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推導(dǎo)Navier–Stokes方程用的Stokes的三條假設(shè)1)

2022-07-02 05:59黃樹新
力學(xué)與實(shí)踐 2022年3期
關(guān)鍵詞:靜壓上海交通大學(xué)式子

黃樹新

(上海交通大學(xué)工程力學(xué)系, 上海 200240)

(上海交通大學(xué)水動力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240)

Navier-Stokes方程是流體力學(xué)中的基本方程,也是教學(xué)中要求學(xué)生理解掌握的方程[1]。這個(gè)方程在航空、環(huán)境、化工等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。推導(dǎo)Navier-Stokes方程一般有2種方式,一個(gè)是Navier采用的從分子運(yùn)動的角度分析并得到這個(gè)方程,一個(gè)是Stokes采用的基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方式。筆者在流體力學(xué)課程的教學(xué)中,講的是Stokes的推導(dǎo)方式[1?3]。

Stokes用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方法得到Navier-Stokes方程時(shí),用了3個(gè)假設(shè)[1?3]。這3個(gè)假設(shè)可以簡單地表述為,(1)應(yīng)力和應(yīng)變率存在線性關(guān)系;(2)流體各向同性;(3)靜止時(shí)的法向應(yīng)力等于靜壓強(qiáng)。3個(gè)假設(shè)的表述在Acheson的著作中[4]也是類似的。Acheson[4]介紹,Stokes在1845年從這3個(gè)假設(shè)得到了流體中應(yīng)力的表達(dá)式。

在近來的文獻(xiàn)查閱中,筆者讀了Cauchy的兩份工作[5?6],注意到在Cauchy的工作中已經(jīng)有這3個(gè)假設(shè)的使用。這里,介紹一下Cauchy的工作中和這3個(gè)假設(shè)有關(guān)的內(nèi)容。

1 三條假設(shè)和Cauchy的工作

Stokes于1845年發(fā)表的文獻(xiàn)[7]中的式(8)包含的6個(gè)式子為

其中,u,v,w是速度分量;x,y,z是空間坐標(biāo);p是壓強(qiáng);P1,P2,P3是法向應(yīng)力;T1,T2,T3是剪切應(yīng)力;μ是流體的黏度;δ是和?·v有關(guān)的量。式(1)和現(xiàn)在寫法的差別,主要在它的速度梯度是用d表示求導(dǎo)。這個(gè)式子就包含了Stokes用的3個(gè)假設(shè)。

1.1 應(yīng)力和應(yīng)變率存在線性關(guān)系的假設(shè)

Cauchy于1828年發(fā)表的文獻(xiàn)[6]中的式(25)包含的3個(gè)式子為

其中,A,B,C是法向應(yīng)力;D,E,F(xiàn)是剪切應(yīng)力;X,Y,Z分別是x,y,z三個(gè)方向上的重力分量;ρ是流體的密度;χ,δ,τ 是加速度分量。式(2)就是Cauchy用的動量方程,其中的應(yīng)力在Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(95)給出,即

其中,k是表征流體特性的參數(shù),相當(dāng)于流體黏度的2倍,R為

其中,K是和k有關(guān)的參數(shù)。式(4)包括Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(29)和式(97)。很明顯,Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(95)也表達(dá)了應(yīng)力和應(yīng)變率存在線性關(guān)系。所以,Stokes用的第1個(gè)假設(shè)在Cauchy的1828年的工作中已有。

1.2 流體各向同性的假設(shè)

在Cauchy的1828年的工作中[6],有下面兩句話,‘1. en supposantket?variables avecx,y,z,’,和‘2. en supposantket?constantes’,其中,?是和流體的密度有關(guān)的物理量。第1句就是假設(shè)流體的物理特性k和?隨坐標(biāo)變化,第2句就是假設(shè)流體的物理特性k和?是常數(shù)。用第1句假設(shè)的條件,就有Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(90),即

用第2句假設(shè)的條件,就有Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(91),即

這兩個(gè)式子都表明,Cauchy用的流體的物理特性k是各向同性的。

1.3 靜止時(shí)的法向應(yīng)力等于靜壓強(qiáng)的假設(shè)

這條假設(shè)在Cauchy的1828年的工作[6]中沒有,但在Cauchy的1827年的工作[5,8]中有類似的表述。文獻(xiàn)[5]中的式(16)為

式(7)就是Cauchy的1828年的工作[6]中去掉慣性力的式(25)。同時(shí),在文獻(xiàn)[5]中,Cauchy還給出了式(17)~式(19)三個(gè)式子,分別為

式(8)~式(10)就表明流體靜止時(shí)只有靜壓強(qiáng)的作用力。式(10)就是靜止流體的平衡微分方程。

考慮到Cauchy已經(jīng)用過這3個(gè)假設(shè),在近兩年的教學(xué)中,筆者在講課時(shí)就說,Stokes使用了3個(gè)假設(shè),然后可以推導(dǎo)得到Navier–Stokes方程。以表達(dá)這3個(gè)假設(shè)不是Stokes原創(chuàng)的。

2 結(jié)語

本文介紹了Stokes在1845年推導(dǎo)Navier–Stokes方程時(shí)用的3個(gè)假設(shè)的歷史,這3個(gè)假設(shè)在Cauchy的兩份工作中也出現(xiàn)過。

致謝:感謝CALIS (China Academic Library &Information System,中國高等教育數(shù)字圖書館)上海市文獻(xiàn)信息服務(wù)中心和上海交通大學(xué)圖書館提供了Cauchy 和Stokes 的文獻(xiàn)。

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