薛維順，李秀蘭

（1.山西晉中理工學(xué)院，山西晉中 030600；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

關(guān)鍵字：抽象矩陣；可逆；特征值；特征多項(xiàng)式

矩陣的逆是高等代數(shù)和線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念[1-2]。抽象矩陣的運(yùn)算一直是廣大學(xué)者關(guān)注的一個(gè)重點(diǎn)[3-7]。而抽象矩陣的逆矩陣求法是教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)抽象實(shí)矩陣可逆性的探討，總結(jié)出一些求抽象矩陣逆矩陣的方法。有助于教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)。

1 定義法

設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得AB=BA=E成立，則稱矩陣A可逆，矩陣B是A的逆矩陣，記作A-1=B。

抽象矩陣的逆矩陣求法，對(duì)逆矩陣的靈活應(yīng)用有較高的要求。特別對(duì)學(xué)生而言，這類題目相對(duì)較難，較難入手。

例1已知A,B,A+B均為n階可逆方陣，證明A-1+B-1也可逆。

證明由于因此A-1+B-1可逆。

上述的證明利用了(AB)C=A(BC)的矩陣性質(zhì)，并利用逆矩陣的定義進(jìn)行了證明。在實(shí)際解題中可將結(jié)論作為一般的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)用，來(lái)解決這一類逆矩陣的求解。

2 利用可逆矩陣的性質(zhì)

在抽象矩陣的逆矩陣求解過(guò)程中經(jīng)常會(huì)利用可逆矩陣的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，經(jīng)常用到的公式為

例2A為n階可逆方陣，且 |A|=λ1。證 明(λ2A)-1-λ3A*也可逆，其中λ2≠0,

證明因?yàn)锳為n階可逆方陣，所以AA*=|A|E。等號(hào)兩端同時(shí)左乘A-1得，A*=|A|A-1=λ1A-1。

由此可得

這類逆矩陣的求解經(jīng)常會(huì)結(jié)合行列式的性質(zhì)|kA|=kn|A|來(lái)考查。在運(yùn)算過(guò)程當(dāng)中一定不能將|kA|與k|A|混淆。

3 利用“湊因式”

這種方法相對(duì)簡(jiǎn)單，處理的核心思想就是“湊”。將要求解的逆矩陣作為“核心”來(lái)湊出題設(shè)所給的條件，從而求解出抽象矩陣的逆矩陣。

例3設(shè)B為n階方陣，滿 足B=B2。若A=B+E，求當(dāng)k≠1,2 時(shí)，A-kE可逆，并確定AkE的逆矩陣。

解由B=B2可得，

要使A-kE可逆，則必須有(k2-3k+2)E≠O,即k2-3k+2≠0,

所以，當(dāng)k≠1,2時(shí)，A-kE可逆。

可得

(A-kE)[A+(k-3)E]=-(k2-3k+2)E，同時(shí)也確定了A-kE的逆矩陣為

在上述的證明過(guò)程中主要將A-kE看作主體，通過(guò)拼湊來(lái)實(shí)現(xiàn)題設(shè)所給的主要條件，即A2-3A。事實(shí)上，可以得到更一般的這類抽象矩陣的逆矩陣判定。能快速的判定這類矩陣的逆矩陣是否存在。在逆矩陣存在的前提下，再通過(guò)上述的方法來(lái)求逆矩陣。

例4設(shè)A為n階方陣，滿足A2+k1A+k2E=O，則有下列結(jié)論成立：

（1）若-4k2＜0，則A-kE都可逆，對(duì)任意的k都成立；

（2）若-4k2=0，則A-kE都可逆，對(duì)任意的都成立；

（3）若-4k2＞0，則A-kE都可逆，對(duì)任意的都成立。

證明

A2+k1A+k2E=(A-kE)[A+(k+k1)E]+k(k+k1)E+k2E=(A-kE)[A+(k+k1)E]+()k2+k1k+k2E，要使A-kE可逆，只需滿足k2+k1k+k2≠0即可。

當(dāng)-4k2＜0時(shí)，k2+k1k+k2≠0恒成立；

當(dāng)-4k2=0 時(shí)，只 要就能滿足k2+k1k+k2≠0成立；

當(dāng)-4k2＞0時(shí)，只要就能滿足k2+k1k+k2≠0成立。

在上述的證明方法中主要利用了一元二次方程的求解公式。這個(gè)方法雖然簡(jiǎn)單，但是在求解此類抽象矩陣的逆矩陣過(guò)程中卻是非常有效的。此結(jié)論也可以作為這類抽象矩陣逆矩陣求解的一般判定方法來(lái)進(jìn)行應(yīng)用。

4 利用分塊矩陣的運(yùn)算

例5A,B為n階方陣，若A+B與A-B可逆，證明可逆。

證明解法1：

由A+B與A-B可逆，可得可逆。

解法2：

由⑤,⑥可知C1,C3是存在的；類似地可以驗(yàn)證C2,C4也是存在的。證畢。

在利用分塊矩陣運(yùn)算過(guò)程中一定要注意矩陣的左乘和右乘是不一樣的，一般情況下AB≠BA。在計(jì)算過(guò)程中，當(dāng)遇到，其中A,C分別為r階和n階方陣時(shí)，經(jīng)常利用拉普拉斯定理求D的行列式來(lái)判定矩陣是否可逆，即 |D|=|A||C|。

5 利用矩陣的特征值

若矩陣A的特征值為λ1,λ2,…,λn，則 |A|=λ1λ2…λn[2]；當(dāng)A的特征值全不等于零時(shí)，矩陣A是可逆的。f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am是多項(xiàng)式，f(λi)(i=1,2,…,n)是f(A)的特征值。經(jīng)常利用上述矩陣多項(xiàng)式的特征值來(lái)確定矩陣是否可逆。

例6A是n階可逆方陣，是A的特征值，其中i1+i2+…+is=n。證明矩陣f(A)=Am+a1Am-1+…+am-1A+amE可逆的充分必要條件是λ1,λ2,…,λs不是多項(xiàng)式f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am的根。

證明因?yàn)锳是n階可逆方陣，故λi≠0(i=1,2,…,s)是矩陣A的特征值，則

f(λi)=+…+am-1λi+am(i=1,2,…,s) 是f(A)=Am+a1Am-1+…+am-1A+amE的特征值。要滿足f(λi)≠0(i=1,2,…,s)，只要λ1,λ2,…,λs不是多項(xiàng)式f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am的根即可。反之亦然。證畢。

6 結(jié)語(yǔ)

判定抽象矩陣是否可逆比判定具體矩陣可逆要復(fù)雜的多，而且辦法也少。判定這類矩陣可逆的題目相對(duì)較難，對(duì)學(xué)生綜合掌握知識(shí)的要求較高。在求抽象矩陣逆矩陣的過(guò)程中，同學(xué)們要善于思考并對(duì)遇到的問(wèn)題進(jìn)行歸類，從而達(dá)到事半功倍的效果。