譚秀輝 王鵬 李有文 張庚為

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?從泰勒公式在科研中的應(yīng)用出發(fā)，討論了對(duì)同一函數(shù)的逼近問(wèn)題中設(shè)置不同的泰勒展開(kāi)點(diǎn)及泰勒展開(kāi)式階數(shù)的重要作用，為泰勒展開(kāi)式的實(shí)際應(yīng)用提供一定的參考依據(jù)。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?泰勒公式;泰勒展開(kāi)式誤差;科研思想;高等數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)] ?2096-0603（2022）25-0052-03

現(xiàn)階段是科技高速發(fā)展的時(shí)代，是一個(gè)急需各類高素質(zhì)創(chuàng)新型人才的時(shí)代，高校承擔(dān)著培養(yǎng)科技人才的主要任務(wù)，因此培養(yǎng)出具有一定科研素質(zhì)及科研能力的本科畢業(yè)生是本科教學(xué)階段的一個(gè)重要任務(wù)。高等數(shù)學(xué)課程是工科專業(yè)本科生的必修課程，也是工科類學(xué)生在各自研究領(lǐng)域必然會(huì)應(yīng)用到的知識(shí)儲(chǔ)備，在有限的學(xué)習(xí)時(shí)間內(nèi)，高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容多而廣，同時(shí)教學(xué)要求往往在短短的兩個(gè)學(xué)期內(nèi)完成，這就會(huì)造成很多時(shí)候?qū)W生對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)往往只停留在知識(shí)點(diǎn)的表面，看似已經(jīng)掌握了，但當(dāng)真正遇到科研問(wèn)題時(shí)往往不能夠?qū)⑾鄳?yīng)的知識(shí)與問(wèn)題自然地聯(lián)系起來(lái)，要做到游刃有余地將高等數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于問(wèn)題之中仍存在很大的差距。一方面掌握了高等數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)知識(shí)工具的學(xué)生，并不知曉這些工具知識(shí)的深遠(yuǎn)意義及實(shí)際用途。另一方面當(dāng)他們進(jìn)入更高層次學(xué)習(xí)階段進(jìn)行具體問(wèn)題研究時(shí)，面對(duì)已修過(guò)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)又茫然不知從何入手。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)教授需要教師進(jìn)行深入的研究和設(shè)計(jì)。

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)、重點(diǎn)，也是教學(xué)方法討論比較多的對(duì)象[1]。很多學(xué)生對(duì)這一部分知識(shí)的學(xué)習(xí)帶有一定的抵觸情緒，主要源于泰勒公式的表達(dá)形式較繁雜，這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)泰勒公式的本質(zhì)及作用不能深刻體會(huì)。此部分的教學(xué)步驟通常沿用教材中的安排：首先介紹定理內(nèi)容，其次進(jìn)行證明，再次是一些基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，最后介紹一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。這樣的教學(xué)安排從邏輯推理上非常嚴(yán)謹(jǐn)，但對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)理解過(guò)程并非最佳。為了讓學(xué)生更好地理解泰勒公式的內(nèi)涵，很多更加生動(dòng)的導(dǎo)入方法被提出，如例題導(dǎo)入法、直觀導(dǎo)入法、類比法、誤差“撿回法”[1]等。

繪制各點(diǎn)處不同階數(shù)泰勒展開(kāi)式對(duì)應(yīng)的圖形如圖1，為了對(duì)比方便，區(qū)間分別取以展開(kāi)點(diǎn)為中心、6為半徑的區(qū)間進(jìn)行觀察?？梢钥吹剑瑥亩A展開(kāi)式一次函數(shù)的直線型擬合逐步過(guò)渡到越來(lái)越接近原曲線走勢(shì)的八階多項(xiàng)式展開(kāi)式對(duì)應(yīng)圖像，隨著展開(kāi)式階數(shù)的增加對(duì)函數(shù)f（x）=ex的近似逼近程度越來(lái)越高，由于在展開(kāi)處具有相應(yīng)階數(shù)導(dǎo)數(shù)相等，因此曲線具有相同的性態(tài)，并且這種共同的性態(tài)隨著泰勒展開(kāi)式階數(shù)的提高而增多，因此擬合精度更高。當(dāng)自變量遠(yuǎn)離展開(kāi)點(diǎn)時(shí)，這種共同性態(tài)的誤差逐漸顯現(xiàn)，隨著展開(kāi)階數(shù)的增加可以看出誤差“撿回”[3]的過(guò)程。

如圖2所示為泰勒展示與函數(shù)f（x）=ex真實(shí)值之間的絕對(duì)誤差，同樣在以展開(kāi)點(diǎn)為中心、6為半徑范圍內(nèi)進(jìn)行繪圖?？梢钥闯鲈诓煌c(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開(kāi)式時(shí)，其附近的絕對(duì)誤差是有區(qū)別的，同樣是距離中心點(diǎn)距離相等的點(diǎn)處，誤差的數(shù)量級(jí)有巨大的差別，同樣距離展開(kāi)點(diǎn)距離為6的點(diǎn)處，相同階數(shù)展開(kāi)式的絕對(duì)誤差數(shù)量級(jí)從10變化到105，這與f（x）=ex曲線不同區(qū)間形態(tài)變化的劇烈程度密切相關(guān)。因此在具體問(wèn)題的泰勒公式應(yīng)用過(guò)程中，要密切關(guān)注這一因素所引起的變化。

總之，對(duì)于泰勒公式的理解需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：第一，泰勒公式以增加更高次數(shù)冪函數(shù)項(xiàng)使函數(shù)逼近精度不斷提高，這種精度上的提高依據(jù)具體要求而定，展開(kāi)項(xiàng)數(shù)可進(jìn)行調(diào)節(jié)。第二，泰勒公式的展開(kāi)是以x0為中心進(jìn)行的，即要求所處理的問(wèn)題要在x0處具有各階導(dǎo)數(shù)，并且導(dǎo)數(shù)值易于求出。第三，泰勒公式的近似是以x向x0的接近程度為前提的，因此要明確問(wèn)題所考慮范疇是否圍繞x0進(jìn)行，即選擇恰當(dāng)?shù)膞0點(diǎn)處對(duì)函數(shù)進(jìn)行泰勒公式展開(kāi)也是具體問(wèn)題中的重要因素。

參考文獻(xiàn)：

[1]智紅燕，張丹青，張艷華，等.“泰勒公式”的導(dǎo)入與剖析[J].教育教學(xué)論壇，2021（1）：125-128.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]康建梅，陳占華，鄭麗霞，等.對(duì)“泰勒公式”教學(xué)的探討[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2017，30（3）：139-141.

編輯 馬燕萍

An Analysis of Taylor’s Formula in Higher Mathematics from the Perspective of Research Thought

TAN Xiu-hui，WANG Peng，LI You-wen ，ZHANG Geng-wei

Abstract：From the application of Taylor’s formula in scientific research， the important role of setting different Taylor expansion points and the order of Taylor expansions in approximation problems for the same function is discussed to provide some reference basis for the practical application of Taylor expansions quality of students’ mathematical thinking.

Keywords：Taylor formula;error of Taylor’s formula;scientific research thought;Advanced Mathematics