王 植，王 賓，張慧芬

（1.濟(jì)南大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022；2.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備安全控制和仿真國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室（清華大學(xué)電機(jī)系），北京 100084）

0 引言

隨著我國(guó)城市化進(jìn)程的加快，城市規(guī)模不斷擴(kuò)大，電力需求呈高速增長(zhǎng)的趨勢(shì)[1-2]，電纜在城市電網(wǎng)中的覆蓋率逐年提高[3]。電纜一般敷設(shè)于地下，如果發(fā)生故障，故障點(diǎn)難以查找，通過測(cè)距精準(zhǔn)確定故障點(diǎn)位置，可提高供電可靠性。行波法是故障測(cè)距的一種主流方法，選用行波法進(jìn)行測(cè)距，需對(duì)電纜進(jìn)行解耦。

Clarke變換矩陣[4]和 Karenbauer變換矩陣等傳統(tǒng)的解耦矩陣只考慮了線芯之間的電磁耦合，僅適用于架空線路。結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電纜不僅有線芯，還有金屬護(hù)套和鎧裝層，只考慮線芯之間的電磁耦合會(huì)影響電纜的測(cè)距精度，甚至讓測(cè)距失效。

擴(kuò)展的Clarke變換矩陣將金屬護(hù)套和鎧裝層視為一個(gè)整體，考慮了線芯與金屬護(hù)套和鎧裝層之間的電磁耦合，但固定的Clarke變換矩陣不能隨頻率變化。本文分析傳統(tǒng)擴(kuò)展Clarke變換矩陣的不足，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)的Clarke變換矩陣隨頻率發(fā)生改變，在固定頻帶下可達(dá)到更好的測(cè)距效果，滿足電纜的測(cè)距需要。

1 電纜的敷設(shè)方式及解耦需求

在實(shí)際的配電網(wǎng)中，電纜的敷設(shè)方式通常分為直埋敷設(shè)、排管敷設(shè)、電纜溝敷設(shè)和隧道敷設(shè)4種[5]。當(dāng)電纜的敷設(shè)方式為直埋和排管時(shí)，各相電纜之間被土壤填充，可歸為同一類進(jìn)行分析。

直埋電纜的排列方式有品字排列、豎直排列、水平排列和直角排列4種[6]。在實(shí)際工程中，使用最多的排列方式為品字排列和水平排列。配網(wǎng)電纜的各相線芯、金屬護(hù)套之間存在電磁耦合，其故障暫態(tài)分析復(fù)雜。傳統(tǒng)的解耦矩陣只考慮了各相線芯之間的耦合關(guān)系，沒有考慮其與金屬護(hù)套之間的耦合關(guān)系，解耦不徹底。當(dāng)應(yīng)用于行波測(cè)距時(shí)，如果算法的靈敏性過高，可能誤判行波的到達(dá)時(shí)刻，會(huì)進(jìn)一步造成各模量波速計(jì)算不準(zhǔn)確，影響測(cè)距結(jié)果。

2 傳統(tǒng)Clarke變換存在的問題

三相單芯電纜6種傳輸模量具體為導(dǎo)體同護(hù)層之間的3個(gè)同軸模量即模量4、模量5和模量6，護(hù)層之間的2個(gè)護(hù)層模量即模量2和模量3，護(hù)層同大地之間的1個(gè)接地模量即模量1。傳統(tǒng)Clarke擴(kuò)展矩陣模量示意圖如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)Clarke擴(kuò)展矩陣模量示意圖

模量1：各相電流經(jīng)過金屬護(hù)層并從大地返回，類似于架空線路的零序模量，其傳輸速度最低且衰減系數(shù)最大。

模量2和模量3：對(duì)應(yīng)于金屬護(hù)套層-金屬護(hù)套層回路，在一個(gè)金屬護(hù)套層中流動(dòng)的電流從其他相的一個(gè)或兩個(gè)金屬護(hù)套層中返回。

模量4：相同的電流注入各相的線芯，并從相應(yīng)的金屬護(hù)層中返回，具有零序模量的性質(zhì)。

模量5：在中間相的線芯注入電流，從一邊相的線芯中流出一半，從另一邊相的線芯中流出另一半。

模量6：在邊相的線芯中注入電流，從另一邊相的線芯中返回，其模量的表現(xiàn)類似于模量5。

傳統(tǒng)的Clarke擴(kuò)展矩陣在計(jì)算中將線芯或者金屬護(hù)套的自阻抗視為同一數(shù)值，未考慮埋藏深度對(duì)線芯或阻抗的影響，埋藏深度同時(shí)影響兩相電纜的線芯之間的互阻抗，從而影響解耦效果。

3 Clarke解耦矩陣的改進(jìn)

為了對(duì)電纜線路進(jìn)行解耦，必須確定電纜多導(dǎo)體間的電磁耦合關(guān)系[7]。

電纜的典型結(jié)構(gòu)如圖2所示，包括線芯，內(nèi)絕緣層，金屬護(hù)套層，外絕緣層4層[8]。

圖2 電纜的典型結(jié)構(gòu)

本文分析的電纜敷設(shè)方式為品字排列的直埋電纜，每相電纜有兩個(gè)導(dǎo)體，三相電纜共6個(gè)導(dǎo)體，相應(yīng)的配電網(wǎng)三相電纜的阻抗矩陣Z、導(dǎo)納矩陣Y為6階方陣。

阻抗矩陣Z的第一行到第六行和第一列到第六列分別對(duì)應(yīng)電纜A相、B相和C相的線芯及A相、B相和C相的金屬護(hù)套層。阻抗矩陣Z中的元素Zmn代表不同類型的阻抗：三相中某一相的線芯自阻抗、三相中某一相的金屬護(hù)套自阻抗、三相中其中兩相之間的線芯互阻抗、三相中其中兩相之間的金屬護(hù)套互阻抗、三相中不同相金屬護(hù)套與線芯之間的互阻抗。

同理，導(dǎo)納矩陣Y中的元素Ymn代表不同類型的導(dǎo)納：三相中某一相的線芯自導(dǎo)納、三相中某一相的金屬護(hù)套自導(dǎo)納、三相中其中兩相之間的線芯互導(dǎo)納、三相中其中兩相之間的金屬護(hù)套互導(dǎo)納、三相中不同相金屬護(hù)套與線芯之間的互導(dǎo)納。當(dāng)頻率達(dá)到5 kHz時(shí)，線芯和金屬護(hù)套之間的互阻抗ZRD與金屬護(hù)套的自阻抗ZDD相差較小，接近于相等，在運(yùn)算過程中將二者作相等處理[9]。

本文將線芯的自阻抗視為不同數(shù)值，用ZRR和ZRR′加以區(qū)分；將金屬護(hù)套的自阻抗視為不同數(shù)值，用ZDD和ZDD′加以區(qū)分；將兩相電纜的線芯之間的互阻抗也視為不同數(shù)值，即Z1和Z2。

類比架空輸電線路，列寫電纜傳輸方程如下：

左右兩邊求微分，改寫為二階微分方程：

引入矩陣S和矩陣Q，經(jīng)過S和Q的運(yùn)算獲得模量電壓和模量電流[10]：

S和Q可將ZY矩陣和YZ矩陣對(duì)角化，即：

可見，電纜解耦的實(shí)質(zhì)是尋找兩個(gè)實(shí)矩陣S和Q使得ZY和YZ分別能夠相似對(duì)角化。另外，如果取S=Q-T，則：

由此可知，當(dāng)計(jì)算得到ZY矩陣的特征矩陣Q后，也可以得到矩陣S，其為Q的逆轉(zhuǎn)置，ZY矩陣的形式如下：

此時(shí)引進(jìn)矩陣K：

式中，I為三階單位矩陣，O為三階零矩陣，利用矩陣K對(duì)矩陣ZY進(jìn)行處理，得到如下形式：

用公式（13）將ZY矩陣轉(zhuǎn)化為分塊矩陣的形式：

對(duì)P1和P2分別對(duì)角化，即可對(duì)ZY矩陣對(duì)角化，觀察P2矩陣可以發(fā)現(xiàn)，P2有如下形式：

此時(shí)：

求得P2的特征值為：

P2的特征矩陣為：

矩陣P1為對(duì)角陣，乘以任意的可逆矩陣都可以對(duì)角化。設(shè)P1的特征矩陣T1為-T2，則電壓相模變換矩陣S為：

在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)，Z和Y均為復(fù)數(shù)矩陣，所以通過計(jì)算得出的對(duì)角化矩陣Q和S也是復(fù)數(shù)矩陣，這給后續(xù)的計(jì)算和分析帶來很多不便。矩陣Q和矩陣S虛數(shù)部分的值很小，將矩陣進(jìn)行歸一化后，略去較小的虛數(shù)，可以得到一個(gè)實(shí)數(shù)的解耦矩陣。實(shí)數(shù)解耦矩陣與復(fù)數(shù)解耦矩陣相比，對(duì)解耦產(chǎn)生的影響微乎其微，但可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算，實(shí)數(shù)化的公式如下：

將ZY矩陣的復(fù)數(shù)形式的對(duì)角化矩陣記作：

上式中real函數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)矩陣取其實(shí)部，max函數(shù)取最大值完成歸一化的目的，最后按照公式（20）計(jì)算出矩陣S，進(jìn)而計(jì)算得到電壓模量矩陣和電流模量矩陣。改進(jìn)解耦矩陣模量示意圖如圖3所示。

圖3 改進(jìn)解耦矩陣模量示意圖

可見模量3和模量6的表達(dá)式和傳統(tǒng)的Clarke擴(kuò)展矩陣并無區(qū)別，這是因?yàn)锳相和C相的模量參數(shù)和傳統(tǒng)的Clarke擴(kuò)展矩陣相同，二者在同一埋藏深度。相比于傳統(tǒng)的Clarke擴(kuò)展矩陣，模量1和模量4的傳輸路徑并沒有發(fā)生改變，不過傳輸數(shù)值發(fā)生了改變，A相流過大地的電流為I，B相通過大地的電流略微減小，其減小的數(shù)值與A相流過大地的電流的比例為x。相比于傳統(tǒng)的Clarke擴(kuò)展矩陣，模量2和模量5的B相傳輸?shù)碾娏鞣蛛x了很小的一部分通過大地傳輸，使其具有了一定零模的性質(zhì)。

4 仿真分析

本文利用PSCAD軟件對(duì)電纜進(jìn)行仿真分析，其敷設(shè)方式如圖4所示。由圖4可見，各相之間的距離均為0.5 m，A相和C相的埋藏深度相同，均為1.433 m，B相的埋藏深度為1 m。電纜的原始參數(shù)如表1所示。

圖4 電纜的敷設(shè)方式

表1 電纜的原始參數(shù)

在170 kHz時(shí)電纜解耦之前的阻抗矩陣為：

假如按照傳統(tǒng)的Clarke擴(kuò)展矩陣進(jìn)行解耦，則 得到的解耦后的矩陣為：

經(jīng)過復(fù)數(shù)解耦矩陣運(yùn)算得到的結(jié)果為：

可見，第一行第二個(gè)元素、第二行第一個(gè)元素、第三行第一個(gè)元素、第三行第二個(gè)元素都明顯減小，說明改進(jìn)的解耦方法對(duì)阻抗矩陣的解耦效果更好。解耦矩陣實(shí)數(shù)化后得到的矩陣為：

可見，將解耦矩陣實(shí)數(shù)化后對(duì)解耦效果產(chǎn)生的影響很小，可以忽略不計(jì)。

5 結(jié)語

本文對(duì)配電網(wǎng)電纜解耦方法進(jìn)行研究，考慮埋藏深度的影響，將線芯或者金屬護(hù)套的自阻抗及兩相電纜的線芯之間的互阻抗視為不同值，根據(jù)電纜在不同頻率下的參數(shù)設(shè)計(jì)不同的解耦矩陣，可以實(shí)現(xiàn)10-4量級(jí)的解耦，解決了傳統(tǒng)解耦矩陣在電纜解耦方面解耦不徹底的問題。