高泰路，曲麗萍，張 杰，劉 斌，崔文超

(北華大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，吉林 吉林 132021)

隨著國民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，對(duì)電力系統(tǒng)的要求越來越高.近年來，國內(nèi)外多次爆發(fā)大規(guī)模停電事故，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失，嚴(yán)重影響了人們的正常生活[1].為使電力系統(tǒng)的綜合效益達(dá)到最佳，就必須對(duì)電力系統(tǒng)進(jìn)行切實(shí)有效的可靠性評(píng)估.目前，電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估方法大致分為解析法與蒙特卡洛法兩種[2].解析法計(jì)算較為準(zhǔn)確，模型便于理解，然而隨著系統(tǒng)中元件數(shù)量的增多，其計(jì)算量呈指數(shù)規(guī)律急劇增長，因此，該方法只能應(yīng)用在小型系統(tǒng)的可靠性分析中[3]；蒙特卡洛法是通過隨機(jī)試驗(yàn)得到整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)，但因計(jì)算量與元件數(shù)量關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)，特別適合分析大型系統(tǒng)的可靠性，不足之處在于需要通過長時(shí)間的模擬計(jì)算獲得較高精度的可靠性指標(biāo)，因此，需要利用各類方差減小技術(shù)來提升收斂速度.常見的方差縮減技巧有分散抽樣法、自適應(yīng)抽樣法、對(duì)偶變數(shù)抽樣法等[4].文獻(xiàn)[5]提出能夠?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)空間概率分布進(jìn)行優(yōu)化的自適應(yīng)重要抽樣技術(shù)，但抽樣密度初始值的構(gòu)造受系統(tǒng)性質(zhì)約束，當(dāng)系統(tǒng)可靠性較高時(shí)，該技術(shù)會(huì)使抽樣效率降低；文獻(xiàn)[6]結(jié)合重要抽樣與拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)的優(yōu)勢(shì)，提出改進(jìn)拉丁超立方抽樣法，但抽樣時(shí)大量狀態(tài)可能被重復(fù)抽取，進(jìn)而增加了計(jì)算量；文獻(xiàn)[7]提出自適應(yīng)分層重要抽樣算法，但抽樣過程較為煩瑣，不可能大面積推廣使用；文獻(xiàn)[8]將系統(tǒng)狀態(tài)空間劃分為無故障部分和所有階次的故障部分，依據(jù)各部分特點(diǎn)，采用不同的評(píng)估方法進(jìn)行分析，但即使得到較好的評(píng)估效果，也不能防止對(duì)相同狀態(tài)的重復(fù)采樣.

針對(duì)利用蒙特卡洛模擬法進(jìn)行電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估時(shí)，存在抽樣次數(shù)多、計(jì)算精度低、系統(tǒng)狀態(tài)重復(fù)抽樣的問題，本文提出基于狀態(tài)空間分割非重復(fù)抽樣的電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估方法.該方法利用重要抽樣確定重要狀態(tài)子空間，進(jìn)而劃分系統(tǒng)狀態(tài)空間，并利用解析法計(jì)算精度高的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)重要狀態(tài)子空間可靠性指標(biāo)的高效求解.對(duì)非重要狀態(tài)子空間采用狀態(tài)篩選與重要拉丁超立方抽樣法相結(jié)合的電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估方法，既能防止對(duì)系統(tǒng)相同狀態(tài)的重復(fù)抽取，還可以提高計(jì)算精度，達(dá)到改善取樣效果，降低抽樣方差的目的.

1 重要拉丁超立方抽樣法

1.1 非序貫蒙特卡洛模擬法

非序貫蒙特卡洛法是通過對(duì)系統(tǒng)中若干個(gè)元件的狀態(tài)進(jìn)行取樣來獲取整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài).假定電力系統(tǒng)由n個(gè)電氣元件構(gòu)成，則系統(tǒng)狀態(tài)X可以用n維向量來表示，即

X=[x1，x2，…，xi，…，xn]，

(1)

式中：xi為元件i的運(yùn)行狀態(tài).xi用[0，1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)ri來模擬，即

(2)

式中：pi為元件i處于故障狀態(tài)的概率.則xi的概率分布表達(dá)式P(xi)為

由于不同電氣元件的故障狀態(tài)是相互獨(dú)立的，故系統(tǒng)的聯(lián)合概率分布函數(shù)P(X)表達(dá)式為

若系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)用F(X)表示，那么系統(tǒng)可靠性指標(biāo)數(shù)學(xué)期望和方差分別為

(3)

(4)

式中：Ω代表系統(tǒng)狀態(tài)空間.依據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，可將樣本均值作為期望值的無偏估計(jì)，即

(5)

(6)

在可靠性評(píng)估中，收斂判據(jù)通常以可靠性指標(biāo)的方差系數(shù)β為標(biāo)準(zhǔn).方差系數(shù)β的表達(dá)式為

(7)

整理式(7)可知，非序貫蒙特卡洛模擬法所需的抽樣次數(shù)為

(8)

分析式(8)可知，當(dāng)方差系數(shù)β一定時(shí)，抽樣次數(shù)N與系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)的方差V(F(X))成正比.因此，在滿足一定抽樣精度的條件下，減少N僅能夠通過降低V(F(X))來實(shí)現(xiàn).

1.2 重要抽樣法

重要抽樣法是最有效的改進(jìn)蒙特卡洛法的手段之一，其主要思想是能夠?qū)λo定的概率分布進(jìn)行修改，還可以使原有樣本期望值不發(fā)生改變，以此來達(dá)到減少模擬時(shí)間與縮減方差的目的.

首先將式(3)中的分子與分母分別乘P*(X)，從而可得到可靠性指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望

(9)

令F*(X)=F(X)P(X)/P*(X)，則有

(10)

式中：P*(X)為最優(yōu)概率分布函數(shù)；F*(X)為系統(tǒng)在該分布函數(shù)下的狀態(tài)函數(shù)，F(xiàn)*(X)的方差為

(11)

如果式(11)中的P*(X)滿足P*(X)=F(X)P(X)/E(F(X))的條件，則

V[F*(X)]=0

.

(12)

由式(12)分析可知：如果能夠用P*(X)代替P(X)進(jìn)行抽樣，那么將抽樣方差減小到0是可以實(shí)現(xiàn)的，故重要抽樣法的關(guān)鍵是將最優(yōu)概率分布函數(shù)P*(X)構(gòu)造出來.由于滿足式(12)的P*(X)很難直接構(gòu)造，但可以看出，P*(X)與P(X)滿足一定的比例關(guān)系，故令P*(X)=mP(X)，m為比例常數(shù)，從而將P*(X)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為m的求解問題.

定義元件i的最優(yōu)概率分布函數(shù)為

(13)

式中：k為最優(yōu)乘子；fi為系統(tǒng)中第i個(gè)元件的強(qiáng)迫停運(yùn)率；xi為第i個(gè)元件的狀態(tài)變量.由于P*(X)=mP(X)，則

F*(X)=F(X)/m，

(14)

.

(15)

抽取系統(tǒng)中所有元件的狀態(tài)，利用式(15)求解m，將得到的m值代入式(14)求解新的狀態(tài)函數(shù)值，所求結(jié)果取多次抽樣后的均值.

在上述求解步驟中，k的選取不宜過大.文獻(xiàn)[9]給出了最優(yōu)乘子k的取值范圍一般介于1～2，在本文中最優(yōu)乘子k的初值定為1.1.文獻(xiàn)[10]、[11]給出了最優(yōu)乘子k的計(jì)算公式，對(duì)于給定的電力系統(tǒng)，n1是系統(tǒng)在抽樣過程中處于停運(yùn)狀態(tài)的元件數(shù)量，n0是系統(tǒng)在抽樣過程中處于正常狀態(tài)的元件數(shù)量.設(shè)β0=n1/(n0+n1)，則最優(yōu)乘子k可以計(jì)算得到

(16)

其中：

(17)

1.3 重要拉丁超立方抽樣法

拉丁超立方抽樣法屬于分層抽樣技術(shù)，因此，它能夠?qū)斎敫怕史植歼M(jìn)行分層，故能夠更改非序貫蒙特卡洛模擬法的抽樣方式.該方法既具有均勻分層的特性，還可以避免數(shù)據(jù)截尾的情況.

基于以上兩種抽樣方法的優(yōu)點(diǎn)，本文將重要抽樣法與拉丁超立方抽樣法相結(jié)合.首先，利用重要抽樣確定最優(yōu)乘子k，以此來構(gòu)造P*(X)的近似函數(shù)；隨后，對(duì)構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行拉丁超立方抽樣，根據(jù)拉丁超立方抽樣法的要求，按照抽樣次數(shù)N將[0，1]區(qū)間等分為N個(gè)不重疊的子區(qū)間，分別從N個(gè)子區(qū)間內(nèi)抽取系統(tǒng)狀態(tài)，直到系統(tǒng)的狀態(tài)被全部抽完[6].

2 狀態(tài)空間分割非重復(fù)抽樣法

2.1 狀態(tài)空間分割非重復(fù)抽樣法的基本原理

圖1狀態(tài)空間可靠性指標(biāo)求解Fig.1Calculation of state space reliability index

圖2重要狀態(tài)子空間可靠性指標(biāo)計(jì)算流程Fig.2Calculation flow of important state subspacereliability index

圖3非重要狀態(tài)子空間可靠性指標(biāo)計(jì)算流程Fig.3Calculation flow of non-important statesubspace reliability index

在電力系統(tǒng)中，不同元件(如發(fā)電機(jī)、線路、變壓器)對(duì)電力系統(tǒng)可靠性的影響是不同的[12].因此，本文方法首先采用重要抽樣確定重要元件，進(jìn)而確定系統(tǒng)的重要狀態(tài)子空間，采用解析法高效計(jì)算重要狀態(tài)子空間可靠性指標(biāo).采用重要拉丁超立方抽樣法與狀態(tài)篩選法確定非重要狀態(tài)子空間，在LHS的過程中進(jìn)行兩次狀態(tài)篩選：第1次篩選，判斷是否為重要狀態(tài)，若是重要狀態(tài)，則無須重復(fù)抽樣，放棄分析；若不是重要狀態(tài)，則需進(jìn)行第2次篩選.第2次篩選，篩選的是非重要狀態(tài)，若該狀態(tài)之前已經(jīng)抽到過，則將其淘汰；若該狀態(tài)之前沒有抽到過，則將其列入非重要狀態(tài)子空間.篩選結(jié)束后，求解非重要狀態(tài)子空間可靠性指標(biāo).狀態(tài)空間可靠性指標(biāo)求解見圖1.

2.2 重要狀態(tài)子空間ΩZ的確定及可靠性指標(biāo)求解方法

假設(shè)元件強(qiáng)迫停運(yùn)率的偏移程度向量θ=[θ1，θ2，…，θn]，則第i個(gè)元件強(qiáng)迫停運(yùn)率的偏移系數(shù)θi為vi與ui的比值，其中：vi為元件i的修正強(qiáng)迫停運(yùn)率；ui為元件i的原始強(qiáng)迫停運(yùn)率.θi值越大，元件i對(duì)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響程度越大，故將元件強(qiáng)迫停運(yùn)率偏移系數(shù)較大的R個(gè)元件記為重要元件，通過重要元件的求解方法確定重要元件集Z.

對(duì)系統(tǒng)的某一個(gè)s(s≤R)階狀態(tài)而言，如果其狀態(tài)分量取值為1的狀態(tài)均在重要元件集內(nèi)，則將該狀態(tài)定義為系統(tǒng)的s(s≤R)階重要狀態(tài)，由所有重要系統(tǒng)狀態(tài)組成系統(tǒng)的重要狀態(tài)子空間ΩZ[12].ΩZ的確定方法：

1)利用重要抽樣求解系統(tǒng)中各元件的修正強(qiáng)迫停運(yùn)率與系統(tǒng)的最優(yōu)概率分布函數(shù).

2)求解各元件強(qiáng)迫停運(yùn)率的偏移程度，確定系統(tǒng)的重要元件集Z，最后確定系統(tǒng)重要狀態(tài)的最高階數(shù)H(H≤R).

3)基于深度優(yōu)先搜索遍歷方法，遍歷系統(tǒng)中不大于R階的所有故障狀態(tài)；隨后篩選出系統(tǒng)中階數(shù)不超過H的重要狀態(tài)，共計(jì)NZ個(gè)，由上述狀態(tài)構(gòu)成的集合為系統(tǒng)的重要狀態(tài)子空間.重要狀態(tài)子空間可靠性指標(biāo)計(jì)算流程見圖2.

2.3 非重要狀態(tài)子空間ΩY的確定及可靠性指標(biāo)計(jì)算方法

非重要狀態(tài)子空間采用本文所提出的狀態(tài)篩選與重要拉丁超立方抽樣相結(jié)合的方法來確定.以可靠性指標(biāo)電力不足概率(LOLP)的計(jì)算為例，分為兩個(gè)步驟：

步驟Ⅰ.通過重要抽樣求解出系統(tǒng)中各元件修正強(qiáng)迫停運(yùn)率與系統(tǒng)的最優(yōu)概率分布函數(shù)P*(X).

步驟Ⅱ.對(duì)于修正后的P*(X)進(jìn)行拉丁超立方抽樣，在采樣過程中進(jìn)行兩次狀態(tài)篩選，并計(jì)算可靠性指標(biāo)LOLP.非重要狀態(tài)子空間可靠性指標(biāo)求解流程見圖3.

2.4 系統(tǒng)狀態(tài)空間可靠性指標(biāo)計(jì)算方法

(18)

求解系統(tǒng)狀態(tài)空間可靠性指標(biāo)方差系數(shù)時(shí)，因?yàn)棣竄內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài)是確定的，無須進(jìn)行抽樣，故系統(tǒng)狀態(tài)空間可靠性指標(biāo)方差系數(shù)僅由ΩY來決定.

3 算例分析

本文不探討各元件間出現(xiàn)故障的情況，僅研究元件出現(xiàn)獨(dú)立故障的情況.以IEEE-RTS系統(tǒng)為例說明文中所提方法的可行性.該系統(tǒng)含有32臺(tái)發(fā)電機(jī)與38條線路，總裝機(jī)容量3 405 MW，年最大負(fù)荷2 850 MW，最大發(fā)電負(fù)荷為2 902.5 MW[13].計(jì)算平臺(tái)基于Windows 10 64bit，配置為Intel(R)Core(TM) i7-6500U CPU @ 2.50 GHz 2.59 GHz與8.00 GB RAM.系統(tǒng)接線見圖4.

圖4IEEE-RTS系統(tǒng)接線Fig.4IEEE-RTS system wiring

本文程序在MATLAB的matpower工具箱中編寫，負(fù)荷削減采用以切負(fù)荷量最小為目標(biāo)的最優(yōu)直流潮流模型.利用本文所提方法(簡稱方法Ⅲ)對(duì)IEEE-RTS系統(tǒng)與修改后的IEEE-RTS系統(tǒng)發(fā)輸電部分進(jìn)行可靠性評(píng)估.可靠性指標(biāo)選用LOLP與EPNS，收斂判據(jù)選用EPNS的方差系數(shù)βEPNS.同時(shí)，將本文方法的計(jì)算結(jié)果與重要拉丁超立方抽樣法(簡稱方法Ⅱ)和常規(guī)LHS方法(簡稱方法Ⅰ)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.為避免偶然因素，減少仿真誤差，對(duì)于相同的方差系數(shù)可靠性評(píng)估結(jié)果取3次評(píng)估后的算數(shù)平均值.

3.1 IEEE-RTS系統(tǒng)可靠性評(píng)估

表1給出了在不同計(jì)算精度下，利用上述3種算法仿真得到的LOLP、EPNS和各自抽樣所用次數(shù)以及其他方法抽樣所用次數(shù)與方法Ⅰ抽樣所用次數(shù)所占百分比rN.

表1 相同精度下3種方法可靠性評(píng)估結(jié)果Tab.1 Reliability evaluation results of the three methods at the same accuracy

表1(續(xù))

由表1可見：在相同的計(jì)算精度(方差系數(shù)βEPNS)要求下，方法Ⅲ的抽樣效率相比方法Ⅰ與方法Ⅱ有明顯提高.當(dāng)β≤0.04時(shí)，方法Ⅱ所用計(jì)算量約為方法Ⅰ的80%左右，本文所提方法Ⅲ所用計(jì)算量約為方法Ⅱ的3/4.由此表明，所提方法在運(yùn)用狀態(tài)空間分割思想后充分發(fā)揮了狀態(tài)篩選與解析法的雙重優(yōu)勢(shì)，能夠在方法Ⅰ和方法Ⅱ的基礎(chǔ)上加快可靠性評(píng)估速度，提升計(jì)算效率，改進(jìn)算法具有高效性.

圖5方差系數(shù)βEPNS隨抽樣次數(shù)的動(dòng)態(tài)變化Fig.5Variation of βEPNS in sampling process

圖5為上述3種方法的方差系數(shù)βEPNS隨抽樣次數(shù)動(dòng)態(tài)變化曲線.由圖5可知：當(dāng)方差系數(shù)βEPNS一致時(shí)，方法Ⅰ、Ⅱ抽樣所用的次數(shù)顯然比方法Ⅲ要多；當(dāng)抽樣次數(shù)逐步增多時(shí)，方法Ⅲ相比方法Ⅰ、Ⅱ最先收斂；當(dāng)抽樣所用的次數(shù)一致時(shí)，方法Ⅲ的可靠性評(píng)估速度最快，而且其方差系數(shù)βEPNS最小.方法Ⅲ可以保證在較高計(jì)算精度的前提下，避免對(duì)相同狀態(tài)的重復(fù)抽取，加快可靠性的評(píng)估速度，進(jìn)而提升計(jì)算效率.

3.2 修改后的IEEE-RTS系統(tǒng)可靠性評(píng)估

因IEEE-RTS系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)組出現(xiàn)故障的概率較大，線路元件出現(xiàn)故障的概率偏低，故根據(jù)中國可靠性管理中心發(fā)布的數(shù)據(jù)并結(jié)合我國電力系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行情況，將IEEE-RTS發(fā)電機(jī)組的故障概率統(tǒng)一乘以0.5，系統(tǒng)中線路元件的故障概率擴(kuò)大10倍[14].對(duì)修改后的IEEE-RTS系統(tǒng)采用方法Ⅱ與方法Ⅲ進(jìn)行可靠性評(píng)估，表2為在不同計(jì)算精度下，利用上述兩種不同算法計(jì)算得到的LOLP、EPNS和各自抽樣所用次數(shù)與相應(yīng)的仿真時(shí)間.

表2 相同精度下兩種方法在修改后系統(tǒng)中的可靠性評(píng)估結(jié)果Tab.2 Reliability evaluation results of two methods in modified system with same accuracy

由表2可見：在相同的計(jì)算精度(方差系數(shù)βEPNS)要求下，方法Ⅲ的抽樣次數(shù)與仿真時(shí)間相比方法Ⅱ有明顯降低.當(dāng)方差系數(shù)β≤0.06時(shí)，方法Ⅲ的抽樣次數(shù)約為方法Ⅱ的52%左右，仿真時(shí)間約為方法Ⅱ的58%左右，由此驗(yàn)證了本文所提方法在不同電力系統(tǒng)中可以普遍使用.

4 小 結(jié)

本文提出基于狀態(tài)空間分割非重復(fù)抽樣的電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估方法，通過對(duì)IEEE-RTS系統(tǒng)與修改后的IEEE-RTS系統(tǒng)進(jìn)行算例分析，得到以下結(jié)論：

1)重要狀態(tài)子空間利用解析法計(jì)算精度高的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了可靠性指標(biāo)的高效求解.

2)非重要狀態(tài)子空間采用LHS抽樣，在LHS過程中進(jìn)行兩次狀態(tài)篩選，淘汰重要狀態(tài)和已經(jīng)計(jì)算過的非重要狀態(tài)，避免了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的重復(fù)抽取，故在抽樣效率與收斂速度兩方面均有明顯提升.

隨著綜合能源系統(tǒng)的迅速發(fā)展，其可靠性較差的問題尤為突出，因此，本文方法在綜合能源系統(tǒng)的應(yīng)用具有重要意義.