張薇

【摘要】章引言課是一個章節(jié)教學(xué)的開始，能幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的“大觀念”，引導(dǎo)學(xué)生像“數(shù)學(xué)家一樣思考”，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的良好構(gòu)建.所謂大單元教學(xué)，是以主題為線索，對教材進行重組整合，以指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)為主線，進行連續(xù)單元教學(xué)的教學(xué)模式.三角函數(shù)引言課是對學(xué)生深度學(xué)習(xí)的一次研究與實踐，目的在于落實學(xué)生的主體地位，形成有助于未來發(fā)展的核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】章引言;核心素養(yǎng);深度學(xué)習(xí);大單元教學(xué);數(shù)學(xué)史

2019年10月，筆者參加了由省教研室舉辦的高中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)，本期培訓(xùn)與往期最大的區(qū)別在于由多位教師對《三角函數(shù)引言課》同題異構(gòu).筆者有幸參加并展示課例，在磨課、上課、評課中，收獲良多，現(xiàn)呈現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計與教后反思.

一、教學(xué)目標及重點難點

（一）教學(xué)目標

（1）從大量生活實例中體會周期現(xiàn)象的普遍性;

（2）以圓周運動為例，探究周期現(xiàn)象的運動規(guī)律，在探究表示周期現(xiàn)象數(shù)學(xué)模型的過程中體會角的擴充和弧度制擴充的合理性;

（3）培養(yǎng)學(xué)生從已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗來研究新的問題的能力;

（4）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象及數(shù)學(xué)建模的能力.

（二）教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：構(gòu)建三角函數(shù)模型;

教學(xué)難點：感悟x，y，r，α，l之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而利用這些量的聯(lián)系進行角的擴充及弧度制的引入.

二、教學(xué)實錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

日出日落，月圓月缺，潮起潮落……自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，這種按一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象.

問題1 你能舉一些生活中具有周期現(xiàn)象的例子嗎？

生：手表的運動，日歷的周而復(fù)始，星期一到星期日的重復(fù)，生肖的輪回，摩天輪的運動……

師：能否概括一下它們的特征？

生：每隔一定的時間會重復(fù)出現(xiàn).

問題2 摩天輪上一點P按怎樣的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)？用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫呢？

物理中，勻速直線運動用一次函數(shù)模型來刻畫位移與時間的關(guān)系，勻加速直線運動用二次函數(shù)來刻畫位移與時間的關(guān)系，指數(shù)函數(shù)刻畫了數(shù)據(jù)的指數(shù)爆炸.今天我們學(xué)習(xí)能刻畫這類具有周而復(fù)始現(xiàn)象的函數(shù)——三角函數(shù).

反饋評價：興趣是最好的老師.在大量實際生活中感受周期現(xiàn)象周而復(fù)始的運動規(guī)律，從摩天輪運動中抽象出一般的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與直觀想象的能力.

（二）轉(zhuǎn)換背景，形成概念

問題3 摩天輪的半徑為r，做勻速圓周運動.點P在運動過程中，從數(shù)學(xué)角度怎樣刻畫點P的位置？

反饋評價：學(xué)生動手探究并相互討論，展示成果，得到了三種方法：分別用（x，y）、（r，α）、 （l，r）來表示點P，在展示過程中發(fā)現(xiàn)不足，并對現(xiàn)有的方案進行修正.學(xué)生積極參與到知識的探究中，發(fā)現(xiàn)問題并及時進行修正，從而打破已有知識體系，對已有知識進行拓展延伸，體會了“像數(shù)學(xué)家一樣去思考”的過程，體會到了成功的喜悅.

師：對于用坐標表示我們非常熟悉，我們知道坐標與點是一一對應(yīng)的關(guān)系.那么用（r，α）表示點的位置是否合理？

生：有點問題，表示的點不唯一.

師：你覺得怎樣才能準確刻畫點的位置？

生：可以加上旋轉(zhuǎn)的方向，用順時針旋轉(zhuǎn)α或者逆時針旋轉(zhuǎn)α來刻畫.

師：我們發(fā)現(xiàn)初中時候?qū)W過的角的范圍0°～360°已經(jīng)不再適用，我們需要對角的范圍進行擴充.初中的時候我們是怎么定義角的呢？

生：初中時，我們定義角為從一點出發(fā)的兩條射線所形成的幾何圖形，范圍為0°～360°.

問題4 請你給我們現(xiàn)在所需要的角一個定義.

生：射線OA繞頂點O旋轉(zhuǎn)所形成的角.

師：那怎么解決剛剛旋轉(zhuǎn)90°所形成的角？

生：按不同的旋轉(zhuǎn)方向分逆時針旋轉(zhuǎn)所成的角和順時針旋轉(zhuǎn)所成的角.

師生總結(jié)任意角的定義.

反饋評價：學(xué)生通過探究與討論，發(fā)現(xiàn)點的不同表示方式，并對不同表示方法探究合理性，這是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，拓寬了學(xué)生思維的寬度與廣度.數(shù)學(xué)的發(fā)展很多時候是在已有知識無法解決新問題的情況下對舊體系的不斷擴張延伸，從而產(chǎn)生新知的過程.

（三）深度研究，全面構(gòu)建

問題5 我們用（x，y）和（r，α）刻畫了點的位置，那（x，y）與（r，α）有何關(guān)系？你能用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫這兩者之間的聯(lián)系？

生：過點P作PH⊥x軸，則sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx.

師：你是如何想到的？

生：放在直角三角形中.

師：sin α，cos α，tan α之間又有何關(guān)系？

生：sin2α+cos2α=1，tan α=sin αcos α.

師：此時α的范圍應(yīng)該是0°～90°.sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx能否看成關(guān)于α的函數(shù)？

生：是函數(shù)，因為每一個α對應(yīng)唯一的函數(shù)值.

師：請你回憶一下函數(shù)的定義.

生回憶并描述，發(fā)現(xiàn)定義域是角度，不是實數(shù)，所以發(fā)現(xiàn)問題，需要引入一個新的度量單位來衡量角度.

師：這個角度的重新度量，你覺得和誰有關(guān)系？

生：與轉(zhuǎn)過的角度有關(guān).

師：這就是我們前面所提的（r，l）與（r，α）之間的關(guān)系，你能給這種度量單位起個名字嗎？

生：既然與弧長有關(guān)，我們就稱為弧度制.

師：非常好，這樣我們就重新度量了角.

反饋評價：弧度制引入的必要性可以從兩方面說明：（1）從初中三角函數(shù)切入，讓新知與舊知發(fā)生聯(lián)系，引發(fā)矛盾.從函數(shù)的定義入手，引發(fā)角度值與實數(shù)的矛盾，從而產(chǎn)生重新度量角的需要.（2）歷史上三角函數(shù)的引入是為了天文學(xué)上簡化計算，弧度制的引入是因為角度制會引發(fā)計算的煩瑣，為了計算簡便引入了弧度制.所以教師在課上可以舉幾個例子，讓學(xué)生體會角度值的計算較為煩瑣，從而產(chǎn)生要簡化運算的強烈愿望.

師：弧度制與實數(shù)是一一對應(yīng)的.既然我們已經(jīng)把角拓展到了任意角，顯然我們也可以將三角函數(shù)拓展到任意角的三角函數(shù).

師：角α的終邊繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一圈、二圈、三圈……得到的角β與α有何聯(lián)系？

生：β=α+k·360°，三角函數(shù)值相等.

師：你能用數(shù)學(xué)符號表示嗎？

生：sin（α+360°）=sin α，cos（α+360°）=cos α，tan（α+3600）=tan α.

師：這個公式我們稱之為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，后面我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)過不同的角度對應(yīng)的三角函數(shù)的關(guān)系.在這個公式中，我們體會到了數(shù)學(xué)語言的魅力.

師生共同總結(jié)：我們得到了刻畫周而復(fù)始現(xiàn)象的函數(shù)——三角函數(shù).以后我們需要研究函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖像等.

師：我們說三角函數(shù)是描述周而復(fù)始的現(xiàn)象，所以它具有周期性，你現(xiàn)在能從函數(shù)的角度來描述這一周而復(fù)始的現(xiàn)象嗎？

生：當角的終邊繞過一圈后所對應(yīng)的函數(shù)值是一樣的時，也就是具有周期性.

生：終邊相同的角三角函數(shù)值是相同的.

師：至此，我們就用三角函數(shù)的模型來刻畫圓周運動這一周而復(fù)始的運動.我們發(fā)現(xiàn)談到轉(zhuǎn)一圈、兩圈等整數(shù)圈的時候?qū)?yīng)的三角函數(shù)值是不變的，那終邊轉(zhuǎn)半圈、四分之一圈時的三角函數(shù)值又會有哪些變化，這是我們之后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

師：在學(xué)習(xí)的過程中，因為初中所學(xué)的角度不能解決現(xiàn)有的問題，引入了任意角的概念;因為函數(shù)定義和簡化運算的需要，引入了新的度量角的單位;因為角的重新定義，對三角函數(shù)進行再一次的定義.數(shù)學(xué)發(fā)展是曲折的，很多問題從提出到解決往往要經(jīng)歷好幾個世紀，才能構(gòu)造新的體系來解決問題，比如微積分的創(chuàng)立、數(shù)系的擴充.

反饋評價：引導(dǎo)學(xué)生思考從生活中數(shù)系是怎么擴充的，從數(shù)學(xué)內(nèi)部數(shù)系又是怎么擴充的，讓學(xué)生再次體會數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，樹立解決問題的信心和勇氣.

三、回顧與反思

（一）為何要上引言課

所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.在這個過程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識，理解學(xué)習(xí)的過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀;成為既具有獨立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神、基礎(chǔ)扎實的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會歷史實踐的主人.[1]

引言課的主要目的是在學(xué)科的分支的第一節(jié)課上帶領(lǐng)學(xué)生“游花觀景”，向?qū)W生介紹為什么要學(xué)習(xí)該章節(jié)的內(nèi)容（Why）;通過一些簡單有趣典型的例子揭示學(xué)習(xí)的主要知識脈絡(luò)及思想方法，即學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容（What）與從什么方向來研究這些內(nèi)容（How）.一言以蔽之：了解過去，展望未來，激發(fā)興趣;一斑窺豹，充滿期待，再創(chuàng)輝煌[2].引言課數(shù)學(xué)大單元教學(xué)，給學(xué)生提供了一種新型的研究問題以及學(xué)習(xí)的方式，在傳統(tǒng)的零碎的知識上首先有個大概的框架，接下來就是自主完善框架的過程.在這樣的引導(dǎo)下，學(xué)生就有了自己去探究未知問題的意識，并能領(lǐng)會到探究未知世界的樂趣.利用章引言課搭建的學(xué)科基本結(jié)構(gòu)將更為完整，更利于學(xué)生深刻理解概念及其相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的“大觀念”，引導(dǎo)學(xué)生像“數(shù)學(xué)家一樣思考”，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的良好構(gòu)建，形成有助于未來發(fā)展的核心素養(yǎng).

（二）怎樣上好引言課

大單元教學(xué)著眼于一個“大”字.首先體現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容的“大”，教學(xué)內(nèi)容不再局限于單篇單節(jié)內(nèi)容，而是對一個章節(jié)或一個主題內(nèi)容的整合再現(xiàn)的過程，注重知識的生成，重視學(xué)生當下學(xué)習(xí)的內(nèi)容與前后所學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系;其次體現(xiàn)在教學(xué)視野的“大”，教學(xué)不再只盯著書本知識與考點，而是拓展到課外的學(xué)習(xí)與生活，注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，與歷史的聯(lián)系，實現(xiàn)文化育人的目的.

引言課要盡量挖掘即將學(xué)習(xí)的這一章節(jié)中既具有典型性、趣味性、藝術(shù)性等人文價值，又能體現(xiàn)主要內(nèi)容和思想方法的元素，以調(diào)動學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生對新課的向往.本節(jié)課中由生活場景切入，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，同時由學(xué)生合作的問題中產(chǎn)生的認知沖突，調(diào)動了學(xué)生思考的主動性，產(chǎn)生解決問題的迫切要求.

大單元教學(xué)對學(xué)生和老師都是一個挑戰(zhàn).對學(xué)生而言，需要從整體把控學(xué)習(xí)內(nèi)容，掌握學(xué)習(xí)方法，構(gòu)建屬于自己的知識體系，對重點內(nèi)容進行深度加工;對老師而言，對單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容及重難點的把控是最基本的要求，更要弄清要教什么、哪些內(nèi)容要重點教、哪些內(nèi)容不要教、哪些內(nèi)容拓展地教，只有研究清楚授課內(nèi)容，才能把時間放在真正需要重點關(guān)注的關(guān)鍵內(nèi)容上，幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系.

郭華老師說：“過去用‘跳一跳摘桃子’來描述學(xué)生的‘最近發(fā)展區(qū)’，實際上是極大地低估了學(xué)生可能達到的未來水平，也極大地降低了教師應(yīng)該對學(xué)生學(xué)習(xí)所起到的幫助作用.學(xué)生的未來水平或教學(xué)要幫助學(xué)生實現(xiàn)的發(fā)展水平應(yīng)該確定為：無論學(xué)生自己怎么跳都‘夠不著’，但在教師的幫助下學(xué)生能‘夠得著’，這樣才能極大地激發(fā)學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性.”[4]在省骨干教師培中，多位教師對本節(jié)內(nèi)容同題賽課，學(xué)生的反饋也各有不同，部分學(xué)生感覺沒有學(xué)到什么東西，或者太難，或者太模糊，導(dǎo)致沒有收獲.

教之道在于度，學(xué)之道在于悟.講多了那就是灌輸，將一章節(jié)的內(nèi)容一節(jié)課講完，那就只能灌輸;講少了學(xué)生覺得什么都沒有學(xué)到，也不知道研究的方向和意義;講沒趣了學(xué)生覺得難受，沒有研究的興趣……怎樣把握這個度？怎樣引起學(xué)生學(xué)習(xí)這個章節(jié)的興趣？怎樣幫助學(xué)生突破難點，達到本不能達到的高度？這就需要教師、要求教師要認真鉆研教材，精心設(shè)計問題，激發(fā)認知沖突，搭起知識框架，以淺顯的例子說明道理，以思想和文化引領(lǐng)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正體會深度學(xué)習(xí)的過程.

（三）本節(jié)課的幾點改進措施

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》指出：數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育的功能，重視數(shù)學(xué)實踐和數(shù)學(xué)文化.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，在數(shù)學(xué)和人文之間架起一座橋梁，在德育上可以發(fā)揮獨特的優(yōu)勢.基于這個理念對本課提出幾點改進措施.

改進1 引入周期現(xiàn)象的時候加入文化背景：最先描述的周期現(xiàn)象都與時間有關(guān).例如，由任何一天離開子午線，直至第二天返回同一子午線的時間間隔被稱為太陽日，太陽日是一種自然界中可以被觀察到的周期現(xiàn)象;月份是月亮重新回到剛升起時那一點所需經(jīng)歷的周期，由27天組成.在萌芽階段，數(shù)學(xué)家大多從天體的運動規(guī)律出發(fā)來研究周期現(xiàn)象.

改進2 在研究三角函數(shù)的性質(zhì)時，強調(diào)三角函數(shù)具有周期性，引入數(shù)學(xué)家對周期函數(shù)的探索過程，加深學(xué)生的印象，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感.

1904年，泰勒指出：“由于角度的增大，每一個三角函數(shù)反復(fù)出現(xiàn)相同系列的值，因為稱這些函數(shù)為三角函數(shù).”

1909年，格蘭維爾稱：“當角速度增加或減小時，每一個三角函數(shù)反復(fù)經(jīng)過同樣系列的值，故稱其為周期函數(shù).”

在課堂中我們能與先哲的想法遙相呼應(yīng)，也是很有意思的事.

弗賴登塔爾（H.Freudenthal）說數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”.教學(xué)中，我們應(yīng)當幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)家的思維思考問題，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以激發(fā)學(xué)生的興趣，跨越時空的思想交流，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)、樹立學(xué)習(xí)的自信心，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)生正確認識數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動的本質(zhì).

知識是數(shù)學(xué)思想和方法的載體.我們需要幫助學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解，這包括知識的本身，更重要的是通過知識，理解數(shù)學(xué)的思想和方法.上好數(shù)學(xué)引言課，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，有助于保持對數(shù)學(xué)的興趣，給予數(shù)學(xué)人文的一面，有助于學(xué)生理解新知識并對即將要學(xué)習(xí)的知識有一個總體的把控，對知識間的聯(lián)系有更清楚的認識，調(diào)動學(xué)習(xí)新知識的積極性.

【參考文獻】

[1]郭華.深度學(xué)習(xí)及其意義[J].課程 教材 教法，2016（11）：25-32.

[2]文衛(wèi)星.解析幾何引言教學(xué)實錄——兼談磨課[J].數(shù)學(xué)通報，2016，55（6）：34-38.

[3]文衛(wèi)星.“三度”視角下的引言課[J].數(shù)學(xué)通報，2018（1）：20-22.

[4]郭華.如何理解“深度學(xué)習(xí)”[J].四川師范大學(xué)學(xué)報，2020，47（1）：89-95.

[5]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準[M].北京：人民教育出版社，2020.