鮑建生，章建躍

（華東師范大學(xué)；人民教育出版社 課程教材研究所）

運(yùn)算是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具.從小學(xué)開(kāi)始，學(xué)生就運(yùn)用四則運(yùn)算解決各種問(wèn)題；初中階段，代數(shù)式的變形、方程的等價(jià)變換、函數(shù)表達(dá)式的構(gòu)建與賦值等都離不開(kāi)數(shù)學(xué)運(yùn)算.隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，各種算法已經(jīng)成為科學(xué)、技術(shù)、工程領(lǐng)域解決問(wèn)題的基本工具，而運(yùn)算的對(duì)象也從具體的數(shù)、字母、符號(hào)擴(kuò)展到向量、矩陣，從數(shù)值計(jì)算推廣到圖象計(jì)算，從數(shù)學(xué)對(duì)象拓展到邏輯對(duì)象，從精確計(jì)算演化到模糊計(jì)算.在大數(shù)據(jù)處理、人工智能研究中，運(yùn)算（算法設(shè)計(jì)）更是主角.可以說(shuō)，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“半壁江山”.

在我國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程中，“運(yùn)算能力”一直受到足夠的重視，并把它作為“三大能力”之一.因此，在幾乎所有的國(guó)際數(shù)學(xué)教育比較研究中，中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力始終具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì).不過(guò)，在為成績(jī)感到自豪的同時(shí)，也應(yīng)該看到我們的問(wèn)題，特別是在對(duì)運(yùn)算的內(nèi)涵、育人功能的理解上有些偏狹.我們看到，為了適應(yīng)信息化社會(huì)和人工智能時(shí)代的要求，世界各國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程紛紛調(diào)整數(shù)學(xué)運(yùn)算的側(cè)重點(diǎn)，把運(yùn)算對(duì)象和意義的理解及算法思想的培養(yǎng)作為重中之重，而把一些比較繁雜的運(yùn)算交由計(jì)算機(jī)完成，并把基于計(jì)算機(jī)軟件的數(shù)學(xué)運(yùn)算作為一種數(shù)學(xué)探究的工具.

為了順應(yīng)時(shí)代潮流，我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的要求從核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行了重新界定，明確提出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.通過(guò)運(yùn)算能力的提高，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.以此為參照，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）將“運(yùn)算能力”作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn)，并提出了統(tǒng)一的要求：

“運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力.能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問(wèn)題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題；能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.運(yùn)算能力有助于形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.”

因?yàn)椴煌瑢W(xué)段在數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)象、方法、目的等方面均有差異，所以運(yùn)算能力的層次和行為表現(xiàn)必然存在差異.下面結(jié)合初中階段的課程內(nèi)容，討論運(yùn)算能力的行為指標(biāo)，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議.

一、初中階段運(yùn)算能力的主要表現(xiàn)形式

義務(wù)教育階段的運(yùn)算能力主要涉及三個(gè)基本問(wèn)題.

（1）如何算？即對(duì)算法與運(yùn)算程序的運(yùn)用，表現(xiàn)為運(yùn)算的正確性.

（2）為什么可以這樣算？即對(duì)算理的理解，表現(xiàn)為運(yùn)算的合理性.

（3）怎樣算得更好？即對(duì)算法的優(yōu)化，表現(xiàn)為運(yùn)算的靈活性.

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算主要包括數(shù)的運(yùn)算與式的運(yùn)算.數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)算術(shù)的核心內(nèi)容，式的運(yùn)算則是初中代數(shù)的基本活動(dòng).初中階段的運(yùn)算內(nèi)容既有實(shí)數(shù)的運(yùn)算，又有代數(shù)式的化簡(jiǎn)與變形、對(duì)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)與意義的探討、列方程與不等式，以及研究函數(shù)的性質(zhì)等，其目的也不僅僅是求得運(yùn)算結(jié)果，還要對(duì)運(yùn)算結(jié)果的意義進(jìn)行解釋.因此，與小學(xué)階段相比，初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵得到了極大地拓展.

初中階段的運(yùn)算能力主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

1.理解運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算律和運(yùn)算規(guī)則的關(guān)系，進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性

在初中階段，數(shù)學(xué)運(yùn)算的一個(gè)顯著發(fā)展是運(yùn)算對(duì)象的拓展，從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算拓展到有理數(shù)和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，從數(shù)的運(yùn)算拓展到代數(shù)式的運(yùn)算.因此，運(yùn)算能力首先表現(xiàn)在對(duì)運(yùn)算對(duì)象、規(guī)則和意義的理解上.具體表現(xiàn)為如下幾個(gè)方面.

（1）理解有理數(shù)的意義和運(yùn)算法則.從兩個(gè)角度感悟?qū)⒄欣頂?shù)拓展到全體有理數(shù)的意義：一是現(xiàn)實(shí)生活的角度，源自具有相反意義的量；二是數(shù)學(xué)的角度，目的是加法的對(duì)稱(chēng)化，使得減法運(yùn)算封閉.通過(guò)有理數(shù)的擴(kuò)張過(guò)程，感悟數(shù)系擴(kuò)張過(guò)程中運(yùn)算的一致性：一方面，已有的運(yùn)算律在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然成立；另一方面，在算法上，依據(jù)運(yùn)算律可以把未知的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為已知的運(yùn)算.

（2）理解無(wú)理數(shù)的存在性和開(kāi)方運(yùn)算的意義.通過(guò)數(shù)學(xué)史，了解無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，初步感悟無(wú)理數(shù)的文化價(jià)值.理解乘方運(yùn)算與開(kāi)方運(yùn)算的關(guān)系，能夠用運(yùn)算律解釋整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.

（3）理解近似值與近似計(jì)算的意義.知道數(shù)的精確值與其近似值的區(qū)別，如，π都是無(wú)理數(shù)精確值的表示，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)可以根據(jù)需要取它們的近似值進(jìn)行計(jì)算.知道近似計(jì)算與估算的區(qū)別，初步了解運(yùn)算過(guò)程對(duì)運(yùn)算結(jié)果的精確度的影響.

（4）理解數(shù)軸的意義及其與運(yùn)算的關(guān)系，初步感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法.知道數(shù)軸是實(shí)數(shù)的基本模型，在數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；利用絕對(duì)值可以確定實(shí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，進(jìn)而確定點(diǎn)在數(shù)軸上的位置；可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系研究實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.

在初中階段，數(shù)的運(yùn)算已經(jīng)逐漸變成一種形式化符號(hào)運(yùn)算，因此，對(duì)運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算規(guī)則的理解尤為重要.通過(guò)培養(yǎng)代數(shù)運(yùn)算能力，可以幫助學(xué)生形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.

2.理解和掌握代數(shù)式的運(yùn)算和意義，能利用乘法公式與運(yùn)算規(guī)則對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)與變形

代數(shù)式運(yùn)算的形式主要是符號(hào)操作，運(yùn)算的目的主要是化簡(jiǎn)與求值.熟練運(yùn)用運(yùn)算律、運(yùn)算法則和乘法公式是提高代數(shù)運(yùn)算效率和精確性的基礎(chǔ).從數(shù)到字母、符號(hào)，再到代數(shù)式，運(yùn)算的抽象程度在逐步提高，對(duì)運(yùn)算能力的要求也相應(yīng)提高.具體表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面.

（1）理解代數(shù)式的意義與運(yùn)算法則.知道代數(shù)式不僅是數(shù)字、字母和符號(hào)的運(yùn)算結(jié)果，其本身也是代數(shù)運(yùn)算的基本對(duì)象；知道無(wú)論代數(shù)式的形式如何復(fù)雜，其本質(zhì)仍然是數(shù)，因此代數(shù)式的運(yùn)算滿(mǎn)足數(shù)的運(yùn)算律；知道許多代數(shù)式都有具體的意義，其中包括幾何意義，在現(xiàn)實(shí)情境中構(gòu)建的代數(shù)式都具有實(shí)際意義.

（2）能夠利用運(yùn)算律、運(yùn)算法則和乘法公式進(jìn)行代數(shù)式的運(yùn)算.

（3）理解代數(shù)式及其運(yùn)算的一般性.知道由于字母可以表示任意數(shù)，因此代數(shù)式及其運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果都具有一般性.在運(yùn)算過(guò)程中能夠關(guān)注一些特殊情況，如在分式的分母乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的取值不能是0，否則會(huì)使分式失去意義；在需要時(shí)能夠根據(jù)字母的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，如在化簡(jiǎn)時(shí)，能按字母a的正負(fù)性分類(lèi)表示，感悟分類(lèi)討論的思想方法.

代數(shù)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)的基本功，但由于其形式化的程度比較高，因此要注意適當(dāng)把握好運(yùn)算的復(fù)雜程度與技巧性，在強(qiáng)調(diào)理解運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算過(guò)程的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)是通過(guò)運(yùn)算解決問(wèn)題.

3.理解方程、不等式、函數(shù)中的運(yùn)算問(wèn)題，初步感悟算法思想

初中階段的代數(shù)運(yùn)算主要為處理方程、不等式、函數(shù)問(wèn)題做準(zhǔn)備，因此可以結(jié)合這些課程內(nèi)容進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力.具體表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面.

（1）理解等式基本性質(zhì)和不等式基本性質(zhì)的意義.能夠基于這些性質(zhì)對(duì)代數(shù)恒等式、方程與不等式進(jìn)行等價(jià)變換；明確等價(jià)變換的目的，其中包括化簡(jiǎn)、變不熟悉的形式為熟悉的形式、凸顯表達(dá)式的意義等.

（2）能按照一定的程序解方程與不等式，理解其中每一個(gè)步驟的意義與合理性，能根據(jù)方程和不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活運(yùn)用程序，求得結(jié)果.例如，知道解二元一次方程組的本質(zhì)是通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程；如果在方程兩邊同乘以或除以一個(gè)代數(shù)式就可能產(chǎn)生增根或者失根.

（3）理解變量與函數(shù)的意義，能通過(guò)運(yùn)算獲得函數(shù)的表達(dá)式，建立自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)與刻畫(huà)函數(shù)的性質(zhì).理解函數(shù)表達(dá)式中常量的意義，并能通過(guò)對(duì)表達(dá)式的等價(jià)變換凸顯這些意義.例如，在一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，k的符號(hào)決定函數(shù)的增減性，k的絕對(duì)值決定y隨x變化的快慢（變化率）；二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，它的形狀由a的絕對(duì)值大小確定，開(kāi)口方向由a的符號(hào)確定，可以通過(guò)配方法對(duì)表達(dá)式進(jìn)行變形，從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱(chēng)軸方程等.

（4）能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與規(guī)律，構(gòu)建方程、不等式和函數(shù)模型，通過(guò)運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題，并根據(jù)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)背景對(duì)運(yùn)算對(duì)象、過(guò)程與結(jié)果給出合理的解釋與評(píng)價(jià).

（5）初步感悟算法思想在數(shù)學(xué)和問(wèn)題解決中的意義.知道算法是通過(guò)有限的步驟解決數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的程序，這種程序通常都可以利用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn).

問(wèn)題解決過(guò)程中的數(shù)學(xué)運(yùn)算具有較高的綜合性，除了可以發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力外，還有助于數(shù)學(xué)模型觀念和應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng).

二、理解算理和運(yùn)算的一致性是提高運(yùn)算教學(xué)效率的關(guān)鍵

運(yùn)算作為數(shù)學(xué)的一種基本功，是義務(wù)教育階段的核心內(nèi)容，提高運(yùn)算能力是一個(gè)基本目標(biāo)，注重運(yùn)算技能訓(xùn)練是非常必要的，但如果訓(xùn)練量過(guò)大，對(duì)運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率的要求過(guò)高，反而不利于學(xué)生對(duì)運(yùn)算（包括運(yùn)算對(duì)象、算法、算理及其關(guān)系等）的理解，也不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.因此，提高運(yùn)算教學(xué)的有效性與效率是課堂教學(xué)應(yīng)追求的一個(gè)重要目標(biāo).

要提高運(yùn)算教學(xué)的有效性，除了提倡精致化練習(xí)外，理解算理和運(yùn)算的一致性是關(guān)鍵.

首先，通過(guò)計(jì)數(shù)活動(dòng)，在直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生形成自然數(shù)的運(yùn)算律.

按照F.克萊因的觀點(diǎn)，一切初等運(yùn)算都依賴(lài)于如表1所示的自然數(shù)的11條運(yùn)算律.

表1：自然數(shù)的11條運(yùn)算律

因此，在小學(xué)的基礎(chǔ)上，應(yīng)該通過(guò)具體的計(jì)數(shù)活動(dòng)，借助日常經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解這些運(yùn)算律.這里的日常經(jīng)驗(yàn)主要是皮亞杰所說(shuō)的三個(gè)一般觀念：分類(lèi)、順序與守恒.皮亞杰認(rèn)為，學(xué)齡前兒童就可以初步具備這些觀念.

其次，將自然數(shù)的運(yùn)算律推廣到有理數(shù)、實(shí)數(shù)及代數(shù)式的范圍，使學(xué)生能利用運(yùn)算律形成、解釋和理解各種算法，感悟運(yùn)算基礎(chǔ)的一致性，懂得運(yùn)算對(duì)象在發(fā)展，而算理保持不變.

例如，下列方法都可以得到33×27的運(yùn)算結(jié)果.

算法1：利用分配律，33×27=（30+3）×27=30×27+3×27=810+81=891.

算法2：利用乘法結(jié)合律與分配律，33×27=33×（3×9）=（33×3）×9=99×9=（100-1）×9=100×9-1×9=900-9=891.

算法3：利用結(jié)合律與交換律，33×27=（3×11）×27=（3×27）×11=81×11，再利用乘以11的特點(diǎn)：取數(shù)字8和1，在中間插進(jìn)它們的和9，就得到所求的結(jié)果891.

算法4：利用乘法公式（x-y）（x+y）=x2-y2，33 ×27=（30+3）×（30-3）=302-32=900-9=891.這里，乘法公式的形成也是依據(jù)運(yùn)算律.

這些算法，本質(zhì)上是在分析算式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，利用不同的運(yùn)算律而形成的.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考不同的算法，并用運(yùn)算律解釋算法，既可以讓他們體會(huì)運(yùn)算律的意義和作用，又可以在解釋算法合理性的過(guò)程中培養(yǎng)初步的推理意識(shí).

最后，幫助學(xué)生理解運(yùn)算單位的意義，知道運(yùn)算單位是建立在各種運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上.例如，學(xué)生能夠解釋為什么可以合并同類(lèi)項(xiàng)，為什么多項(xiàng)式的乘法可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘法，為什么同底數(shù)冪的乘法可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法，等等.

此外，還可以利用各種運(yùn)算之間的關(guān)系來(lái)理解運(yùn)算的一致性.例如，減法是加法的逆運(yùn)算，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；除法是乘法的逆運(yùn)算，除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；乘法可以看作是連加一個(gè)數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算；乘方可以看作是連乘一個(gè)數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算.對(duì)運(yùn)算之間關(guān)系的理解有助于學(xué)生從不同的角度處理運(yùn)算問(wèn)題，提高運(yùn)算思維的品質(zhì).

三、初中代數(shù)學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)運(yùn)算能力的關(guān)鍵

運(yùn)算是代數(shù)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征，從數(shù)系的擴(kuò)張，到群、環(huán)、域的公理系統(tǒng)，其關(guān)鍵環(huán)節(jié)是對(duì)運(yùn)算的定義及運(yùn)算律的歸納.為了使運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算過(guò)程及運(yùn)算結(jié)果具有一般的意義，在韋達(dá)、笛卡兒等人的推動(dòng)下逐步發(fā)展出一套形式化的代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)，并在數(shù)學(xué)中廣泛使用.因此，符號(hào)運(yùn)算是中學(xué)代數(shù)的基本活動(dòng)，從負(fù)數(shù)和無(wú)理數(shù)的運(yùn)算開(kāi)始，到代數(shù)式的運(yùn)算，再到方程、不等式的同解變形，函數(shù)的表示、性質(zhì)與求值，都離不開(kāi)符號(hào)運(yùn)算.小學(xué)階段的數(shù)運(yùn)算可以借助具體實(shí)物操作，而初中階段的符號(hào)運(yùn)算主要是基于規(guī)則的形式操作.

在新世紀(jì)之前的數(shù)學(xué)課程中，代數(shù)符號(hào)運(yùn)算作為一種數(shù)學(xué)基本功，一直是初中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的重點(diǎn)，其中對(duì)因式分解、乘法公式、多項(xiàng)式、分式、二次根式等都有較高的要求，安排了比較充分的訓(xùn)練、鞏固時(shí)間，強(qiáng)調(diào)在具備了較好的運(yùn)算基本功后再學(xué)習(xí)方程、不等式與函數(shù)，把后者的重點(diǎn)放在問(wèn)題解決上.這樣的課程設(shè)計(jì)，代數(shù)運(yùn)算與代數(shù)模式（模型）是適度分離的，其好處是使不同內(nèi)容的教學(xué)各有側(cè)重、重點(diǎn)突出，但其弊端是為運(yùn)算而運(yùn)算，某種程度上導(dǎo)致了過(guò)度的形式化運(yùn)算訓(xùn)練.進(jìn)入新世紀(jì)后，《標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)對(duì)象的意義，而在形式化的代數(shù)運(yùn)算上降低了要求，把教學(xué)的重點(diǎn)放在具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的方程、不等式與函數(shù)上，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的意義與運(yùn)用.課程的這種變化順應(yīng)了數(shù)學(xué)課程發(fā)展的國(guó)際潮流，也與時(shí)代發(fā)展的要求相符合，但在一定程度上削弱了學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力.為了彌補(bǔ)這一不足，《標(biāo)準(zhǔn)》采取了以下舉措.

（1）明確“運(yùn)算能力”是核心素養(yǎng)在整個(gè)義務(wù)教育階段的主要表現(xiàn)之一，對(duì)運(yùn)算能力的行為表現(xiàn)提出了更為系統(tǒng)的要求，特別是在小學(xué)階段，“運(yùn)算能力”是唯一作為“能力”要求提出的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn).

（2）在小學(xué)階段加強(qiáng)了“符號(hào)意識(shí)”的要求，目的是使學(xué)生在小學(xué)階段就逐步習(xí)慣符號(hào)的表示與運(yùn)用，感悟符號(hào)所具有的一般意義，從而為初中階段的符號(hào)運(yùn)算提供感性基礎(chǔ).

（3）強(qiáng)調(diào)了算理和運(yùn)算的一致性，突出了運(yùn)算律的意義和算法中的通性、通法，使得初中階段的代數(shù)運(yùn)算可以更好地建立在小學(xué)算術(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上.

（4）在初中階段加強(qiáng)了代數(shù)推理的要求，以使學(xué)生在符號(hào)運(yùn)算過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)算理的理解，加強(qiáng)邏輯推理的訓(xùn)練，從而在一定程度上彌補(bǔ)運(yùn)算訓(xùn)練上的不足.

為了落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，在初中階段符號(hào)運(yùn)算的相關(guān)教學(xué)中，還應(yīng)注意以下幾個(gè)方面.

首先，要盡可能幫助學(xué)生理解符號(hào)運(yùn)算的必要性和意義.例如，在“合并同類(lèi)項(xiàng)”的教學(xué)中，可以通過(guò)實(shí)際情境引入算式，在運(yùn)算過(guò)程中體會(huì)“先化簡(jiǎn)、再求值”的意義，使學(xué)生感受到合并同類(lèi)項(xiàng)的必要性，并類(lèi)比自然數(shù)運(yùn)算中的“同數(shù)位相加”、分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)的“同分母相加”，理解運(yùn)算單位在運(yùn)算中的作用；在“乘法公式”的教學(xué)中，可以通過(guò)不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生探究與理解公式的代數(shù)意義、幾何意義，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系.

其次，要幫助學(xué)生感悟代數(shù)運(yùn)算中的數(shù)學(xué)思想，包括方程、不等式中的“消元”“降次”思想，絕對(duì)值、平方根中的分類(lèi)討論思想，數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想，等等.在代數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟這些數(shù)學(xué)思想在優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程、將未知轉(zhuǎn)化為已知等中的作用.另外，還要注意幫助學(xué)生更深入地挖掘數(shù)與代數(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.例如，對(duì)稱(chēng)與變換是非常重要的數(shù)學(xué)思想，而加、減法的對(duì)稱(chēng)性、互為相反數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系中表達(dá)式的對(duì)稱(chēng)性、型二次根式的對(duì)偶性、正弦與余弦的對(duì)偶性等內(nèi)容中都蘊(yùn)含著這種思想.所以，在這些內(nèi)容的教學(xué)中，可以有意識(shí)地滲透對(duì)稱(chēng)與變換思想，幫助學(xué)生體驗(yàn)這一思想在數(shù)學(xué)中的意義.

此外，可以適當(dāng)降低在運(yùn)算熟練程度和正確率上的要求，要避免那種一分鐘內(nèi)完成多少道運(yùn)算題的機(jī)械訓(xùn)練.計(jì)算機(jī)（器）的普及已經(jīng)在很大程度上滿(mǎn)足了現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)運(yùn)算的需求，代數(shù)符號(hào)運(yùn)算的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解、運(yùn)算意義的探究、算法的優(yōu)化等數(shù)學(xué)“含金量”更高的內(nèi)容上.當(dāng)然，數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅是一種基本技能，通過(guò)各種運(yùn)算活動(dòng)，而且有助于學(xué)生形成規(guī)范化思考問(wèn)題的思維品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，所以適度的訓(xùn)練是需要的.

四、在問(wèn)題解決過(guò)程中感悟算法思想的特點(diǎn)與意義

在信息技術(shù)高度普及的今天，算法思想顯得越來(lái)越重要.因此，許多國(guó)家都把算法作為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的必修內(nèi)容.

雖然算法的狹義理解一般指可以固化的并在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的程序，但從廣義的觀點(diǎn)來(lái)看，包括自然數(shù)運(yùn)算的各種運(yùn)算過(guò)程中都蘊(yùn)含著算法思想.在義務(wù)教育階段的運(yùn)算教學(xué)中，應(yīng)該注意算法思想的滲透.

首先，在問(wèn)題解決過(guò)程中體會(huì)算法的特點(diǎn)與意義.例如，下面是一個(gè)常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題：

用一段長(zhǎng)為26m的籬笆圍成一個(gè)矩形，怎樣才能使其面積最大？

假設(shè)所圍矩形的一條邊長(zhǎng)為x，那么所求面積為S=x(13-x).在學(xué)習(xí)了字母表示數(shù)后，小學(xué)高年級(jí)與初中學(xué)生都可以寫(xiě)出這個(gè)表達(dá)式，但要求出精確結(jié)果，則需要用到二次函數(shù)的知識(shí).在沒(méi)有這個(gè)知識(shí)時(shí)，可以考慮用算法的思想解決問(wèn)題.

如果結(jié)果只需精確到米，那么可以讓x從1開(kāi)始取到12，得到表2.

表2

從表格中可以直觀地看到，當(dāng)x在6與7之間取值時(shí)，所圍矩形的面積最大.如果需要更精確的結(jié)果，那么可以將x從6，6.1，6.2，…一直取到7，按照剛才的算法再算一次.如此下去，一定可以達(dá)到所需要的精確程度，而且這樣的算法可以由計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器輕易實(shí)現(xiàn).

由此可見(jiàn)，算法可以在一定程度上彌補(bǔ)知識(shí)儲(chǔ)備的不足，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)是一種簡(jiǎn)便、實(shí)用的方法.

其次，通過(guò)不同算法的比較，初步感悟算法的基本要求.例如，一元二次方程的求根公式實(shí)際上給出了解一元二次方程的一種通用算法.雖然在解一些特殊的一元二次方程時(shí)，因式分解法可能更為簡(jiǎn)便，但運(yùn)用求根公式解方程的優(yōu)點(diǎn)是過(guò)程的程序化，可以按部就班地得到運(yùn)算結(jié)果.除此之外，初中階段的多項(xiàng)式乘法、解方程與不等式，以及統(tǒng)計(jì)中求平均數(shù)、中位數(shù)、對(duì)數(shù)據(jù)排序等都蘊(yùn)含著算法的思想.通過(guò)對(duì)各種算法的比較，可以使學(xué)生初步感受一個(gè)好算法的特征，如可行性、確定性、有窮性、有效性和普遍性等.

最后，需要說(shuō)明的是，什么時(shí)候引入算法，以及如何引入算法等問(wèn)題，學(xué)術(shù)界尚有爭(zhēng)議.絕大多數(shù)人都認(rèn)同算法的價(jià)值，如算法可以有效解決一類(lèi)問(wèn)題，當(dāng)運(yùn)算涉及多個(gè)數(shù)字或超出記憶負(fù)荷時(shí)，一般化的算法就顯得特別有用；算法是一種經(jīng)過(guò)壓縮的、一般化的解題程序；算法是自動(dòng)化的，即使在不知道其背后原理的情況下，仍可以掌握和使用；算法是目標(biāo)指向的，而且是高效率的；算法可以為計(jì)算過(guò)程提供書(shū)面的記錄，便于教師和學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤；算法是可教的；對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，算法易于處理與評(píng)價(jià)；等等.不過(guò)，也有人對(duì)過(guò)早引入算法可能帶來(lái)的負(fù)面影響表示擔(dān)憂(yōu)，如算法的運(yùn)用會(huì)誘使學(xué)生放棄他們自己的想法，不利于“原創(chuàng)思想”的培養(yǎng)；算法可能會(huì)使學(xué)生忽視對(duì)概念和意義的理解；算法會(huì)使學(xué)生盲目接受運(yùn)算的結(jié)果；過(guò)分強(qiáng)調(diào)算法可能導(dǎo)致學(xué)生對(duì)算法的死記硬背；等等.