史浩飛尤晶晶陳華鑫

(1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2.南京航空航天大學(xué)江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016)

工作頻帶是衡量加速度傳感器性能的重要指標(biāo)之一，反映了其檢測(cè)性能和適用場(chǎng)景。 對(duì)于一維加速度計(jì)而言，其工作頻率的下限由相連電荷放大器的下限截止頻率決定，一般可低至0.3 Hz[1]；其工作頻率的上限一般取其基頻的1/5～1/3[2]以避免感知機(jī)構(gòu)發(fā)生共振[3]從而影響正常檢測(cè)。 對(duì)于低維運(yùn)動(dòng)感知機(jī)構(gòu)，對(duì)它的研究主要側(cè)重于工作頻率與傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系。 Lee 等人[4]利用元模型分析了共振情況下，壓電式加速度傳感器的敏感參數(shù)的特性。 LIU 等人[5]基于一種折疊式橫梁的壓電式加速度傳感器，研究了中心質(zhì)量塊的位移與工作頻率之間的關(guān)系。 此外，針對(duì)靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)加速度的特性，Lu 等人[6]研究了壓電式加速度傳感器在低頻范圍內(nèi)的補(bǔ)償方法，從而大大提高了傳感器在低頻范圍內(nèi)的測(cè)量精度。

與少自由度運(yùn)動(dòng)感知機(jī)構(gòu)相比，六維加速度感知機(jī)構(gòu)具有信息獲取更全、測(cè)量精度更高、體積和成本更低等優(yōu)勢(shì)[7]，在航空航天[8－9]、振動(dòng)測(cè)試[10]等領(lǐng)域應(yīng)用前景廣闊。 對(duì)于該類感知機(jī)構(gòu)，其最小工作頻率由電荷調(diào)理儀器的性能決定，而最大工作頻率的界定尚未解決。 目前，六維加速度感知機(jī)構(gòu)的固有頻率等特性已得到了深入研究[11－13]，因此以固有頻率為切入點(diǎn)是進(jìn)一步探究最大工作頻率的有效途徑。

鑒于此，本文首先基于第二類Lagrange 方程建立了感知機(jī)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程，并利用Householder 法和單步QR 法求解了振型方程的特征值問題；利用軟件仿真，驗(yàn)證了基頻模型和方程求解的正確性；最后，研究了六維加速度感知機(jī)構(gòu)的基頻與最大工作頻率之間的線性關(guān)系。

1 基頻模型

并聯(lián)式六維加速度感知機(jī)構(gòu)由質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為2n的正方體質(zhì)量塊及長(zhǎng)度為l的支鏈構(gòu)成。 圖1為三種感知機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，其構(gòu)型分別為9－3、12－6和12－4。 以12－4 構(gòu)型為例，其中Bij(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)表示與基座固連的一般球鉸鏈，bi(i＝1，2，3，4)表示與質(zhì)量塊固連的復(fù)合球鉸鏈，Pij(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)表示各支鏈上的壓電陶瓷。 分別在質(zhì)量塊和基座上建立笛卡爾坐標(biāo)系O1－X1Y1Z1、O2－X2Y2Z2，分別記為{U}和{L}。 動(dòng)平衡狀態(tài)時(shí)兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合于質(zhì)量塊的質(zhì)心處，其坐標(biāo)軸分別與質(zhì)量塊的三條棱邊平行。

圖1 并聯(lián)式六維加速度感知機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.1 建立支鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

復(fù)合球鉸鏈在{L}系中的坐標(biāo)b{L}i可表示為:

式中:O{L}表示{U}系的原點(diǎn)在{L}系中的坐標(biāo)；R{L}表示{U}系相對(duì)于{L}系的旋轉(zhuǎn)矩陣；為復(fù)合球鉸鏈在{U}系中的坐標(biāo)。

因此，該感知機(jī)構(gòu)支鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

式中:lij表示各支鏈的矢量；表示基座上的一般球鉸鏈在{L}系中的坐標(biāo)。

1.2 建立無阻尼自由振動(dòng)微分方程

利用四元數(shù)來描述{U}系相對(duì)于{L}系的姿態(tài)，則{U}系相對(duì)于{L}系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量ω{L}可表示為[7]:

式中:λ0為該四元數(shù)的實(shí)部元素；λ1、λ2、λ3分別為該四元數(shù)的三個(gè)虛部元素；?λ＝[?λ1，?λ2，?λ3，?λ0]T。

根據(jù)第二類Lagrange 方程，系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為:

式中:Ek表示質(zhì)量塊的動(dòng)能；Ep表示壓電陶瓷的彈性勢(shì)能；qj表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)[14]，q1～3為描述{U}系相對(duì)于{L}系位置坐標(biāo)的三個(gè)分量，q4～6分別等于λ1，λ2，λ3。

式(2)中質(zhì)量塊的動(dòng)能函數(shù)可表示為:

式中:ν{L}表示{U}系的原點(diǎn)相對(duì)于{L}系移動(dòng)的線速度矢量；I{U}表示質(zhì)量塊在{U} 系中的慣性矩陣[7]:

故質(zhì)量塊的動(dòng)能函數(shù)可近似表達(dá)為:

式(2)中壓電陶瓷的勢(shì)能函數(shù)可表示為:

式中:k表示壓電陶瓷的等效剛度。

根據(jù)泰勒公式展開并忽略二階以上無窮小量，結(jié)合式(1)整理可得廣義坐標(biāo)形式下的勢(shì)能函數(shù):

將動(dòng)能函數(shù)(3)和勢(shì)能函數(shù)(4)代入式(2)中，整理可得12－4 構(gòu)型六維加速度感知機(jī)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程:

式中:M、K表示六維加速度感知機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；表示廣義加速度；0 表示六階零矢量，且:

2 基頻的求解及算例驗(yàn)證

2.1 特征值問題的分析

式(5)的解對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)，由于不存在能量的損失，系統(tǒng)將永不停歇地振動(dòng)下去。假設(shè)所有的坐標(biāo)作同步運(yùn)動(dòng)，即兩坐標(biāo)間的振動(dòng)位移之比恒定，則設(shè)該方程的解為:

式中:Qi為常數(shù)；T是時(shí)間t的函數(shù)。

將式(6)代入式(5)并展開為方程組形式，可得:

式中:mij，kij分別表示質(zhì)量矩陣和剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)元素。

故而可得到如下關(guān)系:

式(7)等號(hào)右邊為常數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)，令其等于ω2，則式(5)可改寫為:

式中:ω為系統(tǒng)的固有圓頻率。

又因Q不為零，故有:

式(8)表示一特征值問題，式(9)為其特征方程，ω2為其特征值。 令ξ＝1/ω2，定義動(dòng)力矩陣D＝K－1M，則式(9)可轉(zhuǎn)化為:

2.2 特征值問題的求解

對(duì)于并聯(lián)式六維加速度感知機(jī)構(gòu)這類多自由度系統(tǒng)，通過求解多項(xiàng)式方程來獲得動(dòng)力矩陣D特征值ξ的過程是十分繁瑣的。 鑒于此，可利用Householder 法[15]和單步QR 法[16]來對(duì)特征值問題進(jìn)行求解。

設(shè):

根據(jù)Householder 法，將動(dòng)力矩陣D轉(zhuǎn)化為上Hessenberg 矩陣H，其形式如下:

再根據(jù)單步QR 法，對(duì)H進(jìn)行迭代運(yùn)算，將其變換為對(duì)角矩陣H′，并按升序重新排列其對(duì)角線元素，即有:

式中:ξ1～6為動(dòng)力矩陣D的特征值。

根據(jù)固有圓頻率與頻率之間的關(guān)系，六維加速度感知機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的基頻f0可表示為:

由式(10)可以看出，感知機(jī)構(gòu)的高階固有圓頻率也已在迭代過程中求出，故高階固有頻率也可同時(shí)計(jì)算得知。 對(duì)于感知機(jī)構(gòu)的各階振型向量，可利用已知的ξ值根據(jù)反冪法求解，這里不再進(jìn)行討論。

2.3 算例驗(yàn)證

以動(dòng)力學(xué)仿真軟件ADAMS 為參考，首先對(duì)上述建立的12－4 構(gòu)型感知機(jī)構(gòu)的基頻模型進(jìn)行算例驗(yàn)證。 取質(zhì)量塊的邊長(zhǎng)為0.040 m(質(zhì)量塊的質(zhì)量為0.499 264 kg)，支鏈剛度為2×108N/m，得到其各階固有頻率。 根據(jù)圖2 所示，該系統(tǒng)的基頻為6 370.888 4 Hz。 隨后，基于本文1.2 節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果和矩陣迭代法[7]編寫程序，計(jì)算得出基頻值為6 370.888 4 Hz。

圖2 12－4 構(gòu)型六維加速度感知機(jī)構(gòu)的基頻

鑒于9－3 構(gòu)型的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均為非對(duì)角陣，具有普遍性，這里再以該構(gòu)型為例驗(yàn)證2.2節(jié)的求解過程。 同樣以上述參數(shù)為例建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析其基頻。 圖3 顯示了該系統(tǒng)的基頻仿真結(jié)果，可以看出其值為2 985.969 0 Hz。 隨后，基于9－3 構(gòu)型的無阻尼自由振動(dòng)微分方程和本文2.2 節(jié)的解法編寫程序。 其中，Householder 法經(jīng)過了4 步運(yùn)算，單步QR 法經(jīng)過了如圖4 所示的11 次迭代，完成了各階固有頻率的計(jì)算，顯示其基頻為2 985.969 0 Hz。

圖3 9－3 構(gòu)型六維加速度感知機(jī)構(gòu)的基頻

圖4 9－3 構(gòu)型各階固有頻率的迭代過程

上述兩例的驗(yàn)算結(jié)果均與動(dòng)力學(xué)仿真的結(jié)果吻合，這驗(yàn)證了振型方程的正確性。

3 感知機(jī)構(gòu)最大工作頻率的確定

為確定感知機(jī)構(gòu)的基頻和最大工作頻率之間的關(guān)系，需要建立具有不同基頻的感知機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。 通過改變影響感知機(jī)構(gòu)基頻的兩個(gè)因素，即質(zhì)量塊的質(zhì)量和支鏈的剛度，分別建立了不同參數(shù)的9－3、12－6 和12－4 構(gòu)型感知機(jī)構(gòu)模型，并利用ADAMS 仿真得出其最大工作頻率的準(zhǔn)確值。 各構(gòu)型的模型參數(shù)取值與最大工作頻率數(shù)據(jù)如表1、表2和表3 所示。

表1 9－3 構(gòu)型的模型參數(shù)及最大工作頻率 單位:Hz

表2 12－6 構(gòu)型的模型參數(shù)及最大工作頻率 單位:Hz

表3 12－4 構(gòu)型的模型參數(shù)及最大工作頻率 單位:Hz

對(duì)表1、表2 和表3 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，設(shè)擬合曲線為Fmax＝hF0，其中Fmax表示動(dòng)力學(xué)仿真得到的最大工作頻率；F0表示感知機(jī)構(gòu)的基頻；h表示擬合曲線的斜率。 各構(gòu)型擬合出的參數(shù)如表4 所示，擬合效果如圖5 所示。

進(jìn)一步利用包絡(luò)線理論分析最大工作頻率與基頻之間存在的線性關(guān)系。 設(shè):

式中:c1、c2分別表示下包絡(luò)線和上包絡(luò)線的斜率，且要保證(c2－c1)最小。

利用上述擬合方程對(duì)9－3、12－6 和12－4 構(gòu)型各自的64 組仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行包絡(luò)擬合，擬合效果如圖5所示，擬合參數(shù)如表4 所示。

圖5 最大工作頻率與基頻間的擬合關(guān)系

根據(jù)表4 的包絡(luò)線斜率可以發(fā)現(xiàn)，六維加速度感知機(jī)構(gòu)的最大工作頻率與其基頻之間近似滿足線性映射的關(guān)系，且不同構(gòu)型所對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)差異不大。 另外，表4 列出了三種構(gòu)型感知機(jī)構(gòu)的幾個(gè)重要物理函數(shù)/矩陣的解析表達(dá)式。 基于此，將有利于進(jìn)一步剖析該類系統(tǒng)的解耦機(jī)理。

表4 各構(gòu)型感知機(jī)構(gòu)的物理函數(shù)/矩陣對(duì)比

4 總結(jié)

本文根據(jù)第二類Lagrange 方程建立了并聯(lián)式六維加速度感知機(jī)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程，據(jù)此求解了系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，從而建立了基頻模型。 利用Householder 法和單步QR 法求解基頻模型的特征值問題，準(zhǔn)確得出了基頻值。 為了分析最大工作頻率與系統(tǒng)基頻之間的關(guān)系，對(duì)影響感知機(jī)構(gòu)基頻的兩個(gè)分量進(jìn)行了分析，擬合結(jié)果表明，該類系統(tǒng)的最大工作頻率與基頻的比值在0.029 36 左右，最大工作頻率的波動(dòng)范圍處于基頻的[1/36，1/30]區(qū)間內(nèi)。