(diào)幅調(diào)頻包絡(luò)圖1 異常極值點(diǎn)對(duì)包絡(luò)影響示意圖Fig.1 Schematic diagram of influence of abnormal extreme point on envelope

(a) EE包絡(luò)

(b) IEE包絡(luò)圖2 求導(dǎo)信號(hào)不光滑對(duì)包絡(luò)插值影響示意圖Fig.2 Schematic diagram of influence of unsmooth derivative signal on envelope difference

5 模態(tài)參數(shù)識(shí)別

由單分量自由衰減信號(hào)的瞬時(shí)振幅a(t)可導(dǎo)出阻尼系數(shù)為

(13)

式中，m為離散采樣極值點(diǎn)。故單分量自由衰減信號(hào)的瞬時(shí)阻尼比ξ(t)可以表示為

(14)

在低阻尼下，單分量自由衰減信號(hào)的瞬時(shí)阻尼比可近似計(jì)算為

(15)

如圖3所示，為絕對(duì)誤差ξr隨阻尼比的變化。其中ξr可按下式給出

圖3 阻尼比的誤差Fig.3 Relative error of damping ratio

ξr=ξ′-ξ

(16)

式中，ξ為精確結(jié)果由式(14)算出，ξ′為近似結(jié)果由式(15)算出。

由圖3可知，當(dāng)ξ<0.1時(shí)，通過(guò)式(15)計(jì)算，ξr低于0.000 5，因此單分量自由衰減信號(hào)在低阻尼情下，采用式(15)是合理并且方便的。

這里需要說(shuō)明的是，式(13)～(15)僅適用于單分量自由衰減振動(dòng)，故而本文提出的非線(xiàn)性系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的方法也僅適用于單分量自由衰減振動(dòng)。但本文方法可以與VMD、EMD、ESMD、RDT等方法結(jié)合，形成一種比較通用的非線(xiàn)性系統(tǒng)識(shí)別方法。例如，對(duì)于單模態(tài)自由振動(dòng)，可直接利用本文方法識(shí)別時(shí)變模態(tài)參數(shù)；對(duì)于多模態(tài)自由振動(dòng)，可以現(xiàn)利用帶通濾波器(如若存在密集模態(tài)問(wèn)題，該方法欠佳)或者VMD等分解技術(shù)將多模態(tài)解耦，再利用本文方法識(shí)別時(shí)變模態(tài)參數(shù)；對(duì)于多模態(tài)環(huán)境激勵(lì)[25]，可先通過(guò)功率譜分析確定合適的帶寬，使用帶通濾波器將其分解為多個(gè)窄帶信號(hào)，再對(duì)這些窄帶信號(hào)使用VMD等技術(shù)進(jìn)行解耦，并利用RDT技術(shù)將其轉(zhuǎn)化為單分量自由衰減信號(hào)，最后利用本文提出的方法識(shí)別時(shí)變模態(tài)參數(shù)。下文通過(guò)幾個(gè)算例進(jìn)一步說(shuō)明。

6 算 例

本節(jié)采用三個(gè)算例對(duì)比驗(yàn)證EE與IEE識(shí)別效果，下文均為端點(diǎn)效應(yīng)處理后的識(shí)別結(jié)果。

6.1 算例一

某單自由度非線(xiàn)性系統(tǒng)阻尼比ξ=0.005+0.001A，圓頻率為ω=2π(2-0.01A)，其中A(0.5≤A≤5)為振幅，采樣頻率為500 Hz，初始振幅A0=5 cm，通過(guò)Newmark-β法可計(jì)算非線(xiàn)性系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)。

對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)施加信噪比為80 dB零均值的高斯白噪聲n，如圖4所示。對(duì)于信噪比可表示為

SNR=10lg(Ps/Pn)

(17)

圖4 高斯白噪聲Fig.4 White Gaussian noise

式中：Ps為信號(hào)的平均功率；Pn為噪聲的平均功率。添加噪聲后的模擬信號(hào)如圖5所示。

圖5 模擬信號(hào)Fig.5 Analog signal

對(duì)信號(hào)A(t)(為保證識(shí)別的準(zhǔn)確性，截去信號(hào)的前三個(gè)波峰)分別采用EE與IEE(W1=14,W2=4，ηc=0.5)識(shí)別計(jì)算，可得瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)阻尼比，分別如圖6和圖7所示。由圖6(a)可知，EE識(shí)別的瞬時(shí)頻率波動(dòng)范圍較大，且在小振幅區(qū)間偏離真值。這是由于噪聲對(duì)小振幅區(qū)域信號(hào)影響更加明顯，導(dǎo)致小振幅區(qū)間出現(xiàn)大量異常極值點(diǎn)，進(jìn)而在經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解時(shí)，出現(xiàn)過(guò)包絡(luò)現(xiàn)象既增加了三次樣條擬合誤差，又增加了包絡(luò)迭代次數(shù)，最終導(dǎo)致小振幅處識(shí)別結(jié)果偏差很大，甚至錯(cuò)誤。由圖6(b)所示，IEE識(shí)別的瞬時(shí)頻率波動(dòng)范圍較小，識(shí)別結(jié)果更穩(wěn)定。

(a) EE識(shí)別結(jié)果

(b) IEE識(shí)別結(jié)果圖6 幅變頻率Fig.6 Variable instantaneous frequency

如圖7(a)所示，由于EE識(shí)別的瞬時(shí)頻率在小振幅處有異常波動(dòng)，直接影響了瞬時(shí)阻尼比的識(shí)別結(jié)果，導(dǎo)致其結(jié)果在小振幅處偏離真值。如圖7(b)所示，IEE識(shí)別的瞬時(shí)阻尼比非常穩(wěn)定，其相對(duì)優(yōu)勢(shì)顯而易見(jiàn)。

(a) EE識(shí)別

(b) IEE識(shí)別圖7 幅變阻尼比Fig.7 Variable instantaneous damping ratio

為了進(jìn)一步說(shuō)明噪聲強(qiáng)度與噪聲均值對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響?，F(xiàn)對(duì)模擬信號(hào)施加不同信噪比，瞬時(shí)頻率識(shí)別誤差如表1所示。施加不同均值的噪聲，瞬時(shí)頻率識(shí)別誤差如表2所示。

表1 均值為零不同信噪比瞬時(shí)頻率識(shí)別結(jié)果Tab.1 Recognition results of instantaneous frequency with zero mean value and different SNR

表2 SNR為80不同均值瞬時(shí)頻率識(shí)識(shí)別結(jié)果Tab.2 Recognition results of instantaneous frequency with SNR of 80

瞬時(shí)頻率識(shí)別誤差R按下式給出

R=|f′-f|/f×100%

(18)

“窗體”大小W1和閾值因子ηc對(duì)信號(hào)A(t) 頻率識(shí)別誤差如表3、表4所示。

表3 不同“窗體”大小IEE識(shí)別頻率誤差Tab.3 Frequency error identification by IEE with different sliding window width

表4 不同閾值因子IEE識(shí)別頻率誤差Tab.4 Frequency error identification by IEE with different threshold factors

由表3和4可知，“窗體”大小與閾值因子對(duì)識(shí)別結(jié)果影響較小，因此，本文推薦取值范圍是合理的。

6.2 算例二

本信號(hào)為單自由度沒(méi)水圓柱縱搖自由衰減振動(dòng)角位移時(shí)程，如圖8所示。

圖8 數(shù)值模擬信號(hào)Fig.8 Numerical simulation signal

對(duì)數(shù)值模擬信號(hào)分別采用EE與IEE(W1=10,W2=8,ηc=0.8)識(shí)別計(jì)算，可得瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)阻尼比。如圖9所示，EE識(shí)別的瞬時(shí)頻率出現(xiàn)較大的波動(dòng)，導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果不可用。這是因?yàn)閿?shù)值誤差的影響，對(duì)信號(hào)求導(dǎo)時(shí)，出現(xiàn)過(guò)包絡(luò)現(xiàn)象，即包絡(luò)線(xiàn)與信號(hào)線(xiàn)相交(見(jiàn)圖2(b))，導(dǎo)致包絡(luò)迭代進(jìn)入死循環(huán)。而IEE識(shí)別的瞬時(shí)頻率無(wú)任何異常，識(shí)別效果很好。

圖9 瞬時(shí)頻率Fig.9 Instantaneous frequency

如圖10所示，為兩種方法識(shí)別幅變瞬時(shí)阻尼比。圖10(a)為擺角大于1°的識(shí)別結(jié)果，由于EE識(shí)別的瞬時(shí)頻率波動(dòng)的影響，導(dǎo)致EE識(shí)別阻尼比結(jié)果波動(dòng)較大；IEE識(shí)別結(jié)果隨擺角逐漸增大，結(jié)果較為穩(wěn)定。圖10(b)，為擺角小于1°EE的識(shí)別結(jié)果，由于EE識(shí)別的瞬時(shí)頻率在小擺角區(qū)間異常，導(dǎo)致阻尼比識(shí)別結(jié)果不可用。圖10(c)，為擺角小于1°IEE的識(shí)別結(jié)果，可以看出IEE在小擺角區(qū)間識(shí)別效果也較好。

6.3 算例三

為說(shuō)明本文方法能應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)當(dāng)中，現(xiàn)以蘇通大橋?yàn)楸尘敖ㄔO(shè)的自然風(fēng)場(chǎng)大比例試驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚26]為研究對(duì)象，試驗(yàn)?zāi)Ｐ托Ч麍D如圖11所示。主梁斷面布置22個(gè)加速度傳感器，分別為AL-1～AL-11(主梁左側(cè))、AR-1～AR-11(主梁右側(cè))如圖12所示。

圖11 試驗(yàn)?zāi)Ｐ托Ч麍DFig.11 Effect diagram of test model

圖12 傳感器布置示意圖Fig.12 Schematic diagram of sensor arrangement

6.3.1 廣義單自由度自由衰減振動(dòng)

為了獲取模型一階對(duì)稱(chēng)豎向振動(dòng)模態(tài)參數(shù)，在無(wú)風(fēng)環(huán)境下，對(duì)主梁跨中施加初始位移使其作自由衰減振動(dòng)，以跨中AL-6加速度(采樣頻率為400 Hz)響應(yīng)為例，如圖13所示。

圖13 AL-6加速度響應(yīng)Fig.13 AL-6 acceleration response

為保證識(shí)別的精度，現(xiàn)對(duì)該信號(hào)采用低通濾波器(截止頻率為2 Hz)濾波處理，并截去前10 s與后15 s響應(yīng)。如圖14所示。

圖14 濾波后加速度信號(hào)Fig.14 Filtered acceleration signal

現(xiàn)對(duì)濾波后信號(hào)分別采用EE與IEE(W1=10,W2=10,ηc=0.8)識(shí)別計(jì)算，可得瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)阻尼比。圖15(a)為t< 64 s兩種方法識(shí)別瞬時(shí)頻率的結(jié)果，可以看出兩種方法識(shí)別結(jié)構(gòu)較為接近。圖15(b)為t> 64 s EE識(shí)別瞬時(shí)頻率的結(jié)果，可以看出識(shí)別結(jié)果出現(xiàn)大幅波動(dòng)。這是因?yàn)闉V波后殘余噪聲以及信號(hào)非平穩(wěn)等因素的影響，對(duì)信號(hào)求導(dǎo)時(shí)，出現(xiàn)過(guò)包絡(luò)現(xiàn)象，即包絡(luò)線(xiàn)與信號(hào)線(xiàn)相交(如圖2(b)所示)，導(dǎo)致包絡(luò)迭代進(jìn)入死循環(huán)。圖15(c)為t> 64 s IEE識(shí)別瞬時(shí)頻率的結(jié)果，可以看出識(shí)別結(jié)果較為穩(wěn)定。

圖16(a)為a> 0.2 m/s2兩種方法識(shí)別幅變阻尼比的結(jié)果，可以看出兩種方法識(shí)別結(jié)構(gòu)較為接近。圖16(b)為a< 0.2 m/s2EE識(shí)別幅變阻尼比的結(jié)果，由于EE識(shí)別的瞬時(shí)頻率波動(dòng)的影響，導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果不可用。圖16(c)為a< 0.2 m/s2IEE識(shí)別幅變阻尼比的結(jié)果，可以看出識(shí)別結(jié)果較為穩(wěn)定。

為了進(jìn)一步說(shuō)明IEE的有效性，現(xiàn)將識(shí)別的模態(tài)頻率與模態(tài)阻尼比代入單自由度動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程，運(yùn)用Newmark-β法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)。為了比較的精準(zhǔn)性，只截取30 s信號(hào)加以對(duì)比分析，如圖17、圖18所示。由圖可知，通過(guò)IEE識(shí)別的模態(tài)參數(shù)反算結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)更加接近真實(shí)的位移響應(yīng)，驗(yàn)證了IEE的有效性。

圖17 EE計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.17 EE calculation of structural response

圖18 IEE計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.18 IEE calculation of structural response

6.3.2 多自由度自由衰減振動(dòng)

為了獲取模型高階豎向振動(dòng)模態(tài)參數(shù)，在無(wú)風(fēng)環(huán)境下，對(duì)主梁八分點(diǎn)施加初始位移使其作自由衰減振動(dòng)，以AL-3加速度(采樣頻率為400 Hz)響應(yīng)為例，如圖19所示。由圖可知，成功激勵(lì)出高階豎向振動(dòng)模態(tài)。通過(guò)幅值譜分析(如圖20所示)，可初步判斷該信號(hào)存在兩階模態(tài)，其頻率大約在2.5 Hz與5 Hz左右。

圖19 AL-3加速度響應(yīng)Fig.19 AL-3 acceleration response

圖20 加速度響應(yīng)幅值譜Fig.20 Acceleration response amplitude spectrum

為保證識(shí)別的精度，現(xiàn)對(duì)該信號(hào)采用帶通濾波器(通帶頻率為2 Hz、5.5 Hz)濾波處理，并截去前10 s與后15 s響應(yīng)。如圖21所示。

圖21 濾波后加速度信號(hào)Fig.21 Filtered acceleration signal

通過(guò)VMD法將該信號(hào)分解為兩個(gè)單模態(tài)響應(yīng)(分別記為IMF1、IMF2，結(jié)果如圖22所示)，具體多模態(tài)參數(shù)分解過(guò)程，本文不重點(diǎn)展開(kāi)討論，可參照文獻(xiàn)[27]。這里也可以使用帶通濾波器將兩個(gè)模態(tài)分解，但受帶通濾波器阻帶衰減率的影響，當(dāng)兩個(gè)模態(tài)頻率較為接近時(shí)，難以用帶通濾波器將其分開(kāi)。故而，VMD等技術(shù)在處理模態(tài)耦合問(wèn)題中更加通用。

(a) IMF1模態(tài)

(b) IMF2模態(tài)圖22 單模態(tài)響應(yīng)Fig.22 Single mode response

現(xiàn)采用IEE法分別對(duì)兩個(gè)單模態(tài)自由衰減信號(hào)進(jìn)行識(shí)別計(jì)算，可得瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)阻尼比。如圖23所示，成功識(shí)別出了兩階模態(tài)頻率。如圖24所示，成功識(shí)別出了兩階模態(tài)阻尼比，但對(duì)于IMF2識(shí)別的阻尼比波動(dòng)較大，這是由于利用VMD重構(gòu)信號(hào)時(shí)，部分信號(hào)振幅失真導(dǎo)致的。

圖23 瞬時(shí)頻率Fig.23 Instantaneous frequency

圖24 幅變阻尼比Fig.24 Amplitudevarying damping ratio

7 結(jié) 論

針對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)瞬時(shí)頻率問(wèn)題，提出了改進(jìn)經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法，其關(guān)鍵技術(shù)包括：滑窗閾值去噪與滑動(dòng)平均?；谠摲椒▽?duì)單自由度(一般通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、變分模態(tài)分解等方法解耦獲取)非線(xiàn)性系統(tǒng)自由衰減振動(dòng)(一般通過(guò)自由振動(dòng)試驗(yàn)或通過(guò)隨機(jī)減量法從結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)中獲取)模態(tài)參數(shù)識(shí)別(瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)阻尼)。通過(guò)幾個(gè)算例參數(shù)識(shí)別分析，證實(shí)了本文方法在利用自由振動(dòng)試驗(yàn)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別具有良好的抗噪聲性能與較高的識(shí)別精度。