杜 盈， 張勁東， 尹明月， 蔣宜林

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院， 江蘇南京 211106)

0 引言

隨著電子對(duì)抗技術(shù)的不斷成熟和發(fā)展，雷達(dá)波形設(shè)計(jì)成為了雷達(dá)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)。學(xué)者們通過(guò)設(shè)計(jì)具有低距離旁瓣的雷達(dá)發(fā)射波形來(lái)提升雷達(dá)的檢測(cè)性能；而干擾信號(hào)經(jīng)過(guò)濾波器后的輸出水平可用濾波器與干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣的二次型表示，通過(guò)最小化干擾輸出功率可提升雷達(dá)的抗干擾性能。

很多學(xué)者基于模糊函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)發(fā)射波形。文獻(xiàn)[1]采用半正定規(guī)劃(Semi-Definite Programming, SDP)的方法最小化旁瓣電平，設(shè)計(jì)在強(qiáng)雜波環(huán)境下可被探測(cè)的寬帶恒模信號(hào)，文獻(xiàn)[2]提出一種FADPM方法(Fractional-Alternating Direction Penalty Method)，通過(guò)對(duì)模糊函數(shù)的旁瓣控制來(lái)保證雷達(dá)的探測(cè)性能，文獻(xiàn)[3-5]分別采用極大極小算法(Majorization-Minimization, MM)、梯度下降算法(Gradient Descent, GD)和循環(huán)算法最小化積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level, ISL)，但這些研究都只涉及到距離旁瓣的抑制?？紤]到雷達(dá)對(duì)抗干擾的能力，文獻(xiàn)[6-9]對(duì)稀疏信號(hào)的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)性能同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)計(jì)稀疏頻譜波形，可使雷達(dá)避免被其他輻射源信號(hào)干擾，且具有較強(qiáng)的探測(cè)弱小目標(biāo)的能力，但這些文獻(xiàn)的研究都是針對(duì)同頻干擾的情況。

本文設(shè)計(jì)可對(duì)抗壓制干擾的相位編碼信號(hào)作為發(fā)射信號(hào)，將干擾信號(hào)經(jīng)匹配濾波器的輸出功率寫進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，聯(lián)合最小化發(fā)射信號(hào)距離旁瓣和干擾信號(hào)輸出功率，采用ADMM算法求解，使得雷達(dá)兼具良好的目標(biāo)探測(cè)性能和抗干擾性能。同時(shí)，考慮到ADMM算法運(yùn)算量大、計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題，本文結(jié)合PMLI算法提出一種新的CA法求解問(wèn)題模型。

1 信號(hào)模型

壓制式干擾就是采用干擾發(fā)射機(jī)發(fā)射大功率的噪聲干擾信號(hào)或密集假目標(biāo)信號(hào)，使干擾信號(hào)進(jìn)入雷達(dá)接收機(jī)，使有用的回波信號(hào)被噪聲或假目標(biāo)覆蓋，造成雷達(dá)接收機(jī)信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)大幅下降，從而使雷達(dá)檢測(cè)或跟蹤不到目標(biāo)。壓制干擾可分為射頻噪聲干擾、噪聲調(diào)幅干擾、噪聲調(diào)頻干擾、噪聲調(diào)相干擾等形式，本文僅以噪聲調(diào)頻信號(hào)為例。

一般噪聲調(diào)頻干擾的時(shí)域表達(dá)式可表示如下：

(1)

式中，為噪聲調(diào)頻信號(hào)的幅度，為噪聲調(diào)頻信號(hào)的中心頻率，為調(diào)制過(guò)程中的調(diào)頻斜率，其被積函數(shù)為調(diào)制噪聲(′)，一般地，它是均值為零、且廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，為隨機(jī)變量，在[0,2π]內(nèi)均勻分布，且與()相互獨(dú)立。

一個(gè)點(diǎn)的相位編碼信號(hào)序列可表示為

=[,,…,-1]=[ej,ej,…，ej-1],∈

(2)

發(fā)射信號(hào)旁瓣協(xié)方差矩陣為

(3)

所以發(fā)射信號(hào)距離旁瓣可表示為

=

(4)

設(shè)干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣為，∈×，干擾信號(hào)經(jīng)匹配濾波器的輸出功率為

=

(5)

折中考慮干擾信號(hào)功率和發(fā)射信號(hào)旁瓣，引入權(quán)系數(shù)，那么離散相位形式約束下的聯(lián)合最小化干擾信號(hào)輸出功率和發(fā)射信號(hào)距離旁瓣問(wèn)題模型可表示為

(6)

式中為離散相位個(gè)數(shù)。

2 求解目標(biāo)函數(shù)2.1 ADMM

問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可改寫為如下形式：

(7)

在該問(wèn)題中引入輔助變量和約束=，問(wèn)題即可表示為

(8)

根據(jù)問(wèn)題寫出增廣拉格朗日方程：

(9)

式中和為拉格朗日乘子，為二次懲罰項(xiàng)系數(shù)。記=(+j)，則式(9)可重寫為

(10)

記()，()，()為第次迭代后的值，各值更新如下：

1) 更新，此時(shí)將()，()視為已知量：

(11)

這是一個(gè)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，使用基于內(nèi)部映射牛頓法的子空間置信域法求解。令

(12)

(13)

(14)

利用式(12)～ (14)將目標(biāo)函數(shù)式(11)由復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)形式：

(15)

對(duì)目標(biāo)函數(shù)求梯度：

(16)

2) 更新，此時(shí)將(+1)，()視為已知量：

(17)

的更新公式為

(18)

3) 更新：

(+1)=()+(+1)-(+1)

(19)

ADMM求解優(yōu)化問(wèn)題模型的步驟如表1所示。

2.2 CA

2.1節(jié)中的ADMM算法在更新時(shí)需要進(jìn)行

表1 ADMM求解優(yōu)化問(wèn)題P2步驟

數(shù)據(jù)形式的轉(zhuǎn)化和梯度的計(jì)算，運(yùn)算量大，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。針對(duì)這一問(wèn)題，本小節(jié)將在ADMM方法的基礎(chǔ)上作改進(jìn)。

對(duì)于發(fā)射信號(hào)的更新，

‖-()+()‖

(20)

令=(()-())，忽略常數(shù)部分，式(20)可表示為

(21)

那么求解發(fā)射信號(hào)可表示為

(22)

(23)

這樣可通過(guò)在每次迭代時(shí)求解如下最近向量問(wèn)題來(lái)更新發(fā)射信號(hào)：

(24)

顯然其最優(yōu)解為

(+1)=()

(25)

在原ADMM算法的基礎(chǔ)上引入PMLI方法，新的復(fù)合算法克服了ADMM算法在更新時(shí)計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題，減少算法計(jì)算時(shí)間。

復(fù)合算法求解DPCQP問(wèn)題的步驟如表2所示。

表2 CA求解優(yōu)化問(wèn)題P2步驟

3 仿真結(jié)果與分析

從圖1的脈壓結(jié)果可以看到，初始的發(fā)射信號(hào)被壓制干擾淹沒(méi)，目標(biāo)無(wú)法被檢測(cè)，而優(yōu)化后干擾被抑制，信號(hào)能夠被檢測(cè)到，兩種優(yōu)化算法得到的發(fā)射信號(hào)波形均可提升雷達(dá)對(duì)抗壓制干擾的能力。

(a) 優(yōu)化前

(b) ADMM優(yōu)化后

(c) CA優(yōu)化后圖1 優(yōu)化前后信號(hào)脈壓結(jié)果

雷達(dá)的探測(cè)性能由距離旁瓣水平衡量，優(yōu)化前后發(fā)射信號(hào)的自相關(guān)處理結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，兩種算法優(yōu)化后的信號(hào)旁瓣均降低，雷達(dá)探測(cè)弱小目標(biāo)的能力得以提升。

(a) 優(yōu)化前

(b) ADMM優(yōu)化后

(c) CA優(yōu)化后圖2 優(yōu)化前后發(fā)射波形自相關(guān)處理結(jié)果

下面對(duì)比兩種優(yōu)化算法的性能。在Intel i5-9400HQ CPU、16G內(nèi)存、Matlab2016a仿真平臺(tái)下，進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)取平均值，兩種算法的運(yùn)算時(shí)間、干擾輸出功率減少量Δ、信號(hào)旁瓣減少量Δ如表3所示，ADMM和CA優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)迭代曲線如圖3所示。

表3 兩種算法性能對(duì)比

圖3 兩種算法迭代曲線

兩種算法均能收斂，CA抑制旁瓣的能力不及ADMM算法，但對(duì)抗干擾的能力強(qiáng)于ADMM，這是由于CA中發(fā)射信號(hào)的更新取決于矩陣，在強(qiáng)干擾環(huán)境下，干擾信號(hào)對(duì)的影響要遠(yuǎn)大于發(fā)射信號(hào)，而ADMM算法中的更新是采用擬牛頓法，每一次迭代時(shí)只要求知道目標(biāo)函數(shù)的梯度，受到梯度變化量的影響而非梯度本身數(shù)值大小。本文提出的ADMM和CA兩種算法均可提升雷達(dá)的抗干擾性能和探測(cè)性能，但CA相對(duì)ADMM算法計(jì)算速度有了30多倍的提升。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以聯(lián)合最小化干擾信號(hào)輸出功率和發(fā)射信號(hào)距離旁瓣為準(zhǔn)則建立目標(biāo)函數(shù)，采用ADMM算法求解，設(shè)計(jì)具有較低距離旁瓣并能對(duì)抗壓制干擾的相位編碼波形。針對(duì)ADMM算法中更新發(fā)射信號(hào)時(shí)計(jì)算量大、運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題，提出一種新的CA算法。仿真結(jié)果表明，本文提出的兩種算法均能提升雷達(dá)的探測(cè)性能和抗干擾性能，CA算法在旁瓣抑制方面弱于ADMM算法，但抗干擾能力強(qiáng)于ADMM算法，且計(jì)算速度相對(duì)ADMM算法有很大提升。