朱冬梅, 薩楚爾夫， 蘇少龍

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

2個(gè)耦合原子與光場(chǎng)相互作用系統(tǒng)中呈現(xiàn)出的量子現(xiàn)象是量子光學(xué)研究領(lǐng)域中引人注目的研究課題之一.而這一相互作用系統(tǒng)中的量子糾纏作為一種重要的物理資源，可在量子信息科學(xué)中發(fā)揮十分顯著的作用.在實(shí)際情況中，由于真實(shí)的量子系統(tǒng)不可避免地會(huì)與環(huán)境耦合而產(chǎn)生相互作用，這種耦合作用會(huì)破壞系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)間的量子糾纏或相干性，使系統(tǒng)本身所具有的量子特性受到影響，如會(huì)導(dǎo)致退相干現(xiàn)象的發(fā)生[1]等.近年來(lái)，與環(huán)境相互作用的量子耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[2-7]是研究人員感興趣的課題之一.對(duì)于一個(gè)復(fù)合量子系統(tǒng)，可以通過(guò)考慮子系統(tǒng)之間的相互作用得到表征系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)主方程.研究發(fā)現(xiàn)，在不同環(huán)境條件下主方程演化形式存在著一定的差異[8].在不同相互作用條件下，因系統(tǒng)的主方程演化形式不同，從而導(dǎo)致不同的結(jié)果.研究結(jié)果[9-10]還表明，環(huán)境因素對(duì)量子系統(tǒng)的演化起重要作用，這意味著需要對(duì)環(huán)境因素進(jìn)行更精細(xì)的劃分，才能使所得耦合系統(tǒng)的主方程更準(zhǔn)確地表征演化過(guò)程.因此，就有關(guān)問(wèn)題分類(lèi)從而進(jìn)行細(xì)致的研究是十分必要的.

目前人們對(duì)量子系統(tǒng)可實(shí)施的調(diào)控手段和途徑越來(lái)越多，其中具有較少自由度的微小環(huán)境對(duì)所研究系統(tǒng)量子特性演化的影響，吸引了不少研究者的興趣.這些系統(tǒng)受到關(guān)注的原因主要包括：這類(lèi)耦合量子系統(tǒng)的某些物理特征量可解析表示，便于分析過(guò)程和討論結(jié)果；微小環(huán)境與所研究系統(tǒng)的耦合也可產(chǎn)生明顯的擾動(dòng)[11-13]，使系統(tǒng)的演化產(chǎn)生較明顯的變化，故利用此簡(jiǎn)單模型可深入了解環(huán)境因素對(duì)系統(tǒng)演化的影響.具體而言，考慮一個(gè)與熱環(huán)境耦合的2原子相互作用系統(tǒng)[4]的模型，假設(shè)其中原子1是孤立的，原子2與單模熱輻射場(chǎng)相互作用，這里熱輻射場(chǎng)可以起到微小環(huán)境的作用.利用這一相互作用模型，可研究在不同溫度、不同耦合強(qiáng)度下，系統(tǒng)中2原子間的量子糾纏和相干演化特性.在以往的研究中，主要考慮了初始時(shí)刻上述系統(tǒng)中2原子處于非糾纏分離態(tài)的情況；而系統(tǒng)中2原子處于糾纏態(tài)時(shí)，輻射場(chǎng)處于不同溫度、原子與輻射場(chǎng)相互作用強(qiáng)度、原子與原子相互作用強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)中原子間糾纏和相干演化的影響還未見(jiàn)報(bào)道.

本文中，筆者研究了上述系統(tǒng)中2原子處于糾纏態(tài)，在給定參數(shù)條件下，系統(tǒng)中2原子間的糾纏、相干特性和線性熵隨時(shí)間的演化特性.

1 理論模型及推導(dǎo)

討論由2個(gè)二能級(jí)原子和1個(gè)量子化熱輻射場(chǎng)所組成的系統(tǒng)，其中一個(gè)原子不與輻射場(chǎng)耦合，而另一個(gè)原子與單模輻射場(chǎng)耦合.假設(shè)原子的躍遷頻率與原子和場(chǎng)之間相互作用的共振頻率相等(ω1=ω2=ω)，則系統(tǒng)的哈密頓量可寫(xiě)為(?=1)

(1)

ρI(t)=e-iH1tρ(0)eiH1t,

(2)

ρ(0)=ρq1,q2(0)?ρf(0),

(3)

(4)

(5)

頻率為ω單模熱場(chǎng)態(tài)的光子數(shù)分布如下(T為有效溫度)：

(6)

在相互作用繪景中，系統(tǒng)的態(tài)矢演化服從薛定諤方程

(7)

此系統(tǒng)的態(tài)矢為

|ψI(t)〉=C1,n(t)|e1,e2,n-1〉+C2,n(t)|e1,g2,n〉+

C3,n(t)|g1,e2,n〉+C4,n(t)|g1,g2,n+1〉.

(8)

將上述關(guān)系式代入薛定諤方程，得到系數(shù)Cj,n的耦合微分方程組

(9)

因此系統(tǒng)的解可以表示為

(10)

矩陣元中的n表示光子數(shù)，n=1,2,3,….

求解方程組(9)，(10)，經(jīng)過(guò)較冗長(zhǎng)的計(jì)算可得以上公式中的系數(shù)表達(dá)式

(11)

其中

(12)

若初始條件滿(mǎn)足

(13)

此時(shí)幾率振幅Cj,n(t)可表示為

(14)

因此系統(tǒng)的時(shí)間演化密度算符為

(15)

通過(guò)對(duì)場(chǎng)取跡ρq1,q2(t)=Trf[ρI(t)],可將2個(gè)二能級(jí)原子系統(tǒng)的約化密度算符表示為

(16)

這種類(lèi)型的態(tài)被稱(chēng)為X態(tài)[14].

2 微小環(huán)境對(duì)系統(tǒng)中雙原子間糾纏的影響

原子與原子間的相互作用導(dǎo)致2原子間的量子糾纏效應(yīng).為度量2子系統(tǒng)之間的糾纏，Wootters引入了共生糾纏度C[15]來(lái)表征2個(gè)子系統(tǒng)之間的量子糾纏.C定義為

(17)

其中ξi是厄米矩陣M(t)的本征值，σy是泡利矩陣

(18)

共生糾纏度的取值范圍為0～1，共生糾纏度值越大，糾纏越強(qiáng).對(duì)于非糾纏態(tài)，C=0；而C=1則意味著系統(tǒng)處于最大糾纏態(tài).

由以上可知,此2原子的密度算符ρq1,q2(t)可表示為

(19)

(20)

對(duì)于X態(tài)的特殊情況，可將Λ(t)表示為

(21)

下面通過(guò)數(shù)值模擬的方法，利用初始條件以及關(guān)系式(17)～(21)，討論在給定耦合強(qiáng)度和溫度下，2原子間的共生糾纏度隨時(shí)間的變化情況.

圖1 g=0.1λ，不同時(shí)間尺度下,2原子系統(tǒng)共生糾纏度隨時(shí)間的變化曲線Fig.1 Concurrence of the Two-qubit System as a Function of Time for g=0.1λ and for Different Time-scales

圖2 g=0.5λ,不同時(shí)間尺度下,2原子系統(tǒng)共生糾纏度隨時(shí)間的變化曲線Fig.2 Concurrence of the Two-qubit System as a Function of Time for g=0.5λ and for Different Time-scales

3 雙原子系統(tǒng)的量子相干性及線性熵

3.1 量子相干性

量子相干性是量子理論中的基本概念，也是一種可以利用的資源[19].系統(tǒng)相干性可利用復(fù)合系統(tǒng)中2個(gè)原子間的約化密度矩陣的非對(duì)角元來(lái)表示，相干性的量化形式可通過(guò)定義的Cl1給出表達(dá)式

(22)

利用(22)分析有關(guān)參量對(duì)Cl1隨時(shí)間演化的影響.由圖3和圖4可見(jiàn)，演化曲線從不規(guī)則逐漸趨于穩(wěn)定，但并沒(méi)有出現(xiàn)相干為0的現(xiàn)象.對(duì)于弱耦合情形(g=0.1λ)，圖3a～c所示的相干演化曲線與量子糾纏演化曲線非常相似.隨時(shí)間的延長(zhǎng)振幅短期內(nèi)連續(xù)下降，但在后期出現(xiàn)了塌縮復(fù)原再塌縮再?gòu)?fù)原的準(zhǔn)周期行為；增大平均光子數(shù)，Cl1演化曲線整體下移，表明量子相干性減小，觀察可知函數(shù)值的取值范圍變大，即振蕩幅度變大.由圖3e可見(jiàn)，Cl1取值逐漸趨于0.9，在長(zhǎng)時(shí)間尺度圖3f中可以觀察到，演化曲線出現(xiàn)塌縮—復(fù)原現(xiàn)象，與圖3c相比，平均光子數(shù)越大，塌縮—復(fù)原的間隔時(shí)域越長(zhǎng).

圖3 g=0.1λ，不同時(shí)間尺度下，2原子系統(tǒng)量子相干隨時(shí)間的變化曲線Fig.3 Quantum Coherence of the Two-qubit System as a Function of Time for g=0.1λ and for Different Time-scales

圖4 g=0.5λ,不同時(shí)間尺度下，2原子系統(tǒng)量子相干隨時(shí)間的變化曲線Fig.4 Quantum Coherence of the Two-qubit System as a Function of Time for g=0.5λ and for Different Time-scales

由圖4可見(jiàn)，在較強(qiáng)耦合情況下(g=0.5λ)，相干退化現(xiàn)象更明顯.與圖2相比，在初始時(shí)刻，Cl1=1，相干性最強(qiáng)，整個(gè)演化過(guò)程中未出現(xiàn)完全退相干現(xiàn)象.由圖4d～f可見(jiàn)，增大平均光子數(shù)相干演化曲線下移，表明平均光子數(shù)增大使2原子相干性減小，而且無(wú)論在強(qiáng)或弱耦合條件下，在長(zhǎng)時(shí)域上(圖3e、圖4e)可觀察到相干特性隨時(shí)間的劇烈無(wú)規(guī)則振蕩行為.

3.2 第1個(gè)原子的線性熵

為研究第1個(gè)原子的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程，需求出其約化密度算符.通過(guò)對(duì)第2個(gè)原子q2和輻射場(chǎng)f取跡，可得第1個(gè)原子的約化密度算符ρq1(t)=Trq2,f[ρI(t)]，則有

ρq1(t)=ρee(t)|e1〉〈e1|+ρgg(t)|g1〉〈g1|+ρeg(t)|e1〉〈g1|+ρge(t)|g1〉〈e1|.

(23)

為了描述第1個(gè)原子狀態(tài)的純度，可引入線性熵[20]的概念.線性熵可定義為

(24)

(25)

線性熵可表示2個(gè)子系統(tǒng)之間關(guān)聯(lián)的程度，子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)越緊密糾纏也越強(qiáng).粒子數(shù)反演是與幾率振幅相關(guān)的物理量,也是原子與光場(chǎng)相互作用體系的重要特性之一，可以表示為上下兩能級(jí)間的概率之差

W(t)=ρee(t)-ρgg(t)=1-2ρgg(t).

(26)

結(jié)合以上公式，線性熵還可表示為

(27)

圖5 g=0.1λ，不同時(shí)間尺度下，2原子系統(tǒng)線性熵隨時(shí)間的變化曲線Fig.5 State Purity of the Qubit 1 as a Function of Time for g=0.1λ and for Different Time-scales

由圖5可知，在弱耦合下(g=0.1λ)，第1個(gè)原子的線性熵為0.499 5～0.500 0，振幅的變化幅度不大，在初始時(shí)刻，線性熵取最大值0.5.增大平均光子數(shù)，如圖5d～f所示，其時(shí)間演化曲線與圖5a～c相似，但振幅變化范圍縮小，振幅平均值略變大.與圖5相比，在強(qiáng)耦合下(g=0.5λ)，圖6呈現(xiàn)出與之不同的變化形式，其演化過(guò)程中取值更顯不規(guī)則.由圖6a可知，在t≈0.25 s時(shí)，S(t)取極小值，隨時(shí)間的延長(zhǎng)，振幅變化無(wú)規(guī)則，在長(zhǎng)時(shí)域圖6c中可以看到，線性熵在0.455～0.500時(shí)形成劇烈無(wú)規(guī)則振蕩.當(dāng)平均光子數(shù)較大時(shí)，即圖6d～f，短時(shí)間尺度內(nèi)，在初始階段線性熵取最大值0.5，其振幅變化較小.對(duì)比圖6c與圖6f可知，平均光子數(shù)變大，線性熵的取值范圍上移.同時(shí)圖5和圖6反映出演化的共同特點(diǎn)，即隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，小微外環(huán)境對(duì)耦合系統(tǒng)的影響逐漸發(fā)揮作用，從而觀察到耦合系統(tǒng)中有關(guān)的量子特性隨環(huán)境參量的變化，小微外環(huán)境導(dǎo)致演化過(guò)程發(fā)生顯著改變.

圖6 g=0.5λ，不同時(shí)間尺度下，2原子系統(tǒng)線性熵隨時(shí)間的變化曲線Fig.6 State Purity of the Qubit 1 as a Function of Time for g=0.5λ and for Different Time-scales

4 結(jié) 論

研究了2個(gè)二能級(jí)原子系統(tǒng)與小微環(huán)境相互作用的簡(jiǎn)單模型，其中一個(gè)原子孤立，另一個(gè)原子與單模熱場(chǎng)耦合，系統(tǒng)中2原子初態(tài)處于最大糾纏態(tài)，分別討論了弱、強(qiáng)耦合作用下，場(chǎng)的平均光子數(shù)取不同值對(duì)2原子間糾纏、相干特性及線性熵的影響.結(jié)果表明：在弱耦合作用下，共生糾纏度的整體取值較大，演化過(guò)程中出現(xiàn)了振蕩的塌縮與復(fù)原再塌縮再?gòu)?fù)原的準(zhǔn)周期行為.對(duì)于強(qiáng)耦合情況，原子間糾纏明顯減弱，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，共生糾纏度表現(xiàn)出鋸齒型的劇烈振蕩行為.無(wú)論強(qiáng)、弱耦合作用，平均光子數(shù)增大時(shí)，共生糾纏度演化過(guò)程中2原子間糾纏減小.另外，在強(qiáng)耦合且平均光子數(shù)較大時(shí)，出現(xiàn)了在一定時(shí)域內(nèi)糾纏消失的情況，即量子糾纏突然死亡又再生的現(xiàn)象.觀察熱環(huán)境對(duì)系統(tǒng)相干性演化過(guò)程的影響可發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)相干特性的時(shí)間演化過(guò)程與糾纏的演化過(guò)程相似，不同之處在于沒(méi)有出現(xiàn)相干消失的現(xiàn)象，在弱耦合作用下相干性也出現(xiàn)了塌縮—復(fù)原的準(zhǔn)周期行為，在較長(zhǎng)尺度上呈現(xiàn)為不規(guī)則振蕩形式，對(duì)于強(qiáng)耦合情形，演化過(guò)程振蕩更劇烈，塌縮—復(fù)原的變化特征消失，表征系統(tǒng)相干特性的物理量平均值減小，即相干性整體減小.線性熵可表征原子態(tài)的純度，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，弱耦合作用下隨光子數(shù)的變化，線性熵取值范圍略有變化，但在強(qiáng)耦合作用下，線性熵取值范圍隨平均光子數(shù)的增加而出現(xiàn)上移.總之，系統(tǒng)耦合強(qiáng)度以及代表熱環(huán)境參數(shù)的平均光子數(shù)，對(duì)2個(gè)二能級(jí)原子系統(tǒng)的共生糾纏度、量子相干和原子的信息熵演化都會(huì)產(chǎn)生顯著的影響.