李永紅，梁 振

（中南林業(yè)科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)候，每次迭代設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生變化，需要對(duì)模型重新分析。大規(guī)模問題，單次采用有限元法計(jì)算需花費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間，影響優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。近年來(lái)，縮減基法（reduced basis method，記作RBM）作為實(shí)時(shí)算法被用于各個(gè)領(lǐng)域。Milani R等[1]用縮減基法求解多參數(shù)線彈性問題。劉玉秋等[2]將縮減基法引入船舶制造結(jié)構(gòu)。李永紅等[3]將縮減基法用于蜂窩梁結(jié)構(gòu)。馬營(yíng)利等[4]將縮減基法用于礦用車架。熊景林[5]將縮減基法用于沖壓模具結(jié)構(gòu)?？s減基法需要預(yù)先知道設(shè)計(jì)參數(shù)與線彈性算子的關(guān)系，李永紅等[6]結(jié)合ANSYS，對(duì)縮減基法改進(jìn)，得出單元線彈性算子與設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān)的表達(dá)式。

不同采樣方式選取樣本參數(shù)，構(gòu)造減基矩陣，對(duì)改進(jìn)縮減基法的結(jié)果有影響。本文按照三種分布方式選取樣本參數(shù)，以平面框架結(jié)構(gòu)為例比較不同樣本參數(shù)計(jì)算結(jié)果的精度。

1 縮減基法理論及改進(jìn)

1.1 縮減基法基本理論

結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解時(shí)，設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生變化，用有限元法計(jì)算得到的各點(diǎn)位移組成高維解空間。結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程為：

式中 μ——設(shè)計(jì)參數(shù)；

K（μ）——結(jié)構(gòu)剛度矩陣；

u（μ）——結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量；

F——結(jié)構(gòu)荷載向量；

X——真實(shí)的高維解空間；結(jié)構(gòu)總自由度為n。

選取N組樣本參數(shù)，用有限元法求出對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的位移u（μ）。這N組位移構(gòu)成減基矩陣Z，寫成如下形式：Z=[u（μ1），u（μ2），…，u（μN(yùn)）]。u（μi）（i=1，2，…，N）是線性無(wú)關(guān)的。當(dāng)取新的設(shè)計(jì)參數(shù)μnew時(shí)，對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的位移可以看作是減基矩陣Z中各項(xiàng)的線性組合，即：

式中 a（μnew）——系數(shù)向量。

由能量最小原理并結(jié)合式（2），可得到：

其中KN（μnew）=ZTK（μnew）Z，F(xiàn)N=ZTF。

線彈性結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K（μ）可按照是否與設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān)分為兩個(gè)部分，表示為下列形式：

式中 σq（μ）——與設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān)的函數(shù)關(guān)系；

Kq——與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)的矩陣；

Q——?jiǎng)偠染仃囍性O(shè)計(jì)參數(shù)能夠分離的項(xiàng)數(shù)。

基于這種分解，縮減基法可以進(jìn)行快速有效的實(shí)時(shí)計(jì)算。把式（4）代入式（3），令KqN=ZTKqZ（q=1，2，…，Q），可寫成：

縮減基法將整個(gè)計(jì)算過程分為離線階段和在線階段。在離線階段，將設(shè)計(jì)參數(shù)從剛度矩陣分離出來(lái)，選取樣本參數(shù)，用有限元法計(jì)算得到的位移組成減基矩陣Z，預(yù)先算好KqN。在線階段，取新設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，算出σq（μnew），由式（5）求得a（μnew）。代入式（2），可得到縮減基法的位移解。式（5）的方程是N×N的，遠(yuǎn)小于式（1）的維度n×n。

1.2 改進(jìn)縮減基法

各項(xiàng)都算出可組成KqN。取新設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，結(jié)合縮減基法求解出位移解uGRBM（μnew）。

KqN計(jì)算過程如下：

1）分析所求結(jié)構(gòu)的單元類型，用ANSYS建立該單元類型的簡(jiǎn)單模型。不斷改變?cè)O(shè)計(jì)參數(shù)，找出線彈性算子與設(shè)計(jì)參數(shù)的聯(lián)系。

2）選取多組設(shè)計(jì)參數(shù)，在ANSYS中提取對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣。

3）用式（6）計(jì)算出與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)部分，集合得到KqN。

1.3 采樣方式

結(jié)構(gòu)選取何種采樣方式構(gòu)建樣本空間，對(duì)改進(jìn)縮減基法的計(jì)算結(jié)果有一定影響。分別用對(duì)數(shù)函數(shù)、均勻函數(shù)、切比雪夫函數(shù)采樣構(gòu)成樣本空間來(lái)研究。對(duì)數(shù)函數(shù)采樣：

均勻分布函數(shù)采樣：

切比雪夫函數(shù)采樣

式中 μi——結(jié)構(gòu)的樣本參數(shù)；

μmax——結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)允許變化的最大值；

λ——設(shè)計(jì)參數(shù)下限μmin在函數(shù)中使用具有意義的比例系數(shù)。

2 數(shù)值算例

以多層框架結(jié)構(gòu)為例，取其中的一榀平面框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。如圖1所示，該模型有540個(gè)單元，521個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有1 563個(gè)自由度。結(jié)構(gòu)所受荷載如圖2所示。

圖1 平面框架結(jié)構(gòu)的有限元模型

圖2 結(jié)構(gòu)荷載情況

本框架結(jié)構(gòu)選取彈性模量E，梁?jiǎn)卧慕孛婷娣eA兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)。對(duì)這兩個(gè)參數(shù)分別采取對(duì)數(shù)函數(shù)、均勻分布、切比雪夫函數(shù)采樣，得到這三種分布方式對(duì)應(yīng)的樣本參數(shù)，構(gòu)建成樣本空間WN，用ANSYS軟件計(jì)算對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)位移，組成減基矩陣。選取新設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，分別用有限元法和改進(jìn)縮減基法計(jì)算輸出，以有限元結(jié)果為精確解，如下式計(jì)算改進(jìn)縮減基法的相對(duì)誤差：

式中 S=FuFEM；S'=FuGRBM。

選取新設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，采用改進(jìn)縮減基法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。圖3、圖4對(duì)三種采樣方式計(jì)算結(jié)果的誤差進(jìn)行比較，隨著E、A樣本數(shù)的增多，誤差越來(lái)越小。

圖3 E不同采樣方式結(jié)果的相對(duì)誤差

圖4 A不同采樣方式結(jié)果的相對(duì)誤差

3 結(jié)論

本文采用三種函數(shù)采樣方式構(gòu)成樣本空間，比較改進(jìn)縮減基法結(jié)果的相對(duì)誤差。分析同類型單元組成的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，結(jié)合ANSYS提取剛度矩陣，得到分離關(guān)系。對(duì)縮減基法進(jìn)行改進(jìn)，計(jì)算出與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)的矩陣。以平面框架結(jié)構(gòu)為例采用對(duì)數(shù)函數(shù)、均勻分布、切比雪夫函數(shù)方式選取樣本參數(shù)，樣本數(shù)較少時(shí)，均勻分布采樣結(jié)果精度較高；隨著樣本數(shù)增多，對(duì)數(shù)分布與均勻分布采樣結(jié)果精度趨于接近。