魏巍，范康迪，王若琳，趙默雷，趙之然，王劍峰

（1. 北京理工大學 車輛傳動國家重點實驗室, 北京 100081；2. 北京理工大學 重慶創(chuàng)新中心, 重慶 401120；3. 北京千方創(chuàng)新科技有限公司, 北京 102299）

陸空平臺具有行駛時續(xù)航時間長的優(yōu)點，也具備飛行時的高通過性. 許多國內外學者設計了不同構型的陸空平臺，有飛行與行駛機構獨立驅動且不可變形的陸空平臺，如南安普頓大學的SuperB[1]和清華大學的“猛獅”[2]；有飛行機構提供行駛動力的陸空平臺，如伊利諾伊理工大學的HyTAQ[3]；有飛行機構可偏轉的陸空平臺，如北京理工大學設計的變構型陸空平臺[4-5]和瑞典的Linnaeus 概念平臺[6]. 陸空平臺的多域機動能力使其能在隧道巡檢、災區(qū)搜救等復雜場景應用，陸空平臺靜態(tài)起降時存在多次減速停止的情況，而動態(tài)起降具有連續(xù)機動能力，為滿足陸空平臺機動性能方面的要求，需要對動態(tài)切換的軌跡基于時間進行優(yōu)化.

國內外許多學者對移動機器人軌跡規(guī)劃進行了研究. 牛國臣等[7]采用兩次改進的5 次多項式進行規(guī)劃，避免與物體的碰撞. 王瑩等[8]針對可動邊界問題，通過選定一系列終點候選位置，利用三次多項式擬合路徑，最終根據(jù)目標函數(shù)選取最優(yōu)軌跡. 唐剛等[9]在目標函數(shù)中添加走廊約束，并建立偏離評估函數(shù)，基于最小snap 方法生成接近直線的軌跡. 張洲宇等[10]定義時間、航程和燃料的多目標函數(shù)，基于二次貝塞爾曲線規(guī)劃無人機軌跡.

目前陸空平臺對飛行與行駛狀態(tài)研究較多，針對陸空模式的轉換研究較少. 為探究陸空模式轉換的機動性問題，規(guī)劃靜態(tài)切換與動態(tài)切換兩種陸空切換模式的軌跡，對比兩者時間證明動態(tài)切換的高機動性，設計飛行控制器驗證動態(tài)切換軌跡的可控性.

1 飛行動力學模型

變構型陸空平臺如圖1 所示，飛行模式下，4 個空用電機驅動旋翼提供升力，涵道提供附加升力.行駛模式下，4 個陸用電機驅動涵道提供行駛動力. 陸空切換模式下，2 個舵機帶動涵道旋翼進行偏轉. 此構型冗余質量較小，飛行升力高，旋翼安全性好.

圖1 變構型陸空平臺示意圖Fig. 1 Schematic of deformable aerial-ground platform

1.1 坐標系建立

地面坐標系即慣性坐標系為Oxyz，機體坐標系為Obxbybzb，如圖2 所示.

圖2 坐標系Fig. 2 Coordinate system

1.2 受力分析

對模型做出如下假設：

①陸空平臺為剛體.②質量為常數(shù)，重心位置不變.

③陸空平臺只受重力和旋翼拉力.

④地面為慣性參考系.

基于牛頓-歐拉方程，有：

式中：F為在機體坐標系zb軸的旋翼總拉力；m為陸空平臺質量；g為重力加速度； φ為滾轉角； θ為俯仰角；ψ為偏航角； τx、 τy、 τz分別為xb、yb、zb軸力矩；Ixx、Iyy、Izz分別為陸空平臺沿xb、yb、zb軸的轉動慣量；轉動慣量與偏轉角的關系如圖3 所示.

圖3 隨偏轉角變化的轉動慣量曲線Fig. 3 Moment of inertia curve varying with deflection angle

陸空平臺所受拉力F、力矩 τx、 τy、 τz與4 個飛行電機轉速 ω1、 ω2、 ω3、 ω4的關系為

式中：cT為旋翼的升力系數(shù)；cM為旋翼的轉矩系數(shù)；α為涵道偏轉角；d為旋翼質心到機體質心的距離.

2 動態(tài)切換軌跡規(guī)劃

陸空平臺的動態(tài)切換為Obxbzb內的二維平面運動，y方向位移與偏航角 ψ不變，因此規(guī)劃目標為平面位置x、z和偏轉角 α.

研究由陸到空的模式切換如圖4 所示.

圖4 陸空動態(tài)切換與靜態(tài)切換示意圖Fig. 4 Schematic diagram of dynamic and static switching between land and air

2.1 目標函數(shù)

當目標飛行高度h已知，陸空切換終點在水平直線上變動，對于右端可動邊界點，通過將可動邊界在(0,xmax)內離散化，獲得終點的數(shù)據(jù)點集，對所有邊界點進行軌跡擬合，采用目標函數(shù)篩選最優(yōu)軌跡. 軌跡規(guī)劃的目標函數(shù)J為動態(tài)切換相對靜態(tài)切換所減少時間占靜態(tài)切換時間的比例.

式中：tj為靜態(tài)切換時間；td為動態(tài)切換時間.

2.2 動態(tài)切換

假設動態(tài)切換軌跡規(guī)劃在x方向以速度vx勻速運動，起飛時偏轉角為α(t=0)，飛行的目標高度為h，則邊界條件如下：

當偏轉角變化時，陸空平臺的最大升力隨之改變，因此，動力學約束與偏轉角存在耦合關系. 將軌跡分為兩段，偏轉角在前1/p時間內完成涵道偏轉角從α(t=0)到0°的變化過程，后一段時間偏轉角保持0°不變，從而實現(xiàn)偏轉角 α和平面位置x、z的分層規(guī)劃.

設涵道偏轉角隨時間變化的函數(shù)為一次函數(shù)，則

偏轉角0°時高度方向最大加速度為azmax,則動力學約束為

基于5 次多項式，分別在x和z方向表示動態(tài)切換軌跡函數(shù).

由此可得

2.3 靜態(tài)切換

靜態(tài)切換邊界點與動態(tài)切換一致，其軌跡分為3 段：行駛減速段、飛行上升段和前飛段. 行駛減速段以最小行駛加速度a′xmin從vx減速到0，假設減速段時間為tj1，然后以tj2的時間使涵道偏轉至水平. 飛行上升段若高度h較低，則前半段以z方向最大加速度飛行，后半段以z方向最小加速度減速飛行至高度h懸停，假設上升段時間為tj3. 前飛段前半段以x方向最大加速度飛行，當加速到vx時勻速前進，假設前飛段時間為tj4. 綜上，靜態(tài)切換時間tj=tj1+tj2+tj3+tj4.

2.4 軌跡規(guī)劃流程

在陸空轉換的過程中，陸空平臺的終點(x,h)為可動邊界，規(guī)劃過程中以J為目標函數(shù)，針對x、h進行優(yōu)化，軌跡規(guī)劃的流程如圖5 所示.

圖5 軌跡規(guī)劃流程圖Fig. 5 Trajectory planning flowchart

3 仿 真

基于Matlab 規(guī)劃動態(tài)切換軌跡，基于Simulink搭建陸空平臺的控制器與模型，以動態(tài)切換軌跡作為控制器輸入，進行軌跡跟蹤控制仿真. 給出關鍵參數(shù)如表1 所示.

表1 關鍵參數(shù)Tab. 1 Key parameters

3.1 動態(tài)切換軌跡規(guī)劃仿真

軌跡規(guī)劃仿真結果如表2 所示.

表2 仿真結果Tab. 2 Simulation results

如圖6 所示，可以看到目標函數(shù)J隨軌跡終點坐標x和h的變化趨勢，J=0的直線段表示不符合動力學約束，忽略該直線段，那么J隨x增長呈現(xiàn)出下降的趨勢. 當x=6 m 不變時，J隨h的增長而增長. 但當h增加時，J隨x變化曲線中J的最大值隨之減小，即max(J(x))隨h增加而減小，因此，當軌跡規(guī)劃追求J的最大值時，將規(guī)劃得到h=0.1 m（h離散時的最小值）時的軌跡，在實際陸空轉換中h并不是越小越好，考慮室內應用場景，選擇h=1.5 m作為輸入?yún)?shù)進行軌跡規(guī)劃.

圖6 J 隨x、h 變化的關系圖Fig. 6 The relationship diagram of J with x and h

如表3 所示，相比靜態(tài)切換，動態(tài)切換時間縮短了23.02%，仿真表明動態(tài)切換相比靜態(tài)切換具有更好的機動性.

表3 h=1.5 m 時的仿真結果Tab. 3 Simulation results when h=1.5 m

如圖7 和圖8 所示，動態(tài)切換軌跡平滑，加速度連續(xù)變化，加速度曲線符合動力學約束和邊界條件.

圖7 飛行路徑Fig. 7 Flight path

圖8 動態(tài)切換時z 向加速度曲線Fig. 8 z-direction acceleration curve during dynamic switching

3.2 動態(tài)切換軌跡跟蹤控制仿真

基于PID 算法[11]設計陸空平臺的飛行控制器，對動態(tài)切換軌跡跟蹤控制，控制框圖如圖9 所示.

圖9 軌跡跟蹤控制框圖Fig. 9 Trajectory tracking control block diagram

位置與姿態(tài)控制器采用雙閉環(huán)結構，外環(huán)為P控制器，內環(huán)為PID 控制器. 首先調試姿態(tài)控制器，然后調試位置控制器，直到具有較好的控制效果，各通道控制器參數(shù)如表4 所示.

表4 控制器參數(shù)Tab. 4 Controller parameters

如圖10 所示，實際飛行軌跡較為平滑，與期望軌跡誤差較小，且在終點處基本無超調，控制器的跟蹤控制效果較好.

圖10 PID 軌跡跟蹤控制Fig. 10 PID trajectory tracking control

4 結 論

通過對陸空平臺陸空模式靜態(tài)切換和動態(tài)切換進行軌跡規(guī)劃，并設計PID 控制器對動態(tài)切換軌跡跟蹤控制，結論如下：

采用5 次多項式規(guī)劃動態(tài)切換軌跡，規(guī)定靜態(tài)切換運動方式，仿真表明當h不 變時，目標函數(shù)J隨x增加而減?。划攛不變時，目標函數(shù)J隨h增加而增加；J隨x變化曲線中J的最大值隨h增加而減小；當高度h=1.5 m時動態(tài)切換時間相比靜態(tài)切換時間縮短了23.02%.

通過PID 控制方法設計陸空平臺飛行控制器，仿真表明能較好地跟蹤動態(tài)切換軌跡.