201114 上海師范大學(xué)附屬閔行第三中學(xué) 蔣贏利

培根曾說,數(shù)學(xué)是思維的體操

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現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認為：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，而不僅是活動的結(jié)果；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不僅是為了獲得數(shù)學(xué)知識，它的作用主要是為了訓(xùn)練人的思維技能，提高人的思維品質(zhì)

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創(chuàng)設(shè)情境是指教師在學(xué)生動手實驗之前，給學(xué)生提供新的學(xué)習(xí)準備，營造一個良好的學(xué)習(xí)氛圍

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在這一情境中，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間發(fā)生沖突，學(xué)習(xí)者在心理上產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要

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創(chuàng)設(shè)情境是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)過程中的第一環(huán)節(jié)，它是實施其他環(huán)節(jié)的首要條件

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以實驗創(chuàng)設(shè)研究的情境能夠引導(dǎo)學(xué)生動手探究，設(shè)置懸念能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)求知欲

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從上世紀90年代開始，陜西師范大學(xué)胡衛(wèi)平教授帶領(lǐng)團隊做了大量教育學(xué)習(xí)理論、認知科學(xué)、腦科學(xué)領(lǐng)域的研究，歷經(jīng)近30年，他們提出了思維型教學(xué)理論，這一教學(xué)理論的目標指向核心素養(yǎng)

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學(xué)生的學(xué)習(xí)離不開思維，因此教學(xué)中必須強調(diào)思維

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批判性思維與創(chuàng)造性思維能力是目前國際關(guān)注的兩種高階思維，要形成這兩種思維能力，不能忽視一般思維能力的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)特別強調(diào)學(xué)科核心素養(yǎng)

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數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括六個方面，其中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象都與思維息息相關(guān)

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一、 問題聚焦

(一)研究課標，明確重點

筆者選用上海教育出版社《數(shù)學(xué)》七年級第二學(xué)期(試用本)第十三章“相交線和平行線”的拓展內(nèi)容進行思維型教學(xué)課例實踐

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為提升學(xué)生的思維能力，在教學(xué)中明確把平行線間角的數(shù)量關(guān)系作為這節(jié)探究課的教學(xué)重點，將平行線間角的關(guān)系探究中輔助線的添法作為教學(xué)難點，并由此制定如下教學(xué)目標

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(1)初步了解平行線間的角的數(shù)量關(guān)系，進一步掌握添加平行輔助線的方法

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(2)經(jīng)歷從特殊到一般的問題探究過程，體會轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論的數(shù)學(xué)思想和幾何說理的嚴謹性，感受數(shù)學(xué)源于生活又運用于生活

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在明確以上教學(xué)目標后，筆者進行構(gòu)思，幫助學(xué)生學(xué)會識圖，逐步提升學(xué)生的思維能力

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在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，增加體驗環(huán)節(jié)，嘗試通過小組交流來梳理知識，解決問題

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(二)分析學(xué)情，突破難點

為達成教學(xué)目標，確保教學(xué)構(gòu)思能夠?qū)崿F(xiàn)，筆者對學(xué)情進行分析

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在知識與能力方面，七年級學(xué)生在學(xué)習(xí)了平行線的判定和性質(zhì)后，有了一定的識圖說理能力，但有的學(xué)生識圖能力較弱，缺乏嚴謹?shù)倪壿嬐评砑耙?guī)范的幾何說理習(xí)慣

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中上能力層次的學(xué)生在添加輔助線時，個別學(xué)生出現(xiàn)一定困難

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同時，筆者發(fā)現(xiàn)七年級學(xué)生具有爭強好勝的特點，探究幾何圖形和結(jié)論的興趣濃厚

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通過精心設(shè)計各種不同的問題，筆者讓學(xué)生自主探究，逐步破解教學(xué)難點，以達到提升學(xué)生思維能力的目的

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二、 課例實證分析

(一)創(chuàng)設(shè)生活情境，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

教學(xué)片段1

師生先一起觀看街道的微視頻，再引入環(huán)湖公路的情境問題，具體如下

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圖1

如圖1，老師開車經(jīng)過一段環(huán)湖公路，需經(jīng)過三次拐彎繞湖而過，如果第一次拐彎處的∠

A

=140°，第二次拐彎處的∠

B

=120°，第三次拐彎處的∠

C

為多少度時，這時的道路恰好和第一次拐彎前的道路平行？為什么？通過觀看街道的微視頻，學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活又運用于生活

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教師從公路開車繞彎的情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考平行道路與環(huán)湖公路的變化，體會數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用

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通過創(chuàng)設(shè)生活化的情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激活學(xué)生的形象思維，學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，將生活中的數(shù)學(xué)原型生動地展現(xiàn)在課堂上，讓學(xué)生從熟悉的生活中提煉數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活又運用于生活，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在情境問題的互動中得到提升

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(二)創(chuàng)設(shè)實驗體驗活動，激活學(xué)生的思維

教學(xué)片段2

探究1

如圖2，

AD

∥

CE

，∠

A

和∠

C

有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

探究2

如圖3，

AD

∥

CE

，∠

A

，∠

B

，∠

C

有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

圖2圖3

師：請同學(xué)們在自己的Pad 上通過GeoGebra幾何軟件多畫幾個類似于圖3的圖形，并測量出∠

A

，∠

B

，∠

C

的大小

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師：同學(xué)們，請你們算一算自己測量出的∠

A

，∠

B

，∠

C

的大小，猜一猜這三個角的數(shù)量關(guān)系是什么？生4：老師，我通過計算發(fā)現(xiàn)這三個角的和是360°(如圖4、圖5所示)

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生5: 老師，我通過計算發(fā)現(xiàn)這三個角的和不等于360°(如圖6所示)

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圖4圖5

圖6

生5的問題引發(fā)了學(xué)生的進一步思考，學(xué)生一起分析出現(xiàn)此類問題的原因

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這是因為生5在畫圖時出現(xiàn)誤差，

AD

和

CE

不平行，于是學(xué)生感悟到∠

A

，∠

B

，∠

C

這三個角的和等于360°的前提是直線

AD

和

CE

平行

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為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖3中∠

A

，∠

B

，∠

C

的數(shù)量關(guān)系并非偶然而是具有一般性，筆者讓每位學(xué)生在Pad上通過GeoGebra幾何軟件多畫幾個類似于圖3的圖形，測量出∠

A

，∠

B

，∠

C

的大小，通過計算，再猜想得出數(shù)量關(guān)系是∠

A

+∠

B

+∠

C

=360°

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通過搭設(shè)一個學(xué)習(xí)支架，學(xué)生自主完成探究，旨在培養(yǎng)學(xué)生的動手、識圖、獨立思考能力，從特殊到一般，體會化歸思想

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(三)借力小組合作，借助核心問題的引領(lǐng)，使思維可視化，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維

平行線的性質(zhì)、定理都來源于兩條平行線和一條截線，而探究2出現(xiàn)了平行線被折線所截，那么能否通過構(gòu)造平行線或者構(gòu)造截線來解決這個問題？

這個核心問題的提出點燃了學(xué)生的思維火花，筆者事先將學(xué)生分成五個小組，各組學(xué)生積極互動、討論，課堂氣氛活躍，展示了很多方法，增進了小組成員之間的數(shù)學(xué)交流

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學(xué)生經(jīng)歷思維碰撞，總結(jié)出一般規(guī)律，即過折點作平行線或者添加截線，構(gòu)造三角形或四邊形來解決平行線間的角的數(shù)量關(guān)系

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這樣就有了對上述圖3的深度剖析，那么解決如圖1所示的環(huán)湖公路的實際問題就輕而易舉了

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在最后解決實際問題時，學(xué)生利用之前所學(xué)的方法進行解答，分析總結(jié)能力得到提高，因而教學(xué)目標達成度高，形成了良好的課堂探究氛圍

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教學(xué)片段3：

各小組代表展示第一組：構(gòu)造平行線(如圖7-1、圖7-2所示)

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圖7-1

圖7-2

第二組：構(gòu)造平行線(如圖8-1、圖8-2所示)

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圖8-1

圖8-2

第三組：構(gòu)造截線(如圖9-1、圖9-2所示)

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圖9-1

圖9-2

第四組：構(gòu)造截線(如圖10-1、圖10-2所示)

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圖10-1

圖10-2

第五組：構(gòu)造截線(如圖11-1、圖11-2所示)

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圖11-1

圖11-2

教學(xué)片段4：

多折點問題研究當(dāng)折點個數(shù)逐漸增加時(如圖12、圖13，有

n

個折點時)，你能發(fā)現(xiàn)平行線間角的數(shù)量關(guān)系有什么規(guī)律嗎？

圖12圖13

如表1，筆者設(shè)計的表格由簡到難、循序漸進，給學(xué)生鋪設(shè)臺階，呈現(xiàn)出學(xué)生的思維過程和探究結(jié)果

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引導(dǎo)學(xué)生自主探究并完成平行線任務(wù)，拓展思考平行線間多折點問題產(chǎn)生的角的數(shù)量關(guān)系變化

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學(xué)生能順利地將多折點的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題進行解決

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表1

折點的個數(shù)圖中角的個數(shù)形成的各角之間的數(shù)量關(guān)系123…n

通過上述教學(xué)片段，筆者發(fā)現(xiàn)只有引導(dǎo)學(xué)生自主探索得出結(jié)論，提升其動手、識圖、獨立思考能力，讓學(xué)生體會化歸思想，才能使不同層次的學(xué)生都有收獲

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(四)開放性問題探究，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

開放性問題的解題過程蘊含更多的創(chuàng)造性，對考查學(xué)生的創(chuàng)造、想象和探索能力有獨特的作用

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教學(xué)片段5

圖14

如圖14，已知

AB

∥

CD

，點

M

、

N

分別在

AB

、

CD

上，點

P

是平面內(nèi)的一個動點，且點

P

不在

AB

、

CD

、

MN

上，聯(lián)結(jié)

MP

、

NP

，請?zhí)骄俊?p>P

與∠

AMP

、∠

CNP

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．這道幾何探索題激起了學(xué)生的探究興趣，學(xué)生通過自主探索發(fā)現(xiàn)問題的思維和方法，利用幾何畫板得出點

P

的可能位置

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三、 經(jīng)驗與總結(jié)

通過上述教學(xué)實施案例的情境創(chuàng)設(shè)、核心問題和體驗式活動的引領(lǐng)，學(xué)生借助添加平行線和構(gòu)造截線，利用三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合化歸的數(shù)學(xué)思想，將未知轉(zhuǎn)化為已知

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上述幾種方法的區(qū)別在于運用的知識點和構(gòu)圖不同

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在解決平行線的相關(guān)問題時，截線與平行線總是如影隨行

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當(dāng)出現(xiàn)平行線時，需要添加截線，當(dāng)出現(xiàn)截線時，則需要去尋找平行線，從而利用平行線間同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的運算關(guān)系解決問題

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筆者回顧總結(jié)這節(jié)課的磨課過程、專家評課意見、課后學(xué)生反饋數(shù)據(jù)，受到很大啟發(fā)

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教學(xué)中，如果通過創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)置數(shù)學(xué)體驗活動引入核心問題，再補充子問題進行完善，找到合適的支點，就能推動學(xué)生主動地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，走向高效

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這個支點就是新的知識邏輯發(fā)展與學(xué)生思維發(fā)展的契合處

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找到它的前提是要把握數(shù)學(xué)知識與學(xué)生思維的本質(zhì)，用好它的關(guān)鍵就是在此基礎(chǔ)上巧妙創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生特點的數(shù)學(xué)體驗活動

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讓數(shù)學(xué)活動立足于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，緊扣住學(xué)生的思維本質(zhì)，從而創(chuàng)設(shè)合適的體驗活動

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筆者創(chuàng)設(shè)體驗活動，讓學(xué)生自主探究、思考辨析、合作交流、歸納總結(jié)

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如在學(xué)生自主探索平行線間角關(guān)系的規(guī)律時，利用直觀圖形，每個學(xué)生都在Pad上通過GeoGebra幾何軟件測量平行線間三個角的大小，然后建立這三個角之間的聯(lián)系，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、測量、計算，最后通過推理論證觀點的正確性

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解決這一問題的經(jīng)驗與方法是讓學(xué)生充分體驗與摸索，這是進一步探究的基礎(chǔ)

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再如學(xué)生在小組合作運用平行線性質(zhì)、定理構(gòu)造平行線與截線設(shè)計方案時，在使用Pad作圖及計算機演示的過程中，學(xué)生已經(jīng)在思考如何證明結(jié)論的正確性，但是學(xué)生一致認為根據(jù)現(xiàn)有的平行線性質(zhì)、定理無法證明這道題

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因此，有學(xué)生提出能否通過添加輔助線解決問題，而如何添加輔助線是本題的難點，也是本節(jié)課的重點

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為了讓學(xué)生自主解決問題，教師通過設(shè)立核心問題，再輔以體驗式活動，開拓學(xué)生的思維

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從這次公開課中，筆者了解到對于探究課教學(xué)，通過創(chuàng)設(shè)情境激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展十分必要，感悟到尋找學(xué)生從“被動”變“主動”的支點的重要性

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